Das Lächeln der
Mathematiker
Peter Deuflhard
Konrad-Zuse-Zentrum
für Informationstechnik Berlin
und
Freie Universität Berlin
FB Mathematik und Informatik
und
DFG Forschungszentrum
Mathematik für
Schlüsseltechnologien
Mona Lisa del Gioconda
Leonardo da Vinci (1507)
Maler, Mathematiker und
Festungsbauer
Peter Deuflhard (ZIB und FU)
2
Gesicht vor der Operation
Peter Deuflhard (ZIB und FU)
3
Tomographische Bildgebung
Peter Deuflhard (ZIB und FU)
4
Radon Transformation (1917)
zweidimensionale
Radon Transformation
 f (x)  (xn  p) dx  g ( p, )
Gegeben:
g ( p,  )
Gesucht:
f (x)
Johann Radon
(*1887 in Decin, †1956 in Wien)
Peter Deuflhard (ZIB und FU)
5
Radonsche Umkehrformel
 f (x)  (xn  p) dx  g ( p, )
Inverse der Radon Transformation
h ( p)  
1
2 2

1 d
g ( p, ) dp'
p  p' dp'
1
f ( x, y)  
h ( p ) dp

2
Peter Deuflhard (ZIB und FU)
6
Algorithmen
Bild mit NN Pixeln (N=1024)
N 2  1.000.000 Unbekannte
Hounsfield (1968)
50 N 4Operationen
Rechenzeit: ca. 70 Stunden
aktuelle Verfahren
Bracewell / Riddle, 1967
Shepp / Logan, 1974
N 3Operationen
Rechenzeit: ca. 5 Sekunden
Peter Deuflhard (ZIB und FU)
Godfrey N. Hounsfield
(Nobelpreis 1979)
7
3D-Bildstapel
Peter Deuflhard (ZIB und FU)
8
3D Operationsplanung
Peter Deuflhard (ZIB und FU)
9
Weichgewebe / Physik

Spannung  direkt proportional zur Verzerrung 
 ij  Cijkl  kl


E 
  ij 
 ij 
 ll ij 
1  
1  2

'
 Verschiebungen
ui  xi  xi
1
 Verzerrungstensor
 ij  ui , j  u j ,i  +
...
2
• Gleichgewichtsbedingung  ij, j   Fi
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10
Weichgewebe / Mathematik
Partielle Differentialgleichungen
(Lamé-Navier, 1821)
1
u 
grad div u   0
1  2
 ux 


  
u   2  2  2  u y 
z  
 x y
 uz 
2
2
2
u x u y u z
div u 


x
y
z
Peter Deuflhard (ZIB und FU)
 

 div u 
 x


grad div u    div u 
 y

 

 div u 
 z

11
3D Patientenmodell
Peter Deuflhard (ZIB und FU)
12
Kaskade Algorithmus

adaptiv

Mehrgitter
250.000 Unbekannte
PC: linear  2 min
nichtlinear  8 min
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13
Gesichtsprofil
nichtlineare Vorhersage
Peter Deuflhard (ZIB und FU)
14
Muskelmodell
Peter Deuflhard (ZIB und FU)
15
Ein berechnetes Lächeln
Peter Deuflhard (ZIB und FU)
16
Arbeitsgruppe Computer Assisted Surgery
(CAS), ZIB
P. Deuflhard, S. Zachow, E. Gladilin,
B. Erdmann, H.-Chr. Hege
Kooperation
H.-F. Zeilhofer, R. Sader
Kantonsspital Basel,
Universitätsklinik für Wiederherstellende Chirurgie
Center for Advanced Cranio-Maxillofacial Surgery am
Klinikum rechts der Isar, Technische Universität
München
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17
Das Lächeln der
Mathematiker
Peter Deuflhard
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für Informationstechnik Berlin
und
Freie Universität Berlin
FB Mathematik und Informatik
und
DFG Forschungszentrum
Mathematik für
Schlüsseltechnologien

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