Möglichkeiten und Grenzen bei der Simulation von
Bodendynamik-Problemen
1 Einleitung
Seit bald 50 Jahren sind wir in der Lage Schwingungsprobleme im Bauwesen mit Computerprogrammen zu simulieren. Das Geheimnis hinter diesen Simulationen ist die Auflösung der zu untersuchenden Strukturen in einzelne Stäbe, Platten und Würfel. Das Vorgehen ist ähnlich wie
beim Ein-Massen-Schwinger. Beim Ein-Massen-Schwinger ist eine Differentialgleichung in der
Form von M&x&(t ) + Cx& (t ) + Kx(t ) = P(t ) zu lösen, d.h. mit der Masse, der Dämpfung, der Federsteifigkeit und der Belastung können wir den Schwingungsverlauf bestimmen. Beim FEProgramm wird bereits für ein einfaches Stabelement – anstelle der Federsteifigkeit – eine 6 x 6
– Steifigkeitsmatrix verwendet. Für ein ganzes Gebäude ergibt sich dann schnell einmal eine
Matrizengleichung mit Zehntausenden von Zeilen. Dazu kommt, dass dieses Gleichungssystem
nicht nur einmal, sondern für jeden Zeitschritt neu zu lösen ist, sodass z.B. für ein Erdbeben von
20 Sekunden Dauer und einer Schrittlänge von 0.01 Sekunden bereits 2000 Berechnungen
durchzuführen sind.
Für Bauwerke lassen sich solche Berechnungen problemlos durchführen. Die heutigen PC’s mit
ihren leistungsfähigen Prozessoren kommen damit noch nicht an ihre Grenzen. Schwierig wird
es erst bei der Simulation von Schwingungsproblemen, bei denen nicht nur das Bauwerk selbst
sondern auch der umgebende Boden berücksichtigt werden sollte. Das Bauwerk hat eine begrenzte Ausdehnung und mit etwas Geschick lässt sich die Anzahl Elemente in einem sinnvollen
Rahmen halten. Der Boden hingegen ist ein unbegrenztes Medium, weshalb wir eigentlich eine
unendliche oder zumindest eine sehr grosse Anzahl von Elementen für eine gute Simulation
brauchen.
Das Angebot an kommerziell erhältlichen Computerprogrammen für die Simulation von dynamischen Vorgängen im oder auf dem Boden ist auch heute noch recht beschränkt. Ein recht weit
verbreitetes Produkt ist das Programm PLAXIS, das eine 3-D-Simulation von Schwingungsvorgängen von Tragstruktur und Baugrund erlaubt. Im vorliegenden Beitrag versuchen wir die
Möglichkeiten und Grenzen dieses Programmes etwas aufzuzeigen.
2 Modellbildung
Die Modellbildung ist das zentrale Thema bei der Beurteilung von FE-Berechnungen. Dabei
geht es einerseits um die Modellierung der Geometrie, d.h. um den sichtbaren Teil der zu untersuchenden Struktur, andererseits um die Modellierung des Deformationsverhaltens, d.h. um die
Materialgesetze. In beiden Punkten unterscheiden sich FE-Programme für Bauwerke ganz entscheidend von FE-Programmen für den Boden.
2.1 FE-Programme für Tragwerke
Bei Tragwerken wie bei der Fussgängerbrücke über die Verzasca genügt ein klassisches FEProgramm (siehe Bild 2.1 und 2.2). Stahlrohre und Stahlträger werden als Stabelemente und der
Fahrweg als Platten modelliert. Das Materialverhalten ist linear-elastisch, sodass sich keine be1
sonderen Probleme bei der Berechnung der Eigenfrequenzen ergeben. Die Übereinstimmung
zwischen berechneten und gemessenen Eigenfrequenzen ist in solchen Fällen in der Regel auch
sehr gut. Die Schwierigkeiten liegen vielmehr in der Eingabe der Dämpfung und in der Definition der Belastung. Dies ist allerdings nicht eine Unzulänglichkeit des FE-Programmes, sondern
liegt vielmehr am unvollständigen Wissen des Ingenieurs.
Bild 2.1 FE-Modell der Brücke über die Verzasca (TI)
Bild 2.2 Fertige Brücke
2.2 FE-Programme für den Baugrund
Im Gegensatz zu Tragwerken ist der Boden ein unbegrenztes Medium. Die eingetragene
Schwingungsenergie bleibt nicht in der Tragstruktur eingeschlossen sondern wandert in alle
Richtungen und verlässt den betrachteten Bereich. Dies ist durch eine entsprechende Modellierung der Ränder zu berücksichtigen. Der zweite Punkt, in welchem sich der Boden doch ganz
wesentlich von Tragstrukturen unterscheidet, ist sein Materialverhalten. Während bei Stahl und
Beton primär das lineare Verhalten von Bedeutung ist, gelangen wir beim Boden sehr schnell in
den nicht-linearen Bereich. Ein FE-Programm für die Simulation von dynamischen Vorgängen
im Boden sollte deshalb in der Lage sein, die Unbegrenztheit des Bodens und das nicht-lineare
Verhalten nachzubilden. Im Folgenden wird kurz aufgezeigt, wie diese Problematik im Programm PLAXIS angegangen wird.
2.2.1 Dynamische Bewegungsgleichung
PLAXIS verwendet die gleiche Formulierung wie sie auch für Tragwerke verwendet wird, d.h.
M&x&(t ) + Cx& (t ) + Kx(t ) = P(t )
(2.1)
Dabei stellt M die Massenmatrix, C die Dämpfungsmatrix, K die Steifigkeitsmatrix, P den
Lastvektor und x den Verschiebungsvektor dar. Die Massenmatrix M umfasst die Masse des
Bodens, die Masse des Wassers und falls vorhanden die Masse der Tragstruktur.
