Einführung in die Inversionstheorie
und Regularisierung
Daniel Köhn
Kiel, den 17. Januar 2005
Was ist Inversion ?
Was ist Inversion ?
Physiker
Was ist Inversion ?
Physikalische Messung
Was ist Inversion ?
Physikalisches Modell
Test des Modells
Was ist Inversion ?
Was ist Inversion ?
Was ist Inversion ?
Was ist Inversion ?
Was ist Inversion ?
Modellparameter
Meßdaten
Vorwärtsmodellierung
Vorwärtsmodellierung
Rate Modellparameter
Vorwärtsmodellierung
Vorwärtsmodellierung
Vorwärtsmodellierung
Vorwärtsmodellierung
Vorwärtsmodellierung
Lange Iterationszeit bei
großem Parameterraum
Inversion
Inversionsproblem
Inversionsproblem
Inversionsproblem
Inversionsproblem
Inversionsproblem
Inversion
Meßdaten: b
Physikalisches
Modell: g
Inversion: m = g-1(bobs)
Vorwärtsmodellierung: bmod = g(m)
Modellparameter: m
Lösung von Inversionsproblemen
Typen von Linearen
Inversionsproblemen
Beispiel: Bestimmung des Temperaturverlaufes in
einem Bohrloch
Physikalisches Modell:
Beispiel: Bestimmung des Temperaturverlaufes in
einem Bohrloch
Setze Messwerte in Modell ein:
Messdaten
Modellparameter
Beispiel: Bestimmung des Temperaturverlaufes in
einem Bohrloch
Lösung:
Lineare Inversionsprobleme
Exakt bestimmtes Problem:
Es existieren exakt soviele Messungen, wie
unbekannte Modellparameter =>
Quadratische Koeffizientenmatrix
Physikalische Realität
Lineare Inversionsprobleme
Überbestimmtes Problem:
Es existieren mehr Messungen, als
unbekannte Modellparameter =>
Koeffizientenmatrix ist nicht quadratisch
Lineare Inversionsprobleme
Lösung eines Überbestimmten Problems:
Residuum e = Abweichung zwischen gemessenen und modellierten
Daten
Gauss: “Minimiere Summe der Quadrate des Residuums”
Objektfunktion E(m)
Lineare Inversionsprobleme
Lineare Inversionsprobleme
Damit folgen die optimalen Lösungsparameter x zu:
Gauss-Newton Verfahren
Gauss-Newton: Beispiel 1
Gauss-Newton: Beispiel 2
1D Love-Wellen Inversion
Gauss-Newton: 1D Love-Welleninversion
Ausbreitung von Love-Wellen
Gauss-Newton: 1D Love-Welleninversion
Entstehung von Love Wellen
Gauss-Newton: 1D Love-Welleninversion
Bestimmung von vs(z) aus den gemessenen
Phasengeschwindigkeiten vph(T)
A vs = vph
Untergrundmodell
Phasengeschwindigkeitsresiduen
S-Wellengeschwindigkeitsresiduen
Gauss-Newton: 1D Love-Welleninversion
MOHO
Asthenosphäre
Oberer Mantel
Startmodell vs(z)
Vorwärtsmodellierung
Avs = vph
Gauss-Newton: 1D Love-Welleninversion
Dvph
Startmodell vph(z)
Inversion mit Gauss-Newton
Dvs = (ATA)-1ATDvph
Gauss-Newton: 1D Love-Welleninversion
Lösung vs(z) nach einem Iterationsschritt
Gauss-Newton: 1D Love-Welleninversion
Problem: Schlecht konditioniertes Gleichungssystem.
Regularisierung
Regularisierung
Regularisierung:
Die Untersuchung des Lösungsverhaltens und
die anschließende Lösung eines schlecht
konditionierten Problems.
Regularisierung
Singulärwertzerlegung (SVD):
V = Matrix aus den Eigenvektoren von AAT
U = Matrix aus den Eigenvektoren von ATA
l = Eigenwerte von A
Regularisierung
Lösung des Inversionsproblems mit SVD:
Orthogonalität der Matrizen V und U impliziert:
VT=V-1
UT=U-1
Lösung des linearen Inversionsproblems:
Regularisierung
Verteilung der Singulärwerte für die
Beispiele 1 und 2
SVD: 1D Love-Welleninversion
Marquardt-Levenberg Verfahren
Definiere Variabilität der Modellparameter:
Minimiere modifizierte Objektfunktion
Es folgt:
Marquardt-Levenberg Verfahren
Beurteilung der Inversion
Mathematische Verfahren
Modellkovarianzmatrix
Datenresolutionsmatrix
Modellresolutionsmatrix
Bewertung der Modelle nur nach mathematischen und
nicht physikalischen Gesichtspunkten
Besser: Vorwärtsmodellierung
SVD: Vorwärtsmodellierung
Marquardt-Levenberg Verfahren: Vorwärtsmodellierung
Beurteilung der Inversion
Man beachte:
Finden wir eine Lösung ?
Wenn ja, ist diese Lösung eindeutig ?
Wie beeinflußen Fehler in den gemessenen Daten die Lösung ?
Zusammenfassung
Es existieren 2 Vorgehensweisen aus gemessenen Daten
Modellparameter abzuleiten: Vorwärtsmodellierung und
Inversion.
Die linearen Inversionsprobleme lassen sich grob in 3 Gruppen
unterteilen: exakte, überbestimmte, sowie schlecht konditionierte
Probleme.
Zur Analyse und Lösung von schlecht konditionierten
Problemen können das SVD, bzw. Marquardt-Levenberg
Verfahren herangezogen werden.
Die Beurteilung eines Modells sollte nach physikalischen und
nicht ausschließlich nach mathematischen Gesichtspunkten
erfolgen.

Inversion