Wiederholung
Allgemeine Strategie für lineare Rekursionen

Erzeugendenfunktion

Ausnutzen Rekursionsgleichung

Darstellung an als A(x)

Geschlossene Form A(x)= g(x)/f(x)

Formulierung von g(x)/f(x) als formale Potenzreihe



Partialbruchzerlegung von g(x)/f(x)
Formale Potenzreihe für 1/(1-ax)k
Koeffizientenvergleich
Beispiele

Fibonacci-Zahlen:

Catalanzahlen:
30.01.2008
1
F n = p ( Án ¡ Á0n )
5
µ
1
2n
Cn =
n+ 1 n
¶
1
Wahrscheinlichkeitsraum
Def: Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum

Ergebnismenge  = {!1, !2,…}





!i sind Elementarereignisse
!i besitzten Pr[!i] mit 0 · Pr[!i] · 1
Es gilt: ! 2  Pr[!]=1.
Menge E µ  heißt Ereignis.
Pr[E]:= ! 2 E Pr[!]
Bsp.: Fairer Würfel

 ={1,2,3,4,5,6}




! = i ist das Elementarereignis, dass i gewürfelt wird.
Pr[!]=1/6 für alle ! in  (Gleichverteilung, sogenanntes Laplace-Experiment)
Offenbar: 6i=1 Pr[i] = 6*1/6 = 1
Sei E das Ereignis, dass eine durch 3 teilbare Zahl gewürfelt wird.
D.h. E={3,6} und Pr[E] = Pr[3] + Pr[6] = 1/3
30.01.2008
2
Bsp. Wahrscheinlichkeitsraum
Modellierung von Kartenspiel:
 Zwei Spieler erhalten je 10 aus 52 Karten.


Definieren K={Karo, Herz, Pik, Kreuz} £ {2,3,…,10,B,D,K,A}
 = {(X,Y) µ K2 | X Å Y = ;, |X|=|Y|=5}



Elementarereignisse (X,Y)2  entsprechen Kartenverteilung
Pr(!) = 1/|| für alle ! 2  (Übungsaufgabe: Bestimme ||.)
Ereignis, dass Spieler X vier Asse hat.


E:={(X,Y) 2  | {(Karo,A), (Herz,A), (Pik,A), (Kreuz,A)} µ X }.
Oft vereinfachend:


30.01.2008
E:=„Spieler X hat vier Asse.“
Pr[E] = Pr[„Spieler X hat vier Asse.“]
3
Unendlicher Wahrscheinlichkeitsraum


Szenario: Eine Iteration eines Algorithmus liefert eine Ausgabe mit
Wahrscheinlichkeit p, 0<p<1.
Frage: Wieviele Iterationen werden benötigt?
Modellierung Wahrscheinlichkeitsraum:

={!1,!2, …}

!i ist das Elementarereignis, das i Iterationen benötigt werden.


!i: Zunächst i-1 Misserfolge, dann Erfolg.
) Pr[wi] = (1-p)i-1p
Definiert Wahrscheinlichkeitsraum
! 2  Pr[w] = 1i=1 (1-p)i-1p = p 1i=0 (1-p)i = p*1/(1-(1-p)) = 1.
30.01.2008
4
Nützliche Eigenschaften
1.
Pr[;]=0, Pr[]=1
2.
Sei Aµ E undA = nA.


3.
Additionssatz: A1, …, An paarweise disjunkt, d.h. Ai Å Aj = ;:

4.
Pr[[ni=1 Ai] = ni=1 Pr[Ai]
Seien A,B µ  mit A µ B. Dann gilt Pr[A] · Pr[B]:

5.
Pr[A] + Pr[A] = Pr[A [A] = Pr[] = 1
) Pr[A] = 1 – Pr[A]
Pr[B] = Pr[A [ (BÅA)] = Pr[A] + Pr[BÅA] ¸ Pr[A]
Sei A µ . Dann gilt 0 · Pr(A) · 1.