Die Matrix C berücksichtigt die Materialdämpfung des Bodens und der Tragstrukturen. PLAXIS
verwendet die Rayleigh-Dämpfung, in welcher die Dämpfung als Funktion der Massenmatrix
und der Steifigkeitsmatrix angegeben wird. Die dabei verwendeten Parameter lassen sich allerdings nicht experimentell bestimmen. Auf diese Problematik wird weiter unten noch eingegangen.
2.2.2 Bodenmodelle
Für die Simulation von bodendynamischen Vorgängen stehen zwei Bodenmodelle im Vordergrund: das linear-elastische Modell und das nichtlinear-elastische Modell mit dehnungsabhängiger Steifigkeit und Dämpfung. Steifigkeit und Dämpfung zeigen beim Baugrund – wie in Bild
2
2.3 und 2.4 dargestellt – ein ausgesprochen nicht-lineares Verhalten. Solange sich die Schubdehnung im Bereich von Promillen bewegt, bleibt die Steifigkeit praktisch unverändert. Dasselbe
gilt auch für die Dämpfung. Dies bedeutet, dass in diesem Dehnungsbereich, der übrigens für
viele baudynamische Aufgaben wie z.B. die Schwingungsberechnung für ein Maschinenfundament, der einzige akzeptierte Bereich ist, von einem linear-elastischen Verhalten des Bodens
ausgegangen werden darf. Bei der Untersuchung von „lokalen Bodeneffekten“ im Rahmen von
Erdbebenberechnungen hingegen sind Dehnungen im Promille- bis Prozentbereich durchaus
möglich, weshalb hier die Dehnungsabhängigkeit explizit berücksichtigt werden muss.
Steifigkeit
Däm pfung
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.6
G/Go
0.5
0.4
0.7
Maschinenfundamente
0.6
D
0.4
Erdbeben
0.3
0.5
Erdbeben
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0.00001
Maschinenfundamente
0
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
0.00001
Dehnung ( γ )
Bild 2.3 Schubsteifigkeit in Funktion der Schubdehnung
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
Dehnung ( γ )
Bild 2.4 Dämpfung in Funktion der Schubdehnung
2.2.3 Viskose Ränder
Bei statischen Problemen des Baugrundes genügt es, die Ränder des betrachteten Bodenbereichs
soweit nach aussen zu schieben, bis sie keinen signifikanten Einfluss mehr haben. Bei dynamischen Problemen funktioniert das nicht. Wegen der Reflexion der Wellen an starren Rändern
müsste man die Ränder soweit nach aussen schieben, dass der Rechenaufwand für ein solches
Modell viel zu gross würde. Man behilft sich deshalb mit sogenannten „absorbierenden“ Rändern, welche die Reflexion von Wellen weitgehend unterdrücken. Anstelle eines starren Randes
werden Dämpfungselemente eingebaut. Sobald die Spannung am Rand wächst, bewegt sich das
Dämpfungselement und sorgt dafür, dass die Welle nicht reflektiert wird. Kompressionswellen
lassen sich auf diese Weise sehr gut absorbieren. Hingegen ist bei Scherwellen immer noch ein
gewisser Randeffekt zu beobachten.
3 Grundaufgaben
Um die Möglichkeiten und Grenzen eines FE-Programmes auszuloten, wird man sicherlich als
erstes einige einfache Grundaufgaben simulieren und die Ergebnisse mit den theoretischen Lösungen vergleichen. Aber da beginnen bereits die Schwierigkeiten. Bereits bei den einfachsten
Grundaufgaben fehlen in der Baugrunddynamik oft theoretisch exakte Lösungen. Trotzdem sollen im Folgenden einige Grundaufgaben der Bodendynamik vorgestellt werden. Anhand dieser
Grundaufgaben wollen wir sehen, wie weit die Simulation mit dem FE-Programm PLAXIS mit
den klassischen Lösungen übereinstimmt.
3.1 Maschinenfundament auf elastischem Halbraum
3.1.1 Klassische Lösung (1-Massenschwinger-Analogie)
Das dynamische Verhalten eines starren Blockfundamentes lässt sich – wie in Bild 3.1a und b
dargestellt – durch ein einfaches Feder-Dämpfer-System approximieren. Die Bewegungsgleichung für ein vertikal schwingendes Fundament ist damit identisch mit der Bewegungsgleichung
eines Ein-Massen-Schwingers, d.h. es gilt:
3
m&z& + cz& + kz = P (t )
(3.1)
wobei die Koeffizienten k und c aufgrund der Fundamentgrösse r und der Baugrundparameter G
(Schubsteifigkeit), ν (Querdehnungszahl) und ρ (spezifische Masse des Bodens) bestimmt werden.
Steifigkeit:
Massenverhältnis B :
Bild 3.1a Fundamentblock auf
elastischem Halbraum
Bild 3.1b Ein-Massen-Schwinger
als Ersatzsystem für den Fundamentblock auf elastischem Halbraum
4Gr
1 −ν
m(1 − ν )
4 ρr 3
DämpfungsVerhältnis D:
0.425
Fiktive zusätzliche
Masse:
0.27m
B
B
Bild 3.1c Parameter für die Vertikalschwingung des starren Fundamentes
In Bild 3.1c sind die Parameter für die Vertikalschwingung des starren Fundamentes zusammengestellt. Die Steifigkeit ist dabei identisch mit den Steifigkeiten des statischen Falles, der Koeffizient für die Dämpfung entspricht der Dämpfung im Resonanzbereich. Die effektive Masse m
berechnet sich, indem man zur Masse des Fundamentes eine zusätzliche fiktive Masse addiert.
In Tabelle 3.1 sind die wichtigsten Ergebnisse der klassischen Berechnung zusammengestellt.
