30. Integrationsmethoden
d
xa = axa-1
dx
x a+1
für a ≠ 0  xa dx = a +1 + C für a ≠ (-1)
 -1

x dx = lnx + C
 x

e dx = ex + C


sinx dx = -cosx + C


cosx dx = sinx + C


f´(x) dx = f(x) + C
für x > 0
Suchen Sie die Stammfunktionen:
f(x) = x2
f(x) = x1/3
f(x) = 1 + tan2x
∫ ax dx
dx
∫ cos2x

dx
1- x 2
dx
 1+ x 2
Partielle Integration
d
dx (f(x)g(x)) = f´(x)g(x) + f(x)g´(x)
(fg)´= f´g + fg´
b
b
b
d
 (f ( x )g( x ))dx   f´( x )g( x )dx   f ( x )g´( x )dx
a dx
a
a
[f(x)g(x)ba
b
 f´(
a
x)g( x)dx = [f( x)g(
b
x)]
a
b
-  f( x)g´( x)dx
a
b
b
a
a
b
b
a
a
 x  lnx dx
-kx
x
e
dx

b
 f´(
a
b
lnx
 x dx
a
 lnx dx
2 -x
x
 e dx
x)g( x)dx = [f( x)g(
b
x)]
a
b
-  f( x)g´( x)dx
a
b
2

cos x dx
a
b
2cos2x dx
a
b
2

cos x dx
a
b
= (sinx)´cosx dx
a
b
b
= [sinxcosxa - sinx(-sinx) dx
a
b
b
= [sinxcosxa + sin2x dx
a
b
b
= [sinxcosxa + (1 - cos2x) dx
a
b
= [sinxcosxba + [xba - cos2x dx
a
= [sinxcosxba + [xba 
1
= [2 (x + sinxcosx) ba
Integration mittels Substitution
x(t) sei eine umkehrbare Funktion
dx(t)
x = x(t)  dx = dt dt
b


a
f(x) dx =
t(b)


t(a)
dx(t)
f(x(t)) dt dt
untere Grenze: x = a
obere Grenze: x = b
b


a
4x dx
 t(x) = t(a)
 t(x) = t(b)
Substitution x = t/2  dx/dt = 1/2  dx = dt/2
t(x) = 2x
t(a) = 2a
t(b) = 2b
2b
b

4x
a
dx =

 . 1
4 [2

2a
2b
2
1
t
t] . 2 dt = tdt = [ 2
2a

2b
2a
(2b)2 (2a)2
= 2 - 2
= 2(b2-a2)
Fläche des Viertelkreises
R


0
R2-x2 dx
Substitution: x = Rsint, dx = Rcost dt
x
t(x) = arcsin(R ) mit |x| ≤ R
0
R
Grenzen: t(0) = arcsin(R ) = 0, t(R) = arcsin(R ) = /2
R


0
/2


0
/2
2

0
R2-x2 dx = Rcost.Rcost dt = R cos2t dt
=
R2
1
[2 (t + sintcost) /2
0 
 2
= 4 R
∫ e2x dx
∫ ekx dx
∫ xex2 dx
∫ cos(kx) dx
∫ xn-1sin(xn) dx
Logarithmische Integration (für positive Werte)
dlny dlny dy y'
Kettenregel :
=
=
dx
dy dx y
y'
  dx = lny + C
y
b
b
y'
y(b)
a y dx = lny(b) - lny(a) = ln y(a)
y'
y(b)
allgemein:  dx = ln
y
y(a)
a
b
b
dx
1b p
1
 px + q = p  px + q dx = p [ln( px + q)] a
a
a
1
1
1 pb + q
= ln( pb + q)- ln( pa + q)= ln
p
p
p pa + q
b


