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Operations Research für Logistik
Einführung in Matlab®
(170.202)
Ao. Univ. - Prof. Norbert SEIFTER
Dipl. - Ing. Stefanie VOLLAND
Sommersemester 2010
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1
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Rahmenbedingungen
• Übungen:
– 80 % Anwesenheit (laut Anwesenheitsliste)
– Übungsaufgaben bis zur darauffolgenden Einheit
selbstständig lösen
• Prüfung:
– schriftlich - 22. und 23. Juni 2010
– und mündlich (28. Juni - 30. Juni 2010)
– sowohl schriftlicher als auch mündlicher Teil müssen für
den erfolgreichen Abschluss der VU positiv sein
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2
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Inhalte
• Einführung in Matlab®
• Markovketten
• Warteschlangentheorie
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3
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Einführung in Matlab® I
• MATLAB® = „MATrix LABoratorium“
• in Praxis Standardwerkzeug für technisch wissenschaftliche Berechnungen
• bietet für numerische Aufgaben Lösungsmethoden und
Methoden zur Visualisierung
• moderne Programmiersprache, in welcher eigene
Anwendungen entwickelbar
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4
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Einführung in Matlab® II
Erste Schritte in Matlab®:
• Matlab starten
• voreingestellte Oberfläche durch
Desktop  Desktop Layout  Default wieder herstellbar
• durch Anklicken Fenster aktivierbar
• folgende Fenster stehen zur Verfügung:
– Command Window
– Command History
– Workspace
– Current Directory
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5
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Einführung in Matlab® III
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6
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Einführung in Matlab® IV
• Fenster durch Mausklick aktivieren
• >> …. Eingabe kann getätigt werden
• Beispiel: >>1+ 2
Eingabe mit return bestätigen
• Variable ans (answer) wird
der Wert 3 zugewiesen
• Inhalte der anderen Fenster
verändert
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7
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Einführung in Matlab® IV – Ergänzungen
• Workspace:
– verwendete Variable ans und einige
ihrer Eigenschaften angezeigt
– alle im Verlauf der Sitzung verwendeten
Variablen hier aufgelistet
• Command History:
– alle Eingaben des Command Window
gespeichert
– mit Copy und Paste rückholbar oder ↑
• Current Directory: unverändert
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8
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Einführung in Matlab® V
Hilfe in Matlab® - 3 Möglichkeiten:
1. Help - Option in der ersten Menüzeile
2. direkte Hilfe
3. Fragezeichen
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Einführung in Matlab® VI
• Strichpunkt:
– unterdrückt die Ausgabe
• elementare Funktionen:
Funktion
Mathematik
MATLAB
Arcustangens
Exponentialfunktion
Logarithmus naturalis
Logarithmus (Basis 10)
Logarithmus (Basis 2)
arctan(x)
ex
ln(x)
log10(x)
log2(x)
atan(x)
exp(x)
log(x)
log10(x)
log2(x)
Beachte:
Winkelfunktionen sowohl in Grad (z.B. sind) als
auch in Bogenmaß (z.B. sin).
NamederAusgabe = MatlabFunktionsname(Eingabewert)
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10
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Einführung in Matlab® VII
• diary:
– um Matlab® - Sitzung zu protokollieren
– diary Dateiname.m
– mit diary off abschließen
• save und load:
– um Variablen zu speichern
und zurückzuholen
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11
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Einführung in Matlab® VIII
• Matrizen eingeben und ändern:
– wichtigste Datentyp in Matlab® (MATrix LABoratory)
– in eckigen Klammern zeilenweise Eingabe
– durch Leerzeichen oder Komma getrennt
– Zeilenende durch Strichpunkt angegeben
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12
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Einführung in Matlab® IX
• Variablen zuweisen:
• Matrixelemente überschreiben:
• weitere Operationen und spezielle Matrizen:
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13
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Einführung in Matlab® X
• einfache Befehle für Matrizen:
– transponieren einer Matrix, d.h. Zeilen werden zu
Spalten und Spalten zu Zeilen mit ‘
– Typ einer Matrix: Befehl size
– Zeilenanzahl einer Matrix: Befehl ZAnz
– weitere Befehle:
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14
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Einführung in Matlab® XI
• Rechnen mit Matrizen:
– können addiert, multipliziert, potenziert und mit einem
Skalar multipliziert werden
– bei Addition: Typen der Matrizen müssen
übereinstimmen
addM1M2 = M1 + M2
– bei Multiplikation: Spaltenzahl der 1. Matrix =
Zeilenanzahl der 2. Matrix multM3M4 = M3 * M4
– beim Potenzieren (mit einer natürlichen Zahl): Matrix
muss quadratisch sein M1Quadrat = M1 ^ 2
M1mal2 = 2 * M1
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15
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Einführung in Matlab® XII
A und C sind nicht
vom gleichen Typ.
