Kapitel 8
Losgrößenplanung
PPS
EK Produktion & Logistik
Kapitel 8/1
Losgrößenplanung
• Los (lot) = Menge eines Produktes, die ohne Unterbrechung gefertigt
wird
• Losgröße (lotsize) = Größe des Loses
• Losgrößenplanung (lotsizing)
sollen Produktionsmengen zu größeren Losen zusammengefasst
werden um Rüstkosten zu sparen?
• Zusammenfassung zu größeren Losen
 Vorproduktion auf Lager für spätere Perioden
 Rüstkosten gespart, aber zusätzliche Lagerkosten
EK Produktion & Logistik
Kapitel 8/2
Losgrößenplanung
Bei Losgrößen- bzw. Lagerhaltungsmodellen unterscheidet man:
• deterministische Modelle (Nachfrage wird als bekannt vorausgesetzt) vs.
• stochastische Modelle (nur Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die
Nachfragemengen bekannt)
• statische Modelle (konstante Nachfrage – eine typische Bestellperiode)
• dynamische Modelle (Nachfrage variiert mit der Zeit)
• Ein-Produktmodelle
• Mehr-Produktmodelle, wobei hier zu unterscheiden ist:
- mit unabhängigem Bedarf (aber z.B. gemeinsamer Kapazitätsbeschränkung)
- mit abhängigem Bedarf (z.B. Vorprodukte bei mehrstufiger Produktion)
EK Produktion & Logistik
Kapitel 8/3
8.1 Deterministische Ein-Produktmodelle I
Wir betrachten nur ein Produkt.
Bei Herstellung mehrere Produkte:
 Annahme, dass die Bedarfsmengen unabhängig sind
 die Situation kann durch mehrere unabhängige
Einprodukt-Lagerhaltungsmodelle beschrieben werden
Diese Situation ist oft nicht gegeben:
–bei gemeinsamen Kapazitätsbeschränkungen
–bei mehrstufiger Produktion!
EK Produktion & Logistik
Kapitel 8/4
Deterministische Ein-Produktmodelle II
• Fehlmengen - nicht erlaubt,
Fehlmenge = „negatives Lager“, nicht befriedigte Nachfrage.
• Annahme: Lieferung beansprucht keine Zeit
• Die relevanten Kosten bestehen aus
s
...Rüstkosten (bei Produktion) bzw. bestellfixe Kosten
(bei Bestellung)
c
...variable Produktions- bzw. Bestellkosten pro Stück
h
...Lagerkosten pro Einheit und pro Zeiteinheit
• Bekannt: Nachfrage dt zu jedem Zeitpunkt t
(= grobe Vereinfachung, da bestenfalls Schätzwerte vorliegen und
diese Schätzungen um so unzuverlässiger sind, je weiter t in der
Zukunft liegt.)
EK Produktion & Logistik
Kapitel 8/5
Deterministische statische Ein-Produktmodelle I
Statisch  Annahme, dass der Bedarf in jeder Periode t gleich ist: dt = d.
Standardproblem = „Klassisches Losgrößenmodell“
„Economic Order Quantity model“ (EOQ)
Annahmen
• ein einheitliches Produkt
• gleichmäßiger kontinuierlicher Absatz: d Stück pro Zeiteinheit
• Produktionszeit kann vernachlässigt werden,
• Lagerzugänge in ganzen Losen
• konstante Lieferzeit (= Zeit zwischen Bestellung und Eintreffen der Ware)
• keine Mengenrabatte
• keine Fehlmengen erlaubt - werden durch rechtzeitiges Bestellen
vermieden
• keine Kapazitätsbeschränkungen bezüglich Losgröße
• variablen Kosten: nur Rüst- und Lagerhaltungskosten berücksichtigt
EK Produktion & Logistik
Kapitel 8/6
Deterministische, statische Ein-Produktmodelle II
Losgröße = Menge eines Produktes, die ohne Unterbrechung
gefertigt wird
In statischen Modellen wird es natürlich sinnvoll sein, in regelmäßigen
Abständen immer die gleiche Menge (Losgröße) zu produzieren.
Zielsetzung: Losgröße so wählen, dass ein Abgleich von Rüst- und
Lagerkosten erzielt wird (Summe minimal)
EK Produktion & Logistik
Kapitel 8/7
Entwicklung des Lagerbestandes im klassischen
Losgrößenmodell
Lagerbestand
Bestellmenge = q
(max. Lagerbestand)
sägezahnartiger Verlauf des
Lagerbestandes
Verbrauch
Bedarf D
Anstieg -D
1
-D
min. Lagerbestand
Produktion
Los q
maximaler
Lagerbestand q
durchschnittlicher
Lagerbestand (q/2)
Produktion
Los q
Produktion
Los q
Zeit
Kosten
EK Produktion & Logistik
Kapitel 8/8
Kostenverlauf in Abhängigkeit der Losgröße
Kosten
Gesamtkosten
min. Ges.kosten
Lagerhaltungskosten
Bestellkosten
Bestellmenge
q*
EK Produktion & Logistik
Kapitel 8/9
Notationen
q
...
Bestellmenge / Produktionslos
q*
...
optimale Bestellmenge / optimales Produktionslos
D
...
Jahresbedarf (Bedarf pro Zeiteinheit)
s
...
Fixkosten einer Bestellung
(oder Kosten einer Rüstung)
h
...
Lagerkosten pro Stück und Jahr (Zeiteinheit)
EK Produktion & Logistik
Kapitel 8/10
Kostenbestandteile
1. Bestellkosten pro Jahr:
 Anzahl der Bestellungen  Kosten pro Bestellung
D
 s
q
2. Lagerhaltungskosten pro Jahr:
 durchschnittl. Lagerbestand  Lagerkosten pro Stück und Jahr
q
 h
2
EK Produktion & Logistik
Kapitel 8/11
Gesamtkosten, optimale Bestellmenge
3. optimale Bestellmenge:
Die optimalen Bestellmenge q* findet man durch Nullsetzung der ersten
Ableitung der Gesamtkosten pro Jahr (total costs, TC).
TC (q)
dTC( q)
dq
*
q
=
=
=
D
q
s  h + c D
q
2
Ds h
 2 
q
2
2 D s
h
Variable Bestell- oder
Herstell-Kosten pro Stück
beeinflussen q* nicht
=0
EOQ- Formel
EK Produktion & Logistik
Kapitel 8/12
Bestellhäufigkeit, Bestellintervall
4. Anzahl der Bestellungen pro Zeiteinheit:
 Bedarf / optimale Bestellmenge
D
N * 
q
D

