12GE - Metzler Physik
Lösungen der Aufgaben
Raymond K NEIP, LYC ÉE DES A RTS ET M ÉTIERS
November 2015
Folgende Seiten enthalten die Lösungen zu einem Teil der Aufgaben aus dem Buch Metzler-Physik. Das
Dokument wird im Laufe des Jahres vervollständigt. Für jeden Hinweis, der zur Verbesserung dieses Dokumentes
beitragen könnte, wäre ich sehr dankbar.
1
1
Die gleichförmige Kreisbewegung
Aufgabe 26 Seite 43
Angaben:
f = 5 400 min−1 = 90 Hz
r = 0.05 m
Bahngeschwindigkeit:
v
v
= ωr = 2πf r
= 2π 90 Hz 0.05 m
v
=
28.27 m/s = 101.8 km/h
Der äussere Rand der CD bewegt sich mit einer Bahngeschwindigkeit von über 100 km/h.
Aufgabe 27 Seite 43
Angaben:
r = 0.3555 m
v = 18 km/h = 5 m/s
Umdrehungszahl des Rads:
v
f
f
=
2πf r
v
5 m/s
=
=
2πr
2π 0.3555 m
= 2.238 Hz = 134.3 min−1
Unter diesen Bedingungen führt das Rad etwa 134 Umdrehungen pro Minute durch.
Aufgabe 28 Seite 43
Angaben:
r = 1 AE = 149.6 · 109 m
T = 365.25 d = 31 557 600 s
Bahngeschwindigkeit der Erde bei ihrer Reise um die Sonne:
v
=
ωr
v
=
v
=
v
=
z}|{
2π
2πr
r =
T
T
2π149.6 · 109 m
31 557 600 s
29 785.7 m/s
v
=
29.8 km/s
v
=
107 228.4 km/h
Die Erde bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von über 100 000 km/h auf ihrer Bahn um die Sonne.
Der Ausdruck 2πr entspricht dem Umfang der (kreisförmigen) Bahn der Erde um die Sonne.
2
2
Zentripetalbeschleunigung - Zentripetalkraft
Aufgabe 1 Seite 35
Angaben:
m = 0.4 kg
Frequenz: f =
l = 0.8 m
80
60
s−1 =
4
3
f = 80 min−1
Hz
a) Betrag der Zentripetalkraft:
FZ = m ω 2 r
wobei in dieser Aufgabe der Radius r der Länge l der Schnur entspricht
und ω = 2πf ist.
Also gilt:
FZ
= m (2πf ) l
FZ
=
0.4 kg (2π
=
22.46 N
4
Hz)2 0.8 m
3
b) Bedingung: FM ax = FZ = 500 N
Berechnung der Frequenz:
= m (2π f )2 l
r
FZ
=
4π 2 m l
s
500 N
=
4π 2 0.4 kg 0.8 m
FZ
f
f
f
=
6.29 Hz = 377.5 min−1
Aufgabe 2 Seite 35
a) Die Geschwindigkeit v wird verdoppelt. Es gilt:
v2
also: aZ ∼ v 2
r
Wird die Geschwindigkeit v verdoppelt, vervierfacht sich die Zentripetalbeschleunigung aZ .
aZ =
b) Der Radius r wird verdoppelt. Es gilt:
v2
1
also: aZ ∼
r
r
Wird der Radius r verdoppelt, dann wird die Zentripetalbeschleunigung aZ halbiert.
aZ =
c) Werden sowohl Geschwindigkeit als auch Radius verdoppelt, so gilt:
v0 = 2 v
und
r0 = 2 r
Zentripetalbeschleunigung:
a0Z
=
a0Z
=
a0Z
=
v 02
(2v)2
4v
=
=
0
r
2r
2r
v2
2
r
|{z}
2 aZ
In diesem Fall wird die Zentripetalbeschleunigung aZ verdoppelt.
3
Aufgabe 4 Seite 35
Angaben:
m = 70 kg
Dauer eines Tages1 :
T = 23 h 56 min 04 s = 86 164 s
Mittlerer Radius R der Erde: R = 6370 km
Zentripetalkraft am Äquator:
2
FZ = m ω r = m
2π
T
2
R
Am Äquator kann der Radius der Bahnbewegung r dem Radius der Erde R gleichgesetzt werden, da der
Zentrum der Kreisbewegung und der Zentrum der Erde identisch sind (siehe Abb. 1).
Abbildung 1: Modell der Erde mit eingetragenen Radien und Zentralkräften am Äquator und am Breitengrad λ.
Befindet man sich jedoch am Breitengrad λ, so ist das Zentrum der Kreisbewegung nicht mehr identisch
mit dem Zentrum der Erde, also rλ 6= R !
Es gilt am Breitengrad λ:
rλ
R
Zentripetalkraft FZ (λ) auf dem Breitengrad λ:
cos λ =
⇒
FZ (λ)
= m
FZ (λ)
= m
rλ = R cos λ
2π
T
2
2π
T
2
rλ
R cos λ
1 Es muss zwischen synodischer und siderischer Tagesdauer unterschieden werden. Der synodische Tag beruht auf dem
scheinbaren Lauf der Sonne und beträgt 24 h. Der siderische Tag beruht auf einer Umdrehung der Erde um ihre Achse von
360◦ und ist knapp 4 Minuten kürzer als der synodische Tag.