30.01.2008
0 · Pr[;] · Pr[A] · Pr[] · 1.
5
Inklusion/Exklusion
Additionsformel für nicht-disjunkte Ereignisse.
Satz: Seien A1, …, An µ . Dann gilt:
Pr[[ni=1 Ai] = i=1n Pr[Ai] – 1·i1<i2·nPr[Ai1ÅAi2] + …
… + (-1)n-1Pr[A1Å … Å An]
Beweisen nur n=2: Pr[A1[A2]=Pr[A1]+Pr[A2]-Pr[A1ÅA2]
 Sei B=A1nA2.
B, A1ÅA2 disjunkt
) Pr[A1] = Pr[B [ (A1Å A2)] = Pr[B] + Pr[A1ÅA2]
) Pr[A1[A2] = Pr[B[A2] = Pr[B] + Pr[A2]
= Pr[A1] – Pr[A1ÅA2] + Pr[A2]

Allgemeines n: Per Induktion.
30.01.2008
6
Boolsche Ungleichung
Korollar: Seien A1, …, An µ . Dann gilt:
Pr[[ni=1 Ai] · ni=1 Pr[Ai].
Sei B = [ ni= 1 A i . E s gilt
P r [B ] =
X
P r [! ] ·
Xn
X
P r [! ] =
i= 1 ! 2Ai
! 2B
Xn
P r [A i ]:
i= 1
Prinzip von Laplace: Setze Pr[!]=1/|| für alle ! 2 .
X
X
1
jE j
=
:
j- j
w2 E
w2 E j- j
" GÄ
u nst ige E reignisse durch alle E reignisse"
)
30.01.2008
Pr(E) =
P r ( w) =
7
Zusätzliche Bedingungen
Würfelspiel (Laplace)
 E=„Augenzahl ist durch 3 teilbar“
) Pr(E)=|{3,6}|/|| = 1/3

Zusätzliche Information: F=„Augenzahl größer als 2“.



Wissen bereits, dass Ereignis F eingetreten ist.
Verändert  in ‘={3,4,5,6}
) Pr(E‘) = 2/4 = ½.
Notation Pr(E‘) = Pr(E | F)

Sprechweise „E gegeben F“ oder „E unter der Bedingung F“
Beispiel aus Kryptographie: Klartext wird zu Chiffretext verschlüsselt

Perfekte Sicherheit bedeutet:
Pr[Klartext ist p] = Pr[Klartext ist p | Chiffretext ist c],
d.h. der Chiffretext liefert keine Information über zugrundeliegenden Klartext.
30.01.2008
8
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Def: Seien A,B Ereignisse mit Pr[B]>0. Dann gilt
P r [A \ B ]
P r[A jB ] :=
P r [B ]
Korollar: Pr[A Å B] = Pr[A|B] * Pr[B] = Pr[B|A] * Pr[A]
Eigenschaften:

Pr[A|A] = Pr[A]/Pr[A] = 1 und Pr[A|A] = Pr[;]/Pr[A] = 0.

Pr[A|]=Pr[A]/Pr[]=Pr[A]

Neuer Wahrscheinlichkeitsraum für :


X
Für !  B: Pr[!|B]=0.
Für ! 2 B : Pr[!|B]=Pr[!]/Pr[B]. (d.h. Skalierung mit 1/Pr[B])
X P r[! ]
P r [! \ B ]
P r [B ]
P r[! jB ] =
=
=
= 1:
P r [B ]
P r [B ]
! 2 B P r[B ]
! 2! 230.01.2008
X
9
Zurück zum Würfelbeispiel


E=„Augenzahl ist durch 3 teilbar“
F=„Augenzahl größer als 2“
Pr[E Å F] = |{3,6}|/||=1/3
Pr[F] = |{3,4,5,6}|/|| = 2/3 (Skalierungsfaktor)
1
P r[E \ F ]
1
3
P r [E jF ] :=
= 2 =
P r [F ]
2
3
30.01.2008
10
Zweikinderproblem



Laplace-Annahme: Geburt von Junge oder Mädchen mit Ws 1/2
Familie besitzt zwei Kinder.
Frage: Mit welcher Ws tritt folgendes Ereignis A ein?