2 Ds
h
optimale Bestellmenge
Dh
2s
5. Zeit zwischen zwei Bestellungen:
T
1

N
2s
Dh
bzw.
T
Arbeitstag e pro Jahr
… Tage
N
EK Produktion & Logistik
Kapitel 8/13
Gesamtkosten
6. optimale Gesamtkosten:
Gesamtkosten pro Jahr
TC (q)
Einsetzen der EOQ- Formel
Gesamtkosten pro Jahr
*
q
D
q
s  h + c D
q
2
=
2 D s
h
=
TC(q*)
 2sDh
+cD
Variable Bestell- oder Herstell-Kosten pro
Stück beeinflussen q* nicht, wohl aber TC
EK Produktion & Logistik
Kapitel 8/14
Kostenverlauf in Abhängigkeit der Losgröße
Kosten pro Jahr
Gesamtkosten
min. Ges.kosten
Lagerhaltungskosten 
Bestellkosten 
D
s
q
q
h
2
Bestellmenge
q*
EK Produktion & Logistik
Eigenschaften
Kapitel 8/15
Beispiel: Klassische Losgröße I
Der Nettobedarf eines Produktes mit den Rüstkosten (s) von 200 und
den Lagerkosten (h) von 1 pro Produkteinheit und Periode sei durch
die folgende Zeitreihe gegeben:
D = {120, 160, 60, 80, 120, 60, 100}
 D = 100 ME pro Periode
EK Produktion & Logistik
Kapitel 8/16
Beispiel: Klassische Losgröße II
a) Wie lautet die optimale klassische Losgröße, wenn von dem
durchschnittlichen Nettobedarf von 100 ausgegangen wird?
*
q
=
2 D s
h
2 100 200
1
=
= 200 ME
b) Um wieviel % vergrößert bzw. verringert sich die optimale klassische
Losgröße, wenn sich der durchschnittliche Bedarf um den Faktor
1,1 * 1,1 = 1,21 bzw. 0,9 * 0,9 = 0,81 ändert?
Dneu = 1, 21 * D
q
*
neu
=
2  Dneu  s
h
=
2  1,21 D  s
=
h
EK Produktion & Logistik
1,21 * q* = 1,1 * q*
Kapitel 8/17
Beispiel: Klassische Losgröße III
Fortsetzung b)
Dneu = 0,81 * D
q
*
neu
=
2  Dneu  s
h
2  0,81 D  s
h
=
=
0,81 * q* = 0,9 * q*
c) Um wieviel % müssten sich die Rüstkosten erhöhen bzw.
verringern, damit man eine Halbierung der optimalen klassischen
sneu
Losgröße erzielt?
q
*
neu = 0,5 *
*
q
=
0,5 *
2 D s
h
=
2  D  (0,25 s)
h
Rüstkosten müssen auf ¼ also um 75% sinken!
EK Produktion & Logistik
Kapitel 8/18
Eigenschaften der optimalen Losgröße
• im Optimum : q*
Lagerkostenzuwachs = marginale Rüstkostenersparnis
dTC( q)
dq
Ds h
 2 
q
2
= 0, also
h Ds
 * 2
2 (q )
( Grenzkostenverfahren von Groff)
• im Optimum q*:
sind die Durchschnittskosten pro Zeiteinheit minimal
( Silver – Meal – Verfahren)
EK Produktion & Logistik
Kapitel 8/19
8.3 Deterministische, dynamische
Ein-Produktmodelle I
dynamisches Lagerhaltungsproblem:
 Nachfrage über die Zeit nicht konstant
jede Bestellperiode explizit betrachten
Optimierung: simultan über alle Perioden
Standardproblem : Wagner-Whitin (WW) Problem
EK Produktion & Logistik
Kapitel 8/20
Deterministische, dynamische
Ein-Produktmodelle II
Annahmen:
• ein einheitliches Produkt
• Absatz zeitlich nicht mehr konstant
• Produktionszeit wird vernachlässigt, Lagerzugänge in ganzen Losen