Spaltenanzahl von A ist ungleich
der Zeilenanzahl von D.
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Anpassung
des Typs
bei Addition
einer Zahl
zu Matrix.
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Einführung in Matlab® XIII
• Punktoperationen:
– komponentenweise addieren
M = M 1 . * M2
– komponentenweise quadrieren
– komponentenweise dividieren
M = M. ^2
M = 1. / M1
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Einführung in Matlab® XIV
• Vektoren:
– sind spezielle Matrizen
– Zeilenvektor
– Spaltenvektor
– Spalten- oder Zeilenvektor kann nicht
quadriert werden
– Skalarprodukt =
Zeilenvektor * Spaltenvektor
– Länge eines Vektors
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Einführung in Matlab® XV
• Funktionen darstellen:
Bezeichner = Startwert : Schrittweite : Endwert;
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Einführung in Matlab® XVI
• Darstellung komplexer Zahlen:
– imaginäre Einheit vordefiniert
– i als auch j als Bezeichnung verwendbar
– Realteil Rt: real (z1) und Imaginärteil It: imag (z1)
– Betrag Bet: abs (z1) und Phase Phi: angle(z1)
bzw. atan2 (It,Rt)
– komplexe Zahl in algebraischer Form: Bet * exp (j * Phi)
– konjugiert komplexe Zahl: conj (z1)
bzw. z1‘
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Einführung in Matlab® XVII
• Rechnen mit komplexen Zahlen:
–+/-/*/:
– Ausgabe immer in algebraischer Form
• zur Verwendung von i und j:
– löschen mit clear i j
– Anfangszustand mit ans
herstellen
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21
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Einführung in Matlab®
XVIII
• Zahlenformate:
– File  Preferences  Command
Window  Text display 
Numeric format oder
Numeric display
– Standardformat: format short
– format long
– Leerzeichen unterdrücken mit format
compact und aufheben
mit format loose
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Matlab® für Fortgeschrittene I
• Wirkungsweise elementarer Funktionen:
– skalare Funktionen
– Vektorfunktionen
– elementare Matrixfunktionen
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Matlab® für Fortgeschrittene II
• skalare Funktionen:
– A …beliebige Matrix vom Typ (m,n)
mit Elemente aik
– f …skalare Funktion
log (0) nicht definiert
– Matrix f(aik) ist vom Typ (m,n)
– alle Funktionen der Analysis:
• Potenz- und Wurzelfunktionen
Logarithmus einer negativen Zahl
kann gebildet werden.
• trigonometrische Funktionen und Umkehrfunktionen
• Exponentialfunktionen und Logarithmen
• Funktionen zum Runden (floor, ceil, fix, round)
• Funktionen real, imag, abs und angle
• alle Punktoperationen
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Matlab® für Fortgeschrittene III
• Vektorfunktionen:
– sum, prod, min, max, mean, median, std, sort, all, any
Summe wird spaltenweise berechnet
B ist daher ein Zeilenvektor
Anwendung von sum auf einen
Vektor
Ergebnis ist stets eine Zahl,
gleichgültig ob es sich um einen
Zeilen- oder Spaltenvektor handelt
Summe zeilenweise bilden
transponierte Matrix berechnen
Ergebnis ist stets ein Zeilenvektor
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Matlab® für Fortgeschrittene IV
• Elementare Matrixfunktionen:
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Matlab® für Fortgeschrittene V
• Polynome in Matlab®:
– durch Zeilenvektor mit n+1 Elementen dargestellt
z.B. p3(x) = 2x3 + x + 4
• Grundrechnungsarten:
Beide Polynome müssen bei der
Addition vom selben Typ sein.
Multiplikation funktioniert nur mit
dem Begriff conv.
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Polynomdivision mit Rest hat zwei
Rückgabewerte q und r
q …. ganzrationaler Anteil
r …. echt gebrochener rationaler Anteil
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Matlab® für Fortgeschrittene VI
• Partialbruchzerlegung:
Koeffizienten
bzw.
Residuen
a1 und a2
• Polynomwertberechnung:
• Nullstellenberechnung
Nullstellen
x1 und x2
bzw. Polynombestimmung:
Nullstellenberechnung mit Befehl
roots.