Die Parameter, die sich leicht mit den Ergebnissen von PLAXIS vergleichen lassen, sind die
Schwingungsamplitude des Fundamentblockes bei verschiedenen Anregungsfrequenzen und die
Wellenlänge der Schwingungen an der Bodenoberfläche.
Tab. 3.1 Maschinenfundament auf elastischem Halbraum
Eigenschaften:
Steifigkeit und Masse:
r=
0.51 m
K=
M=
0.5 t
Mr =
0.33418
D=
0.74
ro =
2 t/m3
vs =
97 m/s
ν=
0.3
G=
18818 kN/m2
Belastung:
P=
f=
Md =
Mtot =
f0 =
54601 kN/m
0.4 t
0.9 t
39.1 Hz
Schwingungsamplitude:
8 kN
ddyn =
0.14590 mm
8 Hz
dstat =
0.14652 mm
λ=
12.1 m
Die Schwingungsamplitude beträgt – wie man aus Tabelle 3.1 entnehmen kann – 0.15 mm und
die Wellenlänge liegt mit Wellengeschwindigkeit von 100 m/s und einer Anregung von 8 Hz bei
12 m.
4
3.1.2 FE-Berechnung mit PLAXIS
Modelliert wird – wie in Bild 3.2 dargestellt – ein Bodenbereich von 40 m x 40 m mit einer Tiefe
von 10 m mit einer kreisförmigen Platte in der Mitte. Da es sich um ein achsensymmetrisches
Problem handelt, genügt die Modellierung eines Viertels dieses Bereiches. Die äusseren Begrenzungen, d.h. Xmax, Ymax und Zmin, werden als viskose Ränder eingegeben. Die Platte mit einer
Stärke von 0.2 m weist einen Radius von 0.5 m auf. Sie wird durch eine gleichmässig verteilte,
vertikale harmonische Kraft belastet.
10 m
40 m
Bild 3.2 FE-Modell für ein starres Fundament auf dem elastischen Halbraum
Die Bilder 3.3 und 3.4 zeigen die Ergebnisse für 8 und 16 Hz Anregung. Die Wellen werden
durch das FE-Modell schön abgebildet und auch die Schwingungsverläufe sehen plausibel aus.
Bild 3.3 FE-Modell bei Anregung mit 8 und 16 Hz
Bild 3.4 Schwingungsverlauf für 6 Punkte auf der XAchse (X = 0 m, 1 m, 2 m, 4 m, 8 m, 16 m)
Für die Berechnung mit einer Anregung von 64 Hz zeigt sich, dass die Standard-Netzeinteilung
nicht ausreicht. Es muss – wie in Bild 3.5 dargestellt – auf eine feinere Netzeinteilung gewechselt werden, damit die Wellen noch korrekt erfasst werden. Damit ergeben sich allerdings schon
die ersten Überraschungen bei den Wartezeiten. Statt der Rechendauer von 5 Minuten muss man
5
nun schon eine halbe Stunde auf die Ergebnisse warten. Wählt man noch eine feinere Netzeinteilung, stösst ein PC an seine Grenzen.
Schwingungsamplitude
0.160
0.140
Wegamplitude in mm
0.120
0.100
1‐M‐Analog
0.080
Plaxis
0.060
0.040
0.020
0.000
0
10
20
30
40
50
60
70
Frequenz in Hz
Bild 3.5 FE-Modell mit feinerer Netzeinteilung für Anregung mit 64 Hz
Bild 3.6 Vergleich der Ergebnisse des FE-Modells mit
der klassischen Lösung
Die Ergebnisse der FE-Berechnung mit PLAXIS stimmen sehr gut mit den klassischen
Berechnungen überein. Wie man in Bild 3.6 sieht, ergibt sich mit der Ein-Massen-SchwingerAnalogie eine maximale Schwingungsamplitude von 0.15 mm, die mit zunehmnder
Anregungsfrequenz abnimmt und bei 64 Hz noch 0.06 mm beträgt. Die FE-Berechnung mit
PLAXIS ergibt praktisch die gleichen Ergebnisse.
3.2 Abminderungsverhalten im Frei-Feld
Mit dem nächsten Beispiel wollen wir das Abminderungsverhalten der Wellen im Frei-Feld untersuchen. Dieses wird bekanntlich einerseits durch die geometrische Dämpfung und andererseits
durch die Materialdämpfung des Bodens bestimmt. Als Referenz wählen wir Messungen bei
einer Impulsanlage und Messungen neben Eisenbahngleisen.
3.2.1 Messungen
Stanz masc hinen
Mit der Impulsanlage von Bild 3.7 kann man eine Masse von 150 kg aus 2 m fallen lassen. Die
Messungen (dargestellt in Bild 3.9) zeigen, dass die Abminderung der Schwingungsamplituden
einem einfachen exponentiellen Gesetz folgt und dass der Abminderungsexponent zwischen 1.4
und 1.5 liegt. Dabei ist zu beachten, dass die dominanten Frequenzen hier im Bereich von 20 bis
25 Hz lagen.
Impulsanlage
STM-Stöckli AG
Messpunkt
Sauter -Bachm ann
Bild 3.7 Impulsanlage: M = 150 kg, H = 2 m
Bild 3.8 Lage der Impulsanlage und der Messpunkte
6
Bild 3.9 Gemessene Abminderung bei Impulsanregung
Abminderung bei Impulsanregung
1000
n = ‐1.4
n = ‐1.5
Impuls‐Anregung
d‐max in μm
100
10
1
10
100
Distanz in m
Bei Linienquellen, wie sie z.B. bei Eisenbahnlinien vorliegen, sind die Abminderungsexponenten kleiner. Messungen zeigen, dass hier die Exponenten zwischen 0.5 und 2 liegen, wobei sich
eine starke Frequenzabhängigkeit bemerkbar macht. Diese kommt durch die Materialdämpfung
zustande, die gerade bei höheren Frequenzen stärker in Erscheinung tritt.