• konstante Lieferzeit (= Zeit zwischen Bestellung und Eintreffen der Ware)
• keine Mengenrabatte
• keine Fehlmengen erlaubt - durch rechtzeitiges Bestellen vermieden
• keine Kapazitätsbeschränkungen bezüglich Losgröße
• variablen Kosten: Rüst- und Lagerhaltungskosten
• evtl. können sich auch variable Produktionskosten über die Zeit ändern
EK Produktion & Logistik
Kapitel 8/21
Notationen
dt ... Absatz (Nachfrage) in Periode t - zeitlich nicht konstant!
qt ... Losgröße in Periode t (Entscheidungsvariable)
ct ... variable Produktionskosten pro Stück in Periode t
S ... Auflagekosten (Bestell-/Rüstkosten) je Produktionslos
h ... Lagerkostensatz pro Stück und Periode
T ... Länge des Planungszeitraumes
EK Produktion & Logistik
Kapitel 8/22
Wagner-Whitin Problem I
für optimale Lösung des dynamischen Losgrößenproblems:
Betrachte nur jene Produktionspläne, deren Produktionslose aus vollständigen
Periodenbedarfen einer oder mehrerer „benachbarter“ Perioden bestehen.
Begründung:
• Nur einen Teil eines Periodenbedarfes in ein Los aufzunehmen ergibt
keinen Sinn. Man würde nur Lagerkosten verursachen und müsste
dennoch in der nächsten Periode rüsten.
• Beispiel: bei einem Problem mit drei Perioden gibt es nur 3
Möglichkeiten für die Produktion der ersten Periode:
–Zusammenfassen des Bedarfs der Periode 1
–Zusammenfassen des Bedarfs der Perioden 1 und 2
–oder Zusammenfassen des Bedarfs aller drei Perioden zu einem Los
EK Produktion & Logistik
Kapitel 8/23
Wagner-Whitin Problem II
 Dieses Problem kann optimal gelöst werden
(WW-Verfahren, dynamische Optimierung  VK)
 Praxis: meist Verwendung von einfachen
Entscheidungsregeln (Heuristiken)  hier im EK
 Heuristiken:
• flexibler gegenüber Verletzungen bestimmter, in der Praxis oft nicht
haltbarer Annahmen
• Einfacher zu verstehen, weniger Nervosität
EK Produktion & Logistik
Kapitel 8/24
Heuristiken
Grundprinzip dieser Heuristiken:
• Wird in einer Periode produziert, wird anhand eines Kostenkriteriums
geprüft, ob die Bedarfe der darauf folgenden Perioden auch in dieser
Periode produziert werden können.
Die ‚besten‘ Heuristiken für das Problem:
• Silver – Meal Heuristik
• Groff – Heuristik
in der Literatur findet man auch (und diese sind teilweise auch in der
Praxis beliebt): „part-period“ und „gleitende wirtschaftliche Losgröße“
EK Produktion & Logistik
Kapitel 8/25
Silver – Meal - Heuristik
optimale Losgröße im EOQ Modell
 Durchschnittskosten pro Zeiteinheit minimal
Übertragung dieser Idee auf dynamischen Fall:
 erweitere die Losreichweite
(d.h. nehme die Bedarfsmenge der nächsten Periode dazu),
solange die Durchschnittskosten pro Zeiteinheit sinken:
kper
j
j