Zusätzliche Information: Es gilt folgendes Ereignis




B=„Eines der Kinder ist ein Mädchen.“
Müssen Pr[A|B] bestimmen.
Wahrscheinlichkeitsraum ={mm, jm, mj, jj} (sortiert nach Alter)


A=„Beide Kinder sind Mädchen.“
Jedes der Elementarereignisse hat Ws ¼.
Pr[A Å B] = Pr[A] = |{mm}|/|| = ¼
Pr[B] = |{mm, jm, mj}|/|| = ¾
) Pr[A|B] = 1/4 * 4/3 = 1/3


Für das Ereignis B‘=„Das ältere Kind ist ein Mädchen“ gilt:
Pr[B‘] = ½ und damit Pr[A|B‘] = ½
ABER: Anderer Wahrscheinlichkeitsraum ={mm, jm, jj} (unsortiert) liefert:
Pr[B] = ½ und damit Pr[A|B] = ½.
30.01.2008
11
Multiplikationssatz
Satz: Seien A1, …, An Ereignisse mit Pr[A1 Å … Å An] > 0.
Dann gilt:
Pr[A1Å…ÅAn] =Pr[A1]*Pr[A2|A1]*Pr[A3|A1ÅA2]*…*Pr[An|A1Å…ÅAn-1].


Es gilt 0<Pr[A1Å … Å An]· Pr[A1 Å … Å An-1] · … · Pr[A1].
n-malige Anwendung der Def. für bedingte Wahrscheinlichkeiten:
P r [A 1 ] P r[A 1 \ A 2 ] P r[A 1 \ A 2 \ A 3 ]
P r [A 1 \ ::: \ A n ]
¢
¢
¢: : :¢
1
P r [A 1 ]
P r [A 1 \ A 2 ]
P r [A 1 \ A n¡ 1 ]

Kürzen liefert Pr[A1Å…ÅAn].
30.01.2008
12
Geburtstagsproblem




Gegeben: m Personen
Gesucht: Ws p, dass 2 Personen am selben Tag Geburtstag haben
Bälle in Urnen: Werfe nacheinander m Bälle in n=365 Urnen.
Bestimmen 1-p:
Keine zwei Personen haben am selben Tag Geburtstag.




Gesucht: Ws für A=„Alle Bälle liegen allein in einer Urne.“
Sei Ai=„Ball i kommt in einen leeren Korb.“
Pr[A] = Pr[A1 Å … Å Am]
= Pr[A1] * Pr[A2|A1| * … * Pr[Am | A1Å … Am-1].
Pr[Aj | A1 Å … Å Aj-1] = (n-(j-1))/n = 1- (j-1)/n

30.01.2008
j-ter Ball landet in einem der noch freien n-(j-1) Urnen
13
Abschätzen von p


Erhalten 1-p = Pr[A] = mj=1 Pr[Aj | A1 Å … Aj-1]
Nutzen 1-x · e-x:
Ym µ
j ¡ 1
P r[A ] =
1¡
n
j= 1
)

¶
·
Ym
e¡
j¡ 1
n
P ¡1
¡ 1)
¡ n1 m
j
¡ m( m
j
=
1
2n
= e
= e
j= 2
¡ 1)
¡ m( m
2n
p¸ 1¡ e
:
D.h. wir erhalten eine konstante Ws. p für
(sogenanntes Geburtstagsparadoxon)
m= £ (
p
n)
Anwendung bei kryptographischen Hashfunktionen H:{0,1}*!{0,1}n
Falls die Bilder von H zufällig in {0,1}n verteilt sind:

Werten H für verschiedene
Urbilder x1, …, xm aus.
p
 Benötigen m = £ (
n) für Kollision xi  xj mit H(xi) = H(xj).
30.01.2008
14

PPT