3.2.2 FE-Berechnung mit PLAXIS
Für die Untersuchung des Abminderungsverhaltens im Boden mit PLAXIS wurde das gleiche
Modell verwendet wie in Kapitel 3.1.2. Die Anregung erfolgt als harmonische Anregung auf
einer kreisförmigen Platte bei 8, 16, 32 und 64 Hz. In einem ersten Durchgang wurde die Materialdämpfung im Boden zu Null gesetzt, sodass nur geometrische Dämpfung vorhanden war.
Erwartungsgemäss lag das Abminderungsverhalten bei allen 4 Frequenzen etwa im gleichen
Rahmen und zeigte einen Abminderungsexponenten zwischen 0.7 und 1.0 (sieh Bild 3.12).
Abminderung ohne Dämpfung
100
n = ‐0.7
10
d‐max in μm
n = ‐1.0
8 Hz
16 Hz
1
32 Hz
64 Hz
0.1
0.01
1
10
Distanz in m
Bild 3.11 FE-Modell bei Anregung mit 32 Hz
Bild 3.12 Abminderungsverhalten ohne Materialdämpfung bei verschiedenen Frequenzen
Für den zweiten Berechnungsdurchgang wurde die Materialdämpfung eingeführt, was im Fall
von PLAXIS so viel bedeutet, dass man an den beiden Dämpfungsparametern der RayleighDämpfung so lange schraubt, bis die Ergebnisse plausibel aussehen. Eine exakte Bestimmung
der Dämpfungsparameter existiert nicht.
In unserem Beispiel haben wir die Dämpfung zwischen 10 und 50 Hz auf 5 bis 15 % eingestellt
(siehe Bild 3.13) und damit die Ergebnisse von Bild 3.14 erhalten. Die Ergebnisse sehen nun
vernünftig aus mit starker Abminderung bei 64 Hz und geringer Abminderung bei 8 und 16 Hz.
Der Weg, der dazu geführt hat, ist allerdings nicht restlos überzeugend.
7
Abminderung mit Dämpfung
100
n = ‐1.0
10
n = ‐3.0
d‐max in μm
8 Hz
16 Hz
1
32 Hz
64 Hz
0.1
0.01
1
10
Distanz in m
Bild 3.13 Definition der Materialdämpfung im Programm PLAXIS
Bild 3.14 Abminderungsverhalten mit Materialdämpfung bei verschiedenen Frequenzen
3.3 Impulsanregung auf elastischem Halbraum
Die Impulsanregung des vorangehenden Beispiels kann natürlich auch dazu verwendet werden,
um zu prüfen, ob ein FE-Programm wie PLAXIS in der Lage ist, die von einem Impuls erzeugten Bodenwellen zu simulieren. Als Kenngrösse der Belastung wählen wir die Impulsstärke und
als Vergleichskriterium die maximale Schwinggeschwindigkeit.
3.3.1 Messung
Bild 3.15 zeigt die Erschütterungsaufzeichnungen und die zugehörigen Amplitudenspektren an
den verschiedenen Messpunkten für einen Schlag der Impuls-Anlage. Der Impuls erzeugt einen
Ausschwingvorgang, der nach ca. 0.3 Sekunden abgeklungen ist. Die Hauptfrequenzen liegen
zwischen 20 und 25 Hz.
Zeitverlauf
Amplitudenspektrum
400
300
20
200
MP 1
100
15
um/s
-100
10 m
10
-200
5
-300
-400
Ch1 um/s
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
9.0
9.1
9.2
9.3
9.4 sec
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
Hz
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
Hz
200
MP 2
150
14
100
12
50
10
um/s
8
-50
20 m
6
-100
4
-150
2
-200
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
9.0
9.1
9.2
9.3
9.4 sec
Ch2 um/s
60
50
5.0
40
30
MP 3
20
4.0
10
um/s
3.0
-10
-20
40 m
2.0
-30
-40
1.0
-50
-60
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
9.0
9.1
9.2
9.3
9.4 sec
Ch3 um/s
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300 Hz
Bild 3.15 Zeitverlauf und Amplitudenspektren bei Impulsanregung
8
3.3.2 FE-Berechnung mit PLAXIS
Als Impuls wurde eine halbe Sinus-Welle mit 12.5 ms und 25 ms Dauer gewählt (siehe Bild
3.16). Die Wahl dieser Impuls-Form ist sicherlich arbiträr, denn die genaue Form des Impulses
in der Versuchsanlage (Bild 3.7) ist nicht bekannt.
Bild 3.16 Definition der Belastung im Programm
PLAXIS
Bild 3.17 Schwingungszeitverlauf an den Punkten mit
den Distanzen 1 m, 2 m, 4 m, 8 m und 16 m
In der Berechnung mit PLAXIS wurde mit einem Impuls von 0.175 tm/s (bei Δt = 0.025 s) und
0.0875 tm/s (bei Δt = 0.0125 s) gerechnet. Bei der Impulsanlage ergibt sich aufgrund der Fallgeschwindigkeit und der Fallmasse ein Impuls von 0.59 tm/s. Somit liegt die Impulsstärke bei der
Impulsanlage um einen Faktor 3 bzw. 6 höher als bei der Simulation mit PLAXIS.
Die Ergebnisse von PLAXIS zeigen einige markante Unterschiede gegenüber den Messungen.
Das Nachschwingen des Bodens, das bei den Messungen (siehe Bild 3.15) deutlich vorhanden
ist, findet man im PLAXIS-Modell nicht. Die von PLAXIS berechneten maximalen Schwinggeschwindigkeiten sind einiges höher als die gemessenen. Das Abminderungsverhalten hingegen
ist ähnlich wie bei der Versuchsanlage. Interessant ist überdies, dass die Belastung mit der kürzeren Stossdauer (Δt = 0.0125 s) zu stärkeren Erschütterungen führt als die Belastung mit der
längeren Stossdauer, obwohl doch die längere Stossdauer einen stärkeren Impuls darstellt.
