Michael Buhlmann
Mathematik > Analysis > Folgen > Näherung für Kreiszahl
> Regelmäßige Vielecke, Umfang
Archimedes
Der griechische Mathematiker Archimedes (*287?-†212 v.Chr.) lebte in der Zeit des Hellenismus und des Aufstiegs Roms zur beherrschenden Macht zunächst im westlichen Mittelmeerraum in den Großstädten Alexandria (Ptolemäer, Museion) (zeitweise) und Syrakus (König Hieron II., 2. Punischer Krieg [218-201] und römische Belagerung und Eroberung von Syrakus [214/12 v.Chr.]). Kontakte des Archimedes zu den alexandrinischen Gelehrten Konon von Samos und Eratosthenes sind bezeugt; Archimedes soll ein Freund
König Hierons II. von Syrakus (275-215 v.Chr.) gewesen sein. Einige Legenden ranken
sich um seine Person ("Heureka"-Ausruf [Auftrieb und Wasserverdrängung], Tod); Archimedes soll der Erfinder der archimedischen Pumpe (Ägypten) und von während der Belagerung von Syrakus von griechischer Seite eingesetzten Maschinen und Waffen (Steinwurfmaschinen, Skorpione, Kräne, Spiegel?). Jenseits der Legenden wird Archimedes
erkennbar durch seine mathematischen Werke: Über das Gleichgewicht ebener Flächen
I/II (Balkenwaage mit ebenen Flächen, Hebelgesetz, Schwerpunkt eines Parabelsegments), Die Quadratur der Parabel (Fläche eines Parabelsegments; ca.240 v.Chr.), Über
Kugel und Zylinder I/II (Zylinder und Prismen, Kegel und Pyramide, Volumen- und Oberflächenverhältnis von Zylinder und Kugel), Kreismessung, Über Spiralen (archimedische
Spiralen, Längen- und Flächenbeziehungen; ca.230 v.Chr.), Über Paraboloide, Hyperboloide und Ellipsoide (Volumina, Schwerpunkte), Methodenlehre von den mechanischen
Lehrsätzen (v.220 v.Chr.), Über schwimmende Körper I/II (Auftrieb, spezifisches Gewicht;
ca.220 v.Chr.), Die Sandzahl (Astronomie und Weltall), Stomachion (ArchimedesPalimpsest/Gebetbuch [10. Jahrhundert, 2. Hälfte/v.1229, Konstantinopel]; Gittervielecke
[Picksche Flächenformel], Quadratzerlegung). In Archimedes' geometrische Beweise zu
Flächen und Körpern fließen auch "infinitesimale" Überlegungen (Approximationen) mit
ein. Auf Archimedes sollen laut Pappos von Alexandrien die archimedischen Körper (an
den Ecken abgeflachte platonische Körper [Polyeder]) zurückgehen.
Folgen
Eine Abbildung {an}: N -> R, die jeder natürlichen Zahl n eine reelle Zahl an zuordnet, heißt
(unendliche) (Zahlen-) Folge: n -> an oder {an}nεN, an das n-te Folgenglied. Mit an = f(n) definiert f die Funktionsvorschrift der Folge. {an}nεN = {a1, a2, a3,… an, an+1, …} heißt also eine
Folge. Nun gilt:
a) {c·an}, {an+bn}, {an·bn}, {an/bn} usw. sind Folgen, soweit definiert.
b) {an} heißt nach unten beschränkt, wenn es eine untere Schranke SuεR gibt mit: an ≥ Su
(nεN).
c) {an} heißt nach oben beschränkt, wenn es eine obere Schranke SoεR gibt mit: an ≤ So
(nεN).
d) {an} heißt beschränkt, wenn {an} nach oben und nach unten beschränkt ist, d.h.: es gibt
eine untere Schranke SuεR und eine obere Schranke SoεR mit: Su ≤ an ≤ So (nεN).
e) {an} heißt monoton fallend, falls: an ≥ an+1 (nεN).
f) {an} heißt monoton steigend, falls: an ≤ an+1 (nεN).
g) {an} heißt konvergent, d.h. besitzt einen Grenzwert (Limes) g, wenn (für jedes ε>0) in
jeder noch so kleinen (ε-) Umgebung um g (dem offenen Intervall (g-ε, g+ε)) ab einem gewissen n (= n(ε)) alle Folgenglieder liegen. Dann gilt: g = lim a n .
n −>∞
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h) Satz (von Bolzano-Weierstraß): Jede beschrankte, monotone Folge {an} besitzt einen
Grenzwert g = lim a n .
n − >∞
Folgen {an}nεN, bei denen sich Folgenglieder auf vorhergehende Folgenglieder beziehen,
heißen rekursiv und lassen sich mit Hilfe einer Funktion f darstellen als: an= f(an-1, an-2, …,
an-k) mit vorgegebenem a1, a2, … ak (rekursive Folge k-ter Ordnung), an= f(an-1) mit vorgegebenem a1 (rekursive Folge 1. Ordnung).
Näherung für die Kreiszahl π nach Archimedes
Ein Kreis mit Radius r hat den Umfang u = 2πr, so dass die Kreiszahl π sich als π = U/2/r
bestimmt. Nähert man also einen Kreis mit einbeschriebenen Vielecken an, so nähert sich
der Umfang der Vielecke dem Kreisumfang an, und die Kreiszahl lässt sich näherungsweise bestimmen. Sind die Vielecke regelmäßig, so vereinfacht sich die näherungsweise Berechnung. Sind die Vielecke regelmäßige 6-, 12-, 24-, 48-Ecke usw., so gehen wir bei der
Kreisnäherung so vor, wie der griechische Mathematiker Archimedes vorgegangen ist.