4
Übernehmen wir die oben angegebenen Werte, so erhält man für die Zentripetalkraft (λ = 50◦ ):
FZ (λ)
=
70 kg
FZ (λ)
=
1.52 N
2π
86 164 s
2
6.37 · 106 m cos 50◦
Die für die Kreisbewegung notwendige Zentripetalkraft ist wesentlich kleiner als die wirkende Gewichtskraft
(von etwa 700 N ). Es ist jedoch darauf zu achten, dass die Gewichtskraft Richtung Erdzentrum wirkt; die
notwendige Zentripetalkraft jedoch zum Mittelpunkt der gerade beschriebenen Kreisbewegung wirkt.
Aufgabe 5 Seite 35
Angaben:
m = 1300 kg
v = 40 km/h = 11.11 m/s
R = 50 m
Gewichtskraft FG des Autos:
FG
= mg
=
1300 kg 9.81 m/s2
=
12 753 N
Zentripetalkraft FZ die notwendig ist, damit der Wagen bei v = 40 km/h die beschriebene Kreisbewegung
durchführen kann:
FZ
v2
R
=
m
=
1 300 kg
=
(11.11 m/s)2
50 m
3 209.9 N
Es ist zu erkennen, dass die wirkende Gewichtskraft viel grösser als die notwendige Zentripetalkraft ist;
der Wagen kann unter diesen Bedingungen nicht abheben.
Wirkende Normalkraft in der Brückenmitte:
FN
= FG − FZ
=
9 543.1 N
Sobald die notwendige Zentripetalkraft grösser wird als die vorhandene Gewichtskraft hebt der Wagen ab.
Untersuchen wir den Grenzfall, in dem die Normalkraft FN = 0 wird:
FN
= FG − FZ = 0
FG
= FN
v2
= m M ax
p
p R
=
gR =
9.81 m/s2 50 m
= 22.15 m/s = 79.7 km/h
mg
vM ax
vM ax
Sobald der Wagen die Geschwindigkeit von vM ax = 79.7 km/h überschreitet, ist die wirkende Gewichtskraft
kleiner als die notwendige Zentripetalkraft. Der Wagen hebt ab.
5
Aufgabe 29 Seite 43
a) Angaben zum geostationären Satellit:
T = 23 h 56 min 04 s = 86 164 s
r = 42 000 km
Gelegentlich hört man die Aussage, dass sich geostationäre Satelliten in einer Höhe von 36 000 km
aufhalten. Diese Höhe bezieht sich allerdings auf die Erdoberfläche; hierbei muss also der Erdradius addiert
werden (siehe Abb. 2).
Abbildung 2: Höhe eines geostationären Satelliten gegenüber dem Erdzentrum r bzw. der Erdoberfläche h.
Zentripetalbeschleunigung aZ :
2
2π
T
2
aZ
= ω r =
aZ
=
2π
86 164 s
aZ
=
0.223 m/s2
=
0.0228 g =
Die Zentripetalbeschleunigung beträgt
1
44
2
r
4.2 · 107 m
1
g
44
der Fallbeschleunigung g.
b) Angaben zum Wettersatellit:
T = 102 min = 6 120 s
r = 850 km + 6378 km = 7 228 km
Zentripetalbeschleunigung aZ :
2π
T
2
aZ
=
aZ
=
2π
6 120 s
aZ
=
7.619 m/s2
=
0.78 g
r
2
7.228 · 106 m
Die Zentripetalbeschleunigung in einer Höhe von 850 km über dem Erdboden ist nur 20% geringer als die
Fallbeschleunigung g.
Aufgabe 30 Seite 43
Angaben:
Siderische Tagesdauer: T = 86 164 s
R = 6378 km
6
Grenzfall:
FG
= FZ
mg
T
= m(ω)2 r = m
r
r
= 2π
g
= 5 063.1 s
T
=
T
2
r
1 h 24 min 23 s
Bei einer Tagesdauer von T = 1 h 24 min 23 s ist der Betrag der Zentripetalkraft gleich der Fallbeschleunigung g.
Aufgabe 31 Seite 43
Angaben:
r = 4.5 m
aZ = 8 g
Zentripetalbeschleunigung:
aZ = ω 2 r = (2π f )2 r
Umdrehungszahl:
r
f
=
f
=
aZ
=
(2π)2 r
s
8 · 9.81 m/s0 2
(2π)2 4.5 m
0.665 Hz = 39.9 min−1
Aufgabe 32 Seite 43
Angaben:
r = 0.25 m
Die Zentripetalkraft bewirkt, dass der Wagen eine kreisförmige Bewegung durchführt. Im Grenzfall ist die
notwendige Zentripetalkraft gleich der wirkenden Gewichtskraft.
FZ
v2
m
r
v2
r
=
FG
=
mg
=
g
Soweit u.a. Reibungskräfte vernachlässigt werden können, ist die Bedingung unabhängig von der Masse m
des Wagens.
p
√
v =
gr =
9.81 m/s2 0.25 m
v
=
1.57 m/s = 5.64
7

Aufgaben