Bild 3.17 Abminderungsverhalten für vmax
nach PLAXIS im Vergleich mit Messungen
Abminderung bei Impulsanregung
100000
v‐max in μm/s
10000
Plaxis D = 25 ms
Plaxis D = 12.5 ms
Messung
1000
100
10
1
10
100
Distanz in m
4 Simulation von Erdbeben
Für die Simulation von Erdbeben und insbesondere für die Bestimmung der Boden-BauwerksInteraktion scheint das Programm PLAXIS sehr gut geeignet zu sein. Mit geringem Aufwand
lassen sich die Daten für Boden und Gebäude eingeben. Für diesen Beitrag wurde die Beeinflussung der Eigenfrequenz des Gebäudes durch den Boden untersucht.
9
4.1 Gebäude-Eigenfrequenzen
Das Gebäude, ein längliches 5-stöckiges Wohnhaus mit einem Untergeschoss, wurde als 2-DModell eingegeben. Auch der Boden wurde im Prinzip als 2-D-Model simuliert. In Bild 4.1 sieht
man das gesamte Modell, in Bild 4.2 das Gebäude mit einem Untergeschoss und fünf Obergeschossen.
Bild 4.1 2-D-Model für ein längliches Gebäude eingebettet im Boden
Bild 4.2 Detail-Darstellung des Gebäudes
Zur Untersuchung des Bodeneinflusses auf die Eigenfrequenz des Gebäudes wurde eine horizontale Last auf der Höhe der obersten Decke aufgebracht und anschliessend das freie Ausschwingen berechnet. Für die Variante „starre Einspannung“, d.h. ohne Bodeneinfluss, wurde die Steifigkeit des Bodens sehr hoch gesetzt. Für die Variante „Einbettung in Boden“ wurde ein nichtlineares Bodenmodell mit dehnungsabhängiger Steifigkeit verwendet. Das unterschiedliche Verhalten zeigt sich sehr schön in den Bildern 4.3 und 4.4. Die weiche Einspannung im Boden
ergibt eine Verformung der Bodenplatte, was zu grösseren Schwingungsamplituden und zu einer
tieferen Eigenfrequenz führt. Die Eigenfrequenz sinkt – wegen der weichen Einspannung im
Boden – von 1.18 Hz auf 1.05 Hz (siehe Bild 4.5).
Bild 4.3 Schwingung eines Gebäudes mit Einspannung
in einem starren Boden
Bild 4.5 Schwingung eines Gebäudes mit Einspannung
in einem weichen Boden
10
Bild 4.5 Ausschwingverhalten bei starrer
Einspannung (blaue Linie) und bei weicher
Einspannung im Boden (rote Linie)
5 Simulation von Eisenbahnerschütterungen
Die Simulation der Ausbreitung von Eisenbahnerschütterungen mit Hilfe von FE-Programmen
ist seit Jahren der Wunschtraum jedes Baudynamikers. Damit könnten die Immissionen von Eisenbahntunnels, der Einfluss von elastischer Gebäudelagerung oder auch die Wirkung von Bodenschlitzen im Voraus berechnet werden. Stattdessen begnügen wir uns doch noch mehrheitlich
mit empirischen Modellen, die quasi mit Analogieschlüssen das Schwingungsverhalten des Bodens und die Übertragung auf die Gebäude berechnen.
5.1 Frei-Feld-Ausbreitung
Mit dem einfachen Ansatz der exponentiellen Abminderungsfunktion von Gleichung (5.1)
⎛r ⎞
v = v0 ⎜ 0 ⎟
⎝r⎠
n( f )
(5.1)
erhält man eine recht gute Approximation der realen Ausbreitungsverhältnisse im Frei-Feld. Dabei sind im frequenz-abhängigen Abminderungsexponenten n(f) beide Anteile, die geometrische
Dämpfung und die Materialdämpfung enthalten. Selbstverständlich existieren physikalisch korrektere und entsprechend kompliziertere Formulierungen, die uns aber wegen der ungenügenden
Datenlage auch nicht weiter helfen als Gleichung (5.1).
5.1.1 Messdaten
Bild 5.1 zeigt die starke Frequenz-Abhängigkeit der Wellenausbreitung am Beispiel einer Messung neben einer Bahnlinie. Der Exponent n(f) in Gleichung (5.1) ist stark frequenz-abhängig
und variiert zwischen 0.31 und 2.17. Der für den Peak-Wert bestimmte Exponent von n = 1.04
liegt erwartungsgemäss im Mittelfeld der frequenz-abhängigen Exponenten (Bild 5.1).
Dänikon
1
Freq.
Hz
n(f)
8
0.54
16
0.31
32
0.76
64
1.34
128
2.17
v-rms in mm/s
TB8
TB16
TB32
0.1
TB63
TB125
⎛r ⎞
v = v0 ⎜ 0 ⎟
⎝r ⎠
1 .04
0.01
10
100
Distanz vom Gleis (m )
Bild 5.1 Frequenz-abhängige Ausbreitung im realen Boden
11
In Bild 5.2 ist das Ergebnis der statistischen Auswertung von 7 Frei-Feld-Messungen zusammengefasst. Der Mittelwert, dargestellt als blaue Linie, lässt sich durch die idealisierte rote Linie
approximieren. Nach dieser Auswertung liegt der Exponent n(f) im tiefen Frequenzbereich, d.h.
zwischen 4 und 16 Hz, bei 0.4 und im hohen Frequenzbereich, d.h. zwischen 125 Hz und 250
Hz, bei 2.2. Dazwischen kann ein linearer Anstieg angenommen werden. Nicht vergessen werden darf dabei, dass hier – wie Bild 5.2 deutlich zeigt – eine erhebliche Streuung vorliegt.