  S  h  (t   )dt 
t  1


 j    1
j≥τ
(Kosten pro Los) / (# Perioden für die das Los reicht)
 … Periode, in dem Los aufgelegt wird
j … Periode, bis zu der das Los reicht
EK Produktion & Logistik
Kapitel 8/26
Beispiel: Dynamische Losgrößenheuristiken
Der Bedarf eines Produktes beträgt in den nächsten fünf Wochen:
20, 40, 20, 30 und 20 Einheiten.
Die bestellfixen Kosten werden mit 70 Geldeinheiten und die
Lagerkosten mit 1 Geldeinheit pro Stück und Woche angesetzt.
Wie lauten die Losgrößen nach dem Verfahren von Silver und Meal
bzw. nach dem Verfahren nach Goff?
EK Produktion & Logistik
Kapitel 8/27
Beispiel: Silver – Meal - Verfahren
Prod. in produziere bis
Periode
Periode
=1
1
1&2
1, 2 & 3
1, 2, 3 & 4
=4
4
4&5
q*= ( 80; 0; 0; 50; 0 )
Kosten pro Periode
s  h  0  d1
= 70
1
70  1 1  40
s  h 1  d 2

= 55
2
2
110  1  2  20
s  h 1  d 2  h  2  d 3

= 50
3
3
s  h 1  d 2  h  2  d 3  h  3  d 4 150  1  3  30

= 60
4
4
s  h0d4
= 70
1
70  1 1  20
s  h 1  d 5

= 45
2
2
K(q*) = 2*S + h*1*d2 + h*2*d3 + h*1*d5 = 240 GE
EK Produktion & Logistik
Kapitel 8/28
Groff - Heuristik
optimale Losgröße im EOQ Modell
Marginale Rüstkostenersparnis = Marginaler Lagerkostenzuwachs.
Übertragung dieser Idee auf dynamischen Fall:
 erweitere die Losreichweite, solange die Grenz-Lagerkosten kleiner
als die Grenz-Rüstkosten sind:
 Die Losreichweite  des Loses einer Periode wird so lange erhöht,
bis erstmals die marginale Ersparnis an Rüstkosten geringer ist als der
marginale Zuwachs an Lagerkosten, d.h. bis erstmals gilt:
d 1   (  1)  2 
s
h
EK Produktion & Logistik
Kapitel 8/29
Beispiel: Groff - Verfahren
Rechte Seite (Rüst- / Lagerkosten) =
prod. in produziere
Periode bis Periode
1
4
q*
d
2
s
= 140
h
Losreich-  + 1 d *  * ( + 1)
weite ()
1
20
0
1
0
≤ 140
2
40
1
2
80
≤ 140
3
20
2
3
120
≤ 140
4
30
3
4
360
> 140
4
30
0
1
0
≤ 140
5
20
1
2
40
≤ 140
K(q*) = 240 GE
= ( 80; 0; 0; 50; 0 )
EK Produktion & Logistik
Kapitel 8/30
Beispiel: mehrstufige Produktion
 Endprodukt (1) mit kontinuierlicher Nachfrage
 Bedarf an Vorprodukt (2) hat damit sporadischen Charakter; die
Wahl der Losgröße für (1) beeinflusst den Bedarf an (2)
Lagerbestand (1)
1
Zeit t
Los
Lagerbestand (2)
1
Los
Zeit t
2
Los von Produkt 1 wird nun nur
jedes 2. mal produziert
also zu Zeiten 0, 3, 6, …
Los von Produkt 2 wird
weiterhin zu Zeiten 0, 3, 6, …
produziert
Losgrößenplanung von Produkt 1
beeinflusst Bedarf nach Produkt 2
 unzulässige Lösung bei
unabhängiger Planung
Fehlmenge
EK Produktion & Logistik
Kapitel 8/31

Losgrößenplanung - Lehrstuhl für Produktion und Logistik