a
3x
x2+c dx
b



tanx dx
a
dx
∫sinx.cosx (mit cos x erweitern)
dx
∫sinx
(sin2x = 2sinxcosx)
Partialbruchzerlegung
Eine echt gebrochene rationale Funktion kann vor dem
Integrieren in Teilbrüche (Partialbrüche) zerlegt werden.
x +3
 x2 + x - 2 dx
wird zunächst in Partialbrüche zerlegt.
Nullstellen des Nenners sind (-2) und 1.
B
A
x+3
x+3
x2+x-2 = (x-1)(x+2) = x - 1 + x + 2  x + 3 = A(x+2) + B(x-1) x
1
x = -2  B = - 3
4
x=1 A=3
x +3
4 dx 1 dx
4
1
 x2 + x - 2 dx = 3  x -1  3  x + 2  3 ln| x -1|  3 ln| x + 2 | +C
Partialbruchzerlegung bei entarteter Nullstelle
ax + b
A1
A2
=
+
2 x-
( x - )
( x -  )2
ax + b = A(1 x -  )+ A2
Koeffizientenvergleich:
b = -A1 + A 2 ⇒ A2 = a +b
a = A1
⇒ A1 = a
ax + b
adx
a + b
( x -  )2 dx =  x -  + ( x -  )2 dx
( a + b)
= a  ln| x -  | +C
x-
Partialbruchzerlegung bei entarteter Nullstelle
( a + b)
( x -  )2 dx = a  ln| x -  | - x -  + C
ax + b
dx
-1
+C
( x -  )2 =
x-
xdx

( x -  )2 = ln| x -  | +C
x-
( 7x + 2)dx

( x +1)2
-7 + 2
= 7  ln| x +1| +C
x +1
5
= 7  ln | x +1| +
+C
x +1
Partialbruchzerlegung bei mehrfach entarteter Nullstelle
A3
A1
A2
=
+
+
3 x-
2
( x - )
( x -  ) ( x -  )3
p( x)
usw.
Nicht vergessen: nur echte Brüche verwenden!

x3 - 3x 2 - 3x + 18
( x + 2() x - 3)2
x2
dx =  dx + 
dx
( x + 2() x - 3)2
(
x2
2
x + 2() x - 3)
dx
x2
A
B1
B2
=
+
+
2 ( x + 2) x - 3
( x + 2() x - 3)
( x - 3)2
x 2 = A( x - 3)2 + B(1 x + 2() x - 3)+ B2( x + 2)
x = - 2 ⇒ 4 = 25A
A = 4/25
x = 0 ⇒ 0 =9A - 6B1 + 2B2
B1 = 21/25
x = 3 ⇒ 9 = 5B2
B2 = 45/25
x2
1
45
( x + 2() x - 3)2 dx = 25 [4  ln | x + 2 | +21 ln | x - 3 | -( x - 3)] + C
Irreduzible Polynome im Nenner
7x 2 -19x + 30
 x(
x 2 - 6x +10)
dx
x 2 - 6x +10  x 0 = 3  i
7x 2 -19x + 30
A
Bx + C
+ 2
=
x( x 2 - 6x +10) x x - 6x +10
A( x 2 - 6x +10)+( Bx + C)x = 7x 2 -19x + 30
Koeffizientenvergleich: x 2 : A + B = 7
x1: -6A + C = -19
7x 2 -19x + 30
x0 : 10A =30
3
4x -1
dx
dx
 x( x 2 - 6x +10) =  x dx +  2
x - 6x +10
B=4
C = -1
A =3
Irreduzible Polynome im Nenner
= 3ln|x | + 2
2x - 6
2
x - 6x +10
2
dx + 
11
2
x - 6x +10
dx
dx
= 3ln |x | + 2ln |x - 6x +10 | +11
( x - 3)2 +1
t = x – 3, dt = dx
2
dt
= 3ln|x | + 2ln|x - 6x +10| +11 2
t +1
7x 2 -19x + 30
3
4x
-1
dx
 x( x 2 - 6x +10) dx =  x dx +  2
x - 6x +10
= 3ln |x | + 2ln |x 2 - 6x +10 | +11arctan( x - 3)+ C