Exponent n in Funktion der Frequenz
3.5
3
Rikon
2.5
Madretsch
Küsnacht
2
Sihlbogen
Bottighofen
n
Mettmenstetten
1.5
Winterthur
Mittelwert
1
Freq
n(f)
Freq
n(f)
4
5
6.3
8
10
12
16
20
25
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.6
0.8
32
40
50
63
80
100
125
160
200
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.0
2.0
2.0
Idealisiert
0.5
0
4
5
6.3
8
10
12.5
16
20
25
31.5
40
50
63
80
100
125
160
200
250
Frequenz
Bild 5.2 Frequenz-abhängige Exponenten für Frei-Feld-Abminderung
5.1.2 FE-Berechnung mit PLAXIS
Für die Simulation der Eisenbahnerschütterung wurde in der Berechnung mit PLAXIS ein Bodenbereich von 20 m x 20 m x 10 m modelliert. Der untere Rand (Zmin) und der seitlich Rand
(Xmax) sind als viskose (absorbierende) Ränder definiert. Die Eisenbahn wurde als Streifenlast
(Bild 5.3) mit harmonischer Anregung (Bild 5.4) eingeführt. An sich könnte man anstelle der
harmonischen Anregung direkt den effektiv gemessenen Schwingungs-Zeitverlauf der Eisenbahnerschütterung einführen, doch damit verpasst man die Chance die Arbeitsweise von PLAXIS zu
verfolgen.
Bild 5.3 3-D-Model für eine Linienquelle mit harmonischer
Anregung
Bild 5.4 Eingabe der harmonischen Anregung in
PLAXIS
Bilder 5.5 und 5.6 zeigen die Wellenbilder für eine Anregung mit 16 Hz bzw. mit 64 Hz. Während bei der Anregung mit 16 Hz sich noch ein schön geordnetes Wellenbild ergibt, (was uns die
Sicherheit gibt, dass die Elementgrösse richtig gewählt ist in Bezug auf die Wellenlänge) ergibt
sich bei der Anregung mit 64 Hz trotz der feineren Netzeinteilung kein schönes Wellenbild. Dies
bedeutet, dass man für die höheren Frequenzen, wie sie bei der Eisenbahn gerade für die Prognose des Körperschalls wichtig sind, eine noch feinere Netzeinteilung wählen muss.
12
Bild 5.5 Wellenbild bei Anregung mit 16 Hz
Bild 5.6 Wellenbild bei Anregung mit 64 Hz
Die Berechnungen wurden für einen Boden mit und ohne Dämpfung durchgeführt, wobei diejenigen Dämpfungsparameter eingesetzt wurden, die in Kapitel 3.2.2 ermittelt worden sind (Bild
3.13). Damit sollte im ersten Fall die reine geometrische Dämpfung sichtbar werden, die ja frequenz-unabhängig ist, und im zweiten Fall die stark frequenz-abhängige Materialdämpfung. Tatsächlich ergibt sich beim Boden ohne Dämpfung (vgl. Bild 5.7) eine praktisch frequenzunabhängige Abminderung mit Exponenten zwischen 0.2 und 0.5 während beim Boden mit
Dämpfung (vgl. Bild 5.8) die Abminderung bei hohen Frequenzen stark zunehmen mit Exponenten zwischen 0.5 und 3.0.
Abminderung ohne Dämpfung
Abminderung mit Dämpfung
100
100
10
10
n = ‐0.2
n = ‐0.5
8 Hz
1
16 Hz
32 Hz
0.1
64 Hz
0.01
n = ‐3.0
v‐max in mm/s
v‐max in mm/s
n = ‐0.5
8 Hz
1
16 Hz
32 Hz
0.1
64 Hz
0.01
0.001
0.001
1
10
Distanz in m
Bild 5.7 Abminderungskurven ohne Dämpfung
1
10
Distanz in m
Bild 5.8 Abminderungskurven mit Dämpfung
5.2 Ankopplungseffekt
Beim Übergang vom Baugrund auf das Gebäude werden die Erschütterungen in der Regel abgemindert. Dies hängt einerseits mit der trägen Masse des Gebäudes andererseits mit der aussteifenden Wirkung der Fundamentplatte zusammen.
5.2.1 Messungen
In den Bildern 5.9 und 5.10 sind die Ankopplungsspektren für 30 Einfamilienhäuser bzw. für 30
Mehrfamilienhäuser zusammengestellt. Die Streuung unter den einzelnen Messungen ist relativ
gross. Die Mittelwerte zeigen jedoch ein recht einheitliches Bild, mit einer Abschwächung von
ca. 60 % im Frequenzbereich zwischen 32 und 60 Hz. Darunter und darüber werden die Erschütterungen wesentlich weniger reduziert.
13
Ankopplungsspektrum MFH
1.4
1.2
1.2
1
1
0.8
0.8
Faktor
Faktor
Ankopplungsspektrum EFH
1.4
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
4
5
6.3
8
10
12.5
16
20
25
31.5
40
50
63
80
100
125
160
200
250
4
5
6.3
8
10
12.5
16
20
25
31.5
40
50
63
80
100
125
160
200
250
Frequenz
Frequenz
Bild 5.9 Ankoppplungsspektren für EFH
Bild 5.10 Ankoppplungsspektren für MFH
Aus den Mittelwertspektren von Bild 5.9 und 5.10 wurden die beiden idealisierten Ankopplungsspektren in Bild 5.11 gebildet. Diese sollen nun mit den Ergebnissen einer PLAXISSimulation verglichen werden.
