Projektarbeit zur Veranstaltung
„Programmieren in Fortran 90/95“
Matrizenmethode
Aufgabenstellung
Ziel ist es, die
Verformung
beliebiger, räumlicher
Stabfachwerke zu
berechnen
Gegeben sind
Randbedingungen
und Belastungen
Statisch bestimmte
oder überbestimmte
Strukturen
Einschränkungen
Alle Stäbe des Fachwerkes besitzen die gleiche
Querschnittsfläche A und den gleichen E-Modul
Verschiebungsrandbedingungen sind vom Typ
„Verschiebung = 0“
Berechnet werden die Verschiebungen der
einzelnen Knoten
d
A
Das Hauptprogramm I
Das Hauptprogramm II
Das Hauptprogramm III
Das Hauptprogramm IV
Das Hauptprogramm V
Das Modul
Enthält alle Arrays
variabler Länge
Dynamische
Speicherverwaltung
Verwendung von
Haupt- und
Unterprogrammen
Allokierung in einer
Subroutine möglich
Deallokierung in
einer Subroutine
möglich
Format der Eingabedatei
Datei
eingabe.txt im
gleichen Verz.!
328
1 0 70.71067812 0
2 35.35533906 35.35533906 0
3000
112
223
110
120
130
230
2 5 -300
310
320
330
Leseroutinen I
lesen1 holt die zur
Speicherallokierung
benötigten Daten
speicher nimmt die
Allokierung vor
lesen2 liest die
eigentlich
benötigten Daten
ein
Leseroutinen II
Leseroutinen III
Leseroutinen IV
Elementsteifigkeitsmatrix I
Elementsteifigkeitsmatrix beschreibt Zusammenhang
zwischen Kräften und Verschiebungen eines
Stabelementes
Hookesches Gesetz für den Stab:

F
l
EA
 E   E  
 l  F
A
l
l
(1)
Führt man eine Koordinate s im 1-dim. Raum ein, so ist
dies für beide Knoten ausgeschrieben:
FS 2
FS 1
uS1
uS1
~ EA
K :
l
~
~
 K  K   uS1   FS1 
 ~ ~       
 K K  u

  S 2   FS 2 
(2)
(3)
[Rieg, Hackenschmidt: „Finite Elemente Analyse für Ingenieure“]
Elementsteifigkeitsmatrix II
Im 3-dim. Raum sind die Projektionen der
Verschiebungen auf die Stabachse relevant:




u1  u X 1  eX  uY 1  eY  uZ 1  eZ


 uS1  eS  u1  e
(4)
 
 uS1  u X 1  eX 1  eS1 
 
 
 uY 1  eY 1  eS1  uZ 1  eZ 1  eS1
!
(5)
uS1
u1
s
uZ1
uX1
x2  x1

l
y y
z z
 uY 1  2 1  u Z 1  2 1
l
l
(6)
 uS1  u X 1 
uY 1
[Dankert, Dankert: „Technische Mechanik computerunterstützt“]
Elementsteifigkeitsmatrix III
Die Resultierende der Knotenkräfte muss in Stabachse
fallen, da der Stab nur Zug-/Druckkräfte aufnehmen
kann:




FS1  eS  FX 1  eX  FY1  eY  FZ1  eZ

FS 1 
l
 FX 1
x2  x1
(7)
FS 1 
l
 FY 1
y2  y1
(8)
l
FS 1 
 FZ 1
z 2  z1
(9)
Die Gleichungen (6) bis (9) erhält man analog für den
zweiten Knoten
Damit ergibt sich die Elementsteifigkeitsmatrix Stabes im
3-dim. Raum zu:
Elementsteifigkeitsmatrix IV

( x2  x1 ) 2

 ( x2  x1 )  ( y2  y1 )

(x  x )  (z  z )
Ke  K   2 1 2 2 1
  ( x2  x1 )

  ( x2  x1 )  ( y2  y1 )
  (x  x )  (z  z )
 2 1 2 1
mit
( x2  x1 )  ( z2  z1 )  ( x2  x1 )  ( x2  x1 )  ( x2  x1 )  ( y2  y1 )  ( x2  x1 )  ( z2  z1 ) 

( y2  y1 )  ( z2  z1 )  ( x2  x1 )  ( y2  y1 )
 ( y2  y1 ) 2
 ( y2  y1 )  ( z2  z1 ) 

( y2  y1 )  ( z2  z1 )
( z2  z1 ) 2
 ( x2  x1 )  ( z2  z1 )  ( y2  y1 )  ( z2  z1 )
 ( z2  z1 ) 2 
 ( x2  x1 )  ( y2  y1 )  ( x2  x1 )  ( z2  z1 )
( x2  x1 ) 2
( x2  x1 )  ( y2  y1 ) ( x2  x1 )  ( z2  z1 ) 

 ( y2  y1 ) 2
 ( y2  y1 )  ( z2  z1 ) ( x2  x1 )  ( y2  y1 )
( y2  y1 ) 2
( y2  y1 )  ( z2  z1 ) 

 ( y2  y1 )  ( z2  z1 )
 ( z2  z1 ) 2
( x2  x1 )  ( z2  z1 ) ( y2  y1 )  ( z2  z1 )
( z2  z1 ) 2

( x2  x1 )  ( y2  y1 )
( y2  y1 ) 2
~
K EA
K : 2  3
l
l
(11)
Damit ist der Zusammenhang zwischen Verschiebungen
und Kräften:
Ke  u  F
(12)
mit:
u  uX 1
uY1 uZ1 uX 2 uY 2
F  FX 1 FY1 FZ1 FX 2
FY 2
T

uZ 2
FZ 2 
T
Elementsteifigkeitsmatrix IV
Gesamtsteifigkeitsmatrix I
Zusammenbauen der einzelnen
Elementst.matrizen entspricht dem
Addieren von Gleichungen
Die Position der Summanden ergibt sich
aus den Knoten des jew. Stabes
Die Summe der inneren Kräfte ergibt null,
d.h. der Lastvektor F ist zunächst ein
Nullvektor
Gesamtsteifigkeitsmatrix II
Gesamtsteifigkeitsmatrix III
Randbedingungen
Äußere Kräfte werden an der jew. Stelle in den
Lastvektor F eingetragen
Verschiebungsrandbedingungen werden gemäß
[Rieg, Hackenschmidt: „Finite Elemente Analyse
für Ingenieure“] in die Ges.st.matrix eingebaut:
[Rieg, Hackenschmidt: „Finite Elemente Analyse für Ingenieure“]
Lösen des LGS
K ges  u  F
Das LGS
ist regulär, wenn die
Struktur statisch bestimmt oder überbestimmt ist
Die Lösung wird hier mit einer CholeskyZerlegung berechnet
Ausschreiben der Ergebnisse
In die Ausgabedatei aus.txt werden die Verschiebungen
der einzelnen Knoten geschrieben
Eine Zeile pro Knoten
Anschließend übernimmt die Subroutine
speicher_freigeben die Deallokation
Ein kleines Beispiel I
Ein kleines Beispiel II

Powerpoint-Präsentation zum Programmpacket