Für einen Kreis mir Radius r und ein im Kreis einbeschriebenes regelmäßiges Sechseck
mit Sechseckseite s0 gilt zunächst: s0 = r, U0 = 6r = 6s0 (ein regelmäßiges Sechseck besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken). Die Seitenlänge des regelmäßigen Zwölfecks
erhalten wir im Dreieck ABC bzw. ABM nach dem Satz des Pythagoras mit:
2
____ 2
s 
s12 =  0  + AC (*)
2
bzw. mit:
s 
AC = r − AM = r − r −  0 
2
____
____
2
2
(**).
Aus den beiden Beziehungen (*) und (**) ergibt sich (u.a. mit den binomischen Formeln):
2
2
2
2
2
2
2
____ 2
 s0 
 s 0  
 s 0  
 s0 
 s0 
 s0 
2
2
2
2
2
s1 =   + AC =   + r − r −  
=   + r − 2r r −   + r −   =
2
 2  
 2  
 2
 2
2
4r 2 − s 0
 s0 
2
2
2r − 2r r −   = 2r − 2r
= 2 r 2 − r 4r 2 − s 0
4
2
2
2
2
2
Wir verallgemeinern dann die Beziehung s1 = 2r 2 − r 4r 2 − s 0
2
(Wurzelziehen!) zu:
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2
s n +1 = 2r 2 − r 4r 2 − s n , s0 = r (***)
2
und erhalten damit eine rekursive Folge der Seitenlängen sn einbeschriebener regelmäßiger 6-, 12-, 24-, 48-Ecke usw. Die rekursive Folge {sn} in (***) ist Grundlage der Folge der
Vieleckumfänge:
Un = 6·2n·sn
u.a. mit U1 = 12s1.
Die durch die rekursive Folge {sn} in (***) beschriebene Iteration ist nachfolgend für den
Kreisradius r = 0,5 durchgeführt und ergibt in der Tat eine Näherung für die Kreiszahl π;
hier mit: Un -> π für n->∞.
Tabelle: Regelmäßige Vielecke
Iteration: sn+1 = [2r2 - r(4r2-sn2)1/2]1/2, s0 = r -> Un = 6·2n·sn -> πn = Un/r/2
Radius
r=
Kreisumfang
uKr =
0.5
Iteration Ecken- Vieleckseite
n=
anzahl sn =
Kreiszahl
π=
3.141592653589793
Vieleckumfang
Un =
0
6
1
12
2
24
0.13052619222005154
3.132628613281237
3.132628613281237
3
48
0.06540312923014317
3.139350203046872
3.139350203046872
4
96
0.03271908282177635
3.14103195089053
3.14103195089053
5
192
6
384
0.008181139603936515
3.141557607911622
3.141557607911622
7
768
0.004090604026235594
3.141583892148936
3.141583892148936
8
1536
0.002045306291169767 3.1415904632367617 3.1415904632367617
9
3072
0.0010226536803525547 3.1415921060430483 3.1415921060430483
6144
0.00051132690699677 3.1415925165881546 3.1415925165881546
10
0.5
3.141592653589793
Näherung für π
πn =
3
3
0.2588190451025208 3.1058285412302497 3.1058285412302497
0.01636173162648617 3.1414524722853443 3.1414524722853443
11
12288 0.00025566346180344964 3.1415926186407894 3.1415926186407894
12
24576 0.00012783173198735415 3.1415926453212157 3.1415926453212157
13
49152 0.00006391586599367708 3.1415926453212157 3.1415926453212157
14
98304 0.00003195793299683854 3.1415926453212157 3.1415926453212157
15 196608 0.00001597896649841927 3.1415926453212157 3.1415926453212157
Betrachten wir die Folge der Umfänge Un = 6·2n·sn, so lässt sich das Folgende aussagen:
a) Die Folge {Un} ist monoton steigend.
b) Die Folge {Un} ist beschränkt durch den Kreisumfang u = 2πr.
Dabei ergibt sich Aussage a) aus der Dreiecksungleichung, mithin aus: 2sn+1 ≥ sn, woraus
durch Multiplikation der Ungleichung mit 6·2n folgt: 2·6·2n·sn+1 ≥ 6·2n·sn, mithin: 6·2n+1·sn+1 ≥
6·2n·sn, also: Un+1 ≥ Un.
Die Richtigkeit der Aussage b) erklärt sich daraus, dass für zwei Punkte P und Q auf ei∩
____
nem Kreis die Länge der Strecke (Sehne) PQ kleiner als die Länge des Kreisbogens PQ
∩
ist. Die Vieleckseite sn liege daher zwischen den Kreispunkten P und Q. Es gilt: sn ≤ PQ
∩
und nach Multiplikation der Ungleichung mit 6·2n: 6·2n·sn ≤ 6·2n· PQ und damit: Un ≤ u =
2πr.
Aus den Aussagen a) und b) folgt nach dem Satz für monoton (steigende), beschränkte
Folgen, dass die Folge {Un} einen Grenzwert g besitzt. Da der Kreisumfang u = 2πr die
kleinste obere Schranke (Supremum) für die Umfangsfolge Un ist, lautet der Grenzwert:
g = lim U n = 2πr ,
n − >∞
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so dass sich die Kreiszahl π theoretisch aus:
π=
lim U n
n − >∞
2r
errechnet, praktisch (näherungsweise) aus:
π≈
Un
für hinreichend großes n.
2r
Michael Buhlmann, www.michael-buhlmann.de 11.2014
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Näherung für Kreiszahl (regelmäßige Vielecke, Umfang)