Idealisierte Ankopplungsspektren
Freq. EFH
MFH
Freq. EFH
MFH
1.2
4 1.00
1.10
31.5 0.40
0.35
1
5 1.00
1.10
40 0.35
0.30
0.8
6.3 1.00
1.10
50 0.35
0.30
Faktor
1.4
0.6
8 1.00
1.00
63 0.40
0.35
MFH idealisiert
10 1.00
0.90
80 0.60
0.40
EFH Mittelwert
12.5 0.90
0.80
100 0.85
0.55
16 0.80
0.70
125 0.95
0.70
20 0.65
0.50
160 1.00
1.00
25 0.50
0.40
200 1.00
1.00
EFH idealisiert
0.4
MFH Mittelwert
0.2
0
4
5
6.3
8
10 12.5 16
20
25 31.5 40
50
63
80 100 125 160 200
Frequenz (Hz)
Bild 5.11 Idealisierte Ankopplungsspektren
5.2.2 FE-Berechnung mit PLAXIS
Für die Simulation des Ankopplungseffekts wurde in der Berechnung mit PLAXIS wiederum ein
Bodenbereich von 20 m x 20 m x 10 m modelliert. Die Eisenbahn wurde als Streifenlast (Bild
5.12) mit harmonischer Anregung (Bild 5.13) eingeführt. Das Gebäude wird durch eine starre
Platte mit den Abmessungen 6 m x 8 m dargestellt.
Bild 5.12 3-D-Model für eine starre Platte neben einer
Linienquelle mit harmonischer Anregung
Bild 5.13 Eingabe der harmonischen Anregung in
PLAXIS
Bilder 5.14 und 5.15 zeigen die Wellenbilder für eine Anregung mit 16 Hz bzw. mit 64 Hz.
Während bei der Anregung mit 16 Hz sich noch ein schön geordnetes Wellenbild ergibt, (was
uns die Sicherheit gibt, dass die Elementgrösse in Bezug auf die Wellenlänge richtig gewählt ist)
ergibt sich bei der Anregung mit 64 Hz trotz der feineren Netzeinteilung kein schönes Wellen14
bild. Dies bedeutet, dass man für die höheren Frequenzen, wie sie bei der Eisenbahn gerade für
die Prognose des Körperschalls wichtig sind, eine noch feinere Netzeinteilung wählen müsste.
Bild 5.14 Wellenbild bei harmonischer Anregung mit 16
Hz
Bild 5.15 Wellenbild bei harmonischer Anregung mit
64 Hz
Das Ergebnis der PLAXIS-Berechnungen ist in Bild 5.16 mit dem empirisch bestimmten Ankopplungsspektrum verglichen. Es überrascht, dass die mit PLAXIS ermittelten Ankopplungsfaktoren so viel tiefer liegen als die empirisch bestimmten. Offensichtlich wird mit dem in
PLAXIS verwendeten Modell nicht alles berücksichtigt. Gerade im höheren Frequenzbereich,
der für den sekundär abgestrahlten Schall (sog. Körperschall) von ausschlaggebender Bedeutung
ist, scheint die Modellierung mit PLAXIS problematisch zu sein.
Bild 5.16 Vergleich des
empirisch bestimmten
Ankopplungsspektrum mit
den Ergebnissen aus der
FE-Berechnung
Ankopplungsspektrum
1.2
1
Faktor
0.8
0.6
Plaxis
0.4
VIBRA-2 (für EFH)
0.2
0
4
5
6.3
8
10
12.5
16
20
25
31.5
40
50
63
80
100
125
160
200
250
Frequenz (Hz)
5.3 Gebäudeschwingungen
Das Schwingungsverhalten der Geschossdecken bildet zumeist den wichtigsten Einflussfaktor in
der gesamten Übertragungskette vom Eisenbahngleis bis ins Wohnzimmer. Bei bekannter Anregung des Gebäudefundamentes und mit Hilfe eines genügend detaillierten FE-Modelles für das
Gebäude sollte der zuverlässigen Berechnung der Gebäudeschwingungen nichts im Wege stehen. Allerdings ist die Wirklichkeit immer etwas komplizierter als die Theorie. Fürs erste ist die
Dämpfung im Gebäude in den wenigsten Fällen genügend genau bekannt und gerade diese Grösse hat einen entscheidenden Einfluss auf das Schwingverhalten. Dazu kommt, dass die Eigenfrequenzen bei unregelmässigen Grundrissen, wie sie im Wohnungsbau vorkommen, nicht sehr
genau bestimmt werden können.
5.3.1 Messungen
In den Bildern 5.17 und 5.18 sind die Transferspektren für Betondecken mit 25 bis 35 Hz bzw.
35 bis 45 Hz zusammengestellt. Die Streuung unter den einzelnen Messungen ist auch hier relativ gross. Im Mittel liegt die spektrale Verstärkung bei einem Faktor von 8 bis 10, in Extremfällen kann er aber auch auf 20 oder noch höher ansteigen.
15
Betondecken 35 - 45 Hz
20
18
18
16
16
14
14
12
12
Faktor
Faktor
Betondecken 25 - 35 Hz
20
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0
0
4
5
6.3
8
10
12.5
16
20
25
31.5
40
50
63
80
100
125
160
200
250
Frequenz
Bild 5.17 Transferspektren für 10 Betondecken mit Eigenfrequenzen von 25 – 35 Hz
4
5
6.3
8
10
12.5
16
20
25
31.5
40
50
63
80
100
125
160
200
250
Frequenz
Bild 5.18 Transferspektren für 18 Betondecken mit Eigenfrequenzen von 35 – 45 Hz
5.3.2 FE-Berechnung mit PLAXIS
Für die Simulation mit PLAXIS wurde im Prinzip das gleiche Model verwendet wie in Kapitel 4
für die Simulation des Erdbebens. Es wurde angenommen, dass das Gebäude sehr lang ist und da
auch die Erschütterungsquelle, d.h. die Eisenbahn, einer Linienlast entspricht, kann man davon
ausgehen, dass eine 2-D-Modellierung zulässig ist. Der Baugrund wurde als homogene Schicht
von 10 m tiefe mit linear-elastischem Materialverhalten und einer Scherwellengeschwindigkeit
von 100 m modelliert. Die untere (Zmin) und die seitliche Begrenzung (Xmax) wurden als viskose
Ränder definiert. Die Anregung durch die Eisenbahn wurde bewusst nicht als realistischer Zeitverlauf einer Eisenbahnerschütterung eingegeben, sondern als Folge von diskreten harmonischen
Anregungen von 8 Hz bis 64 Hz.
