Mathematik 10. Jahrgang „Satz des Pythagoras“
Die Quadratur des Kreises
HIPPOKRATES VON CHIOS ( griechischer Mathematiker, um 440 v. Chr.)
war der berühmteste Geometer des 5. Jh. v. Chr. Von ihm stammt nach Überlieferung die erste
zusammenfassende Darstellung geometrischen Wissens seiner Zeit unter dem Titel "Elemente" nach dem
Schema Voraussetzung, Satz und Beweis. Darin verwendet er für die Bezeichnung geometrischer Figuren
Buchstaben. Er beschrieb den Zusammenhang von Peripheriewinkel (Umfangswinkel) und Bogen, die
Konstruktion des Sechsecks und des Umkreises des Dreiecks, Verallgemeinerungen des pythagoräischen
Lehrsatzes für ähnliche Figuren über den Dreieckseiten sowie für das stumpfwinklige Dreieck.
Er zeigte Umwandlungen von Polygonen in flächengleiche Quadrate.
Verdrängt wurde diese Darstellung durch die umfangreicheren späteren "Elemente" des EUKLID.
Doch dürfte der Inhalt der ersten vier Bücher der euklidischen "Elemente" auf die Vorlage von HIPPOKRATES
zurückgehen.
Eng verbunden ist der Name HIPPOKRATES auch mit zwei berühmten Problemen der Mathematik, den an
anderer Stelle behandelten Möndchen und der so genannten Quadratur des Kreises, über die hier
berichtet wird.
Mathematik 10. Jahrgang „Satz des Pythagoras“
Die Quadratur des Kreises
Man spricht von der „Quadratur des Kreises“ wenn auf jede Seite eines Quadrates ein passender Halbkreis
gesetzt wird.
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Die Quadratur des Kreises
Wir füllen die Halbkreise und können viel besser erkennen, was gemein ist:
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Die Quadratur des Kreises
Ein weiterer blauer Kreis führt um das Quadrat herum und verläuft durch alle vier Ecken.
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Die Quadratur des Kreises
Der blaue Kreis schneidet aus den Halbkreisen Monde heraus.
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Die Quadratur des Kreises
Herr Euklid hat nun herausgefunden, dass die Fläche dieser vier Monde genauso groß ist wie die Fläche des
Quadrats.
GRÜN = ROT
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Die Quadratur des Kreises
Wir müssen wieder rechnen.
Am einfachsten ist es mit dem Quadrat. Wir nennen es Q. Die Quadratseite heißt im allgemeinen a. Also gilt:
Q = a²
Die Halbkreise sind ebenfalls relativ einfach. Ihr Radius beträgt jeweils die Hälfte von a. Die
Kreisflächenformel ist bekannt. Also können wir sogleich die gesamte Fläche aller vier Halbkreise zusammen
aufschreiben:
HK = 4 * 0,5 * π * (0,5*a)² = 4 * 0,5 * π * 0,25 * a² = 0,5 * π * a² . Kurz:
HK = 0,5 * π * a²
Allerdings ist nicht von den Halbkreisen die Rede sondern von den Monden. Wir müssen also von den
Halbkreisen noch etwas abziehen:
M = HK - (BLAUER KREIS - Q)
Auf der nächsten Folie beschäftigen wir uns mit der Fläche des BLAUEN KREISES (BK).
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Die Quadratur des Kreises
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Die Quadratur des Kreises
Zurück zur vorletzten Folie:
M = HK - (BLAUER KREIS - Q)
Q = a²
HK = 0,5 * π * a²
BK = 0,5 * π * a²
M = 0,5 * π * a² - (0,5 * π * a² - a²)
Auflösen der Klammer
M = 0,5 * π * a² - 0,5 * π * a² + a²
Führt sofort zum Ergebnis
M = a²
In Worten
Die Fläche der vier Monde ist genauso groß
wie die Fläche des Quadrats.

Die Quadratur des Kreises