Uneigentliche Integrale
Gelegentlich läßt sich eine Funktion f auch über einem
Intervall integrieren, wenn sie nicht auf dem gesamten
Intervall definiert ist.
Sei c > 1:
∞
 dx

 xc

1
=
∞
-c

x
1
x1-c ∞
1
dx = [1-c  1 = c-1
∞
 dx
speziell:  x2

1
= 1
Sei c = 1: Als Integrationsgrenzen weder 0 noch  möglich.
Sei 0 < c < 1:
1
 dx

 xc

0
=
1
-c

x
0
x1-c 1
1
dx = [ 1-c 0 = 1-c
1
 dx
speziell:
 x
0
= 2
Was können Sie über die Fläche unter dem negativen Ast der
b
dx
Hyperbel und allgemein über  x mit a, b aussagen?
a
b
dx a dx b dx b dx
 x =  x + x = x
-a
-a
a
a
-a
-b
b
dx
dx
-b
b
dx
-
=
= ln = ln = 
x -a x
-a
a a x
-b
-a
dx a dx
 x = x
-b
-b
b
a
dx
b
 x = ln a = -ln b
a
Reihenentwicklung für ln(1-x) durch Integration von
∞

xk
k=0
1
= 1-x
Konvergenzradius?
1
1+ x + x + x +... =
1- x
1
x2 x3 x 4
x+
+
+
+... = 
dx = -ln|1- x| + C
2
3
4
1- x
2
x=0 
x = -1 
x=1 
3
ln1+ C = 0 ⇒ C = 0
1 1 1
ln2 = 1- +  +...
2 3 4
1 1 1
ln0 = -1- - - -... (divergent)
2 3 4
Reihenentwicklung für arctan x durch Integration von
2
4
6
1- x + x - x + -... =
1
1+ x 2
1
1
1
 1+ x2 dx = [arctanx] 0
0
 x3 x5 x7
1
1
+
+ -... = [arctan x]
x 0
3
5 7

 0
1 1 1

1- + - + -... =
3 5 7
4
James Gregory G. W. Leibniz
(1638 – 1675) (1646 - 1716)
 /2

sinn+2 x dx =
0
/2

sinn+1x sinx dx
0
= sinn+1x( - cosx)


 /2
=( n +1)

/2
0

 /2
n
(
n
+1)sin
xcosx( - cosx)dx

0
sinnxcos2x dx
0
 /2
=( n +1)
 /2
( n + 2)

0
 /2

0

0
sinnxdx ( n +1)
 /2
sinn+2xdx =( n +1)

/2

0
sinnxdx
0
 /2
(
n
+1)
n
sinn+2 xdx =
sin
xdx

( n + 2) 0
sinn+2xdx
 /2

 /2
(
n
+1)
n
sinn+2 xdx =
sin
xdx

( n + 2) 0

 /2
1

2
0
sin xdx =  sin xdx 
2 0
4
0
 /2
0
 /2
John Wallis
(1616 - 1703)

 /2
 /2
5
5
3
53 1
6
4
2
sin xdx =  sin xdx 
sin xdx 

6 0
64 0
6422

 /2
 /2
/2 4 2
4
4
2
42
5
3
sin xdx =  sin xdx 
sinxdx 
-cosx   1

0
5 0
53 0
53
53
0
 /2
0
 2  2  4  4  6  6 

2 1 3  3  5  5  7 
531 42

1
6422 53
Wallis' Produkt in: Arithmetica Infinitorum (1655)
Gaußsche Glockenkurve
Carl Friedrich Gauß
(1777 - 1855)
Fläche:
∞
e
-x
2
dx 
e
-∞
-∞
∞
 
∞
e
0
-r 2
2rdr
-x
2
∞
2
dx   e dy 
-y
-∞

   e 

0
-r 2
∞
∞
-∞
-∞
 e
2
2
-( x  y )
dxdy 
∞
e
0
  ( 0  1)  
-r 2
2rdr

M30