In den Bildern 5.19 und 5.20 sind die Wellenbilder für die Anregung mit 8 Hz bzw. für 64 Hz
dargestellt. Man beachte, dass für die Berechnung mit 64 Hz eine wesentlich feinere Netzeinteilung gewählt wurde als für die tieferen Frequenzen. Nur so konnten die hohen Frequenzen richtig abgebildet werden. Die Rechenzeiten für einen einzelnen Lauf wurden auch entsprechend
lang.
Bild 5.19 Wellenbild bei harmonischer Anregung mit 8
Hz
Bild 5.20 Wellenbild bei harmonischer Anregung mit 64
Hz
In den Bildern 5.21 und 5.22 sind die mit dem FE-Modell bestimmten Transferspektren mit den
empirisch bestimmten verglichen. Beim Ankopplungsspektrum ergibt sich das gleiche Bild wie
bereits bei der 3-D-Simulation (vgl. Bild 5.16): Bei höheren Frequenzen, d.h. über 50 Hz stellt
man bei Messungen stets einen Anstieg des Transferspektrums fest, was gerade für die Prognose
des sekundär abgestrahlten Schalls (sog. Körperschall) von Bedeutung ist. Im FE-Modell lässt
sich dieser Anstieg nicht erkennen.
Der Vergleich des Decken-Transferspektrums in Bild 5.22 zeigt, dass mit dem FE-Modell die
Verstärkung im Bereich der Eigenfrequenz von 9 Hz der Geschossdecke sichtbar wird, bei realen
16
Messungen ist sie allerdings wesentlich stärker. Diese Diskrepanz hängt allerdings weniger mit
der Modellbildung als mit der Wahl der Dämpfung und mit der Anregungsdauer zusammen.
Ankopplungsspektrum
Deckenspektrum
1.2
10
9
FE-Modell
1
VIBRA-2 (für MFH)
Faktor
Faktor
0.8
0.6
0.4
8
FE-Modell
7
VIBRA-2 (für Betondecken 12 Hz)
6
5
4
3
2
0.2
1
0
0
4
5
6.3
8
10
12.5
16
20
25
31.5
40
50
63
80
100
125
160
200
250
Frequenz (Hz)
Bild 5.21 Vergleich des empirisch bestimmten Ankopplungsspektrum mit den Ergebnissen aus der FEBerechnung
4
5
6.3
8
10
12.5
16
20
25
31.5
40
50
63
80
100
125
160
200
250
Frequenz (Hz)
Bild 5.22 Vergleich des empirisch bestimmten DeckenTransferspektrums mit den Ergebnissen aus der FEBerechnung
6 Schlussfolgerungen
Gebäude und Boden bilden ein äusserst komplexes und schwierig zu berechnendes Zusammenspiel, wenn es um das dynamische Verhalten geht. Deshalb ist es auch verlockend dieses Zusammenspiel in einem einzigen FE-Modell, das beide Bereiche in einem einzigen Modell vereint, berechnen zu lassen. Bevor wir aber einer solchen Berechnung mit zu viel Vertrauen begegnen, sollten wir uns mit Hilfe von einigen einfacheren Berechnungen von der Tauglichkeit
dieses Werkzeuges versichern.
Die für diesen Beitrag durchgeführten Berechnungen mit PLAXIS haben viele positive Resultate
ergeben. Sie haben aber auch gezeigt, dass in gewissen Bereichen – insbesondere bei der Modellierung von Eisenbahnerschütterungen – erhebliche Unterschiede zwischen der FE-Berechnung
und der Wirklichkeit vorliegen. Die Ergebnisse – die wir vorderhand unbedingt als vorläufige
Ergebnisse verstanden haben möchten – lassen sich wie folgt zusammenfassen:
• Die Modellierung von dynamischen Boden-Bauwerk-Interaktionsproblemen gelingt mit
PLAXIS auf sehr elegante und benutzerfreundliche Weise.
• Die Grundaufgaben wie „Maschinenfundament auf elastischem Halbraum“, die „Erschütterungsabminderung im Frei-Feld“ oder die „Interaktion zwischen Boden und Bauwerk
bei Erdbebenanregung“ werden überzeugend gelöst und ergeben eine gute Übereinstimmung mit klassischen Lösungen.
• Bei der Simulation von Eisenbahnerschütterungen gelingt die Erschütterungsausbreitung
im Frei-Feld sehr gut. Hingegen bleiben beim Übergang der Frei-Feld-Erschütterungen
auf das Gebäudefundament doch einige Fragen offen. Es scheint uns, dass die Übertragung der höheren Frequenzen im Bereich von 50 bis 100 Hz nicht realistisch modelliert
wird. Und gerade dieser Bereich ist für die Prognose von sekundär abgestrahltem Schall
(sog. Körperschall) von grosser Bedeutung.
Für eine abschliessende Beurteilung bedarf es sicherlich einer viel grösseren Anzahl von Vergleichs-Berechnungen. Wichtig scheint uns, dass – bevor wir uns an komplexe Aufgabenstellungen wagen – wir uns mit vereinfachten Aufgabenstellungen und einfachen Belastungsfunktionen
von der Richtigkeit der verwendeten FE-Berechnung selbst überzeugen.
17

Möglichkeiten und Grenzen bei der Simulation von Bodendynamik