• Ableitungen:
Polynomwertberechnung z.B. p3 (2)
mit polyval.
Polynombestimmung z.B. mit
Nullstellen x1 = 1, x2 = 1 und x3 = 1.
Ableitung mit dem Befehl polyder.
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Matlab® für Fortgeschrittene VII
• Interpolation und Regression:
– Polynominterpolation
– Splines
– Regression
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Matlab® für Fortgeschrittene VIII
• Polynominterpolation:
– Polynom minimalen Grades mittels Befehl polyfit(x,y,n)
x,y …. Messpaare aus Messreihe
n …. Grad
– Erzeugung einer Messreihe
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Matlab® für Fortgeschrittene IX
• Splines: mittels Befehl spline
– definiert durch:
• x,y…Werte der Messpaare
• t…Stelle, an denen Spline später skizziert werden soll
• s…Rückgabegröße
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Matlab® für Fortgeschrittene X
• Regression:
– mittels Funktion polyfit (x,y,Zahl) erzeugbar
– lineare Regression: mit polyfit (x,y,1)
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Matlab® für Fortgeschrittene XI
– kubische Regression: mit polyfit (x,y,3)
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33
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Matlab® für Fortgeschrittene XII
– exponentielle Regression:
• durch Logarithmieren wird Problem linearisiert
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Matlab® für Fortgeschrittene XIII
• Lineare Gleichungssysteme:
– Matrix A vom Typ(m,n)
– Inhomogenität b ist eine Matrix vom Typ(m,1)
– unbekannter Vektor x mit n Elementen
– lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n
Unbekannten
– lineares Gleichungssystem lösbar, wenn Rang der
Matrix A = Rang der erweiterten Matrix [A,b] = Anzahl
der Unbekannten, d.h. Spaltenanzahl von A
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Matlab® für Fortgeschrittene XIV
• Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme:
für eindeutig lösbare lineare Gleichungssysteme
für NICHT eindeutig lösbare lineare Gleichungssysteme, da
Spaltenanzahl nicht übereinstimmt
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Matlab® für Fortgeschrittene XV
• Eigenwerte und Eigenvektoren:
Berechnung der Diagonalmatrix
Eigenwerte einer Matrix A berechenbar mit Befehl eig(A).
Berechnung der Dreiecksmatrix
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Matlab® für Fortgeschrittene XVI
• Rundungsfehler:
– Matlab ® ist ein Softwarepaket, dass numerisch arbeitet
– Rundungsfehler treten daher auf
– Details verwiesener Literatur entnehmen
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Programmieren in Matlab® I
• Graphen erstellen: mittels Script Files
Save and Run
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Programmieren in Matlab® II
• spezielle Graphen:
– parametrisierte Kurven (Lissajou - Figuren)
– Kurven in Polarkoordinaten (Archimedische Spirale)
– Ortskurve
– Zeigerdiagramme
– halblogarithmische Darstellungen
– Bodediagramme
– Balkendiagramme
– 3 - dimensionale Diagramme:
• Raumkurve, Sattelfläche und Höhenlinien
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40
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Programmieren in Matlab® III
• parametrisierte Kurven (Lissajou - Figuren):
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Programmieren in Matlab® IV
• Kurven in Polarkoordinaten (Archimedische Spirale):
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42
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Programmieren in Matlab® V
• Ortskurven:
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43
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Programmieren in Matlab® VI
• Zeigerdiagramme:
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44
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Programmieren in Matlab® VII
• halblogarithmische Darstellungen:
– bei Funktionen mit großem Wertebereich
– mittels Befehl semilog(x,y)
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45
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Programmieren in Matlab® VIII
• Bodediagramme:
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46
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Programmieren in Matlab® IX
• Balkendiagramme:
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Programmieren in Matlab® X
• 3 - dimensionale Diagramme: Raumkurve
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48
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Programmieren in Matlab® XI
• 3 - dimensionale Diagramme: Sattelfläche
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Programmieren in Matlab® XII
• 3 - dimensionale Diagramme: Höhenlinien
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Programmieren in Matlab® XIII
• graphisch differenzieren:
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Programmieren in Matlab® XIV
• graphisch integrieren:
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Programmieren in Matlab® XV
• Lösen linearer Gleichungssysteme:
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Programmieren in Matlab® XVI
• Erstellen bzw. Arbeiten mit Function Files:
– parameterabhängige Dateien
– Regelung von Input- und Outputgrößen notwendig
function[Aus1,Aus2,….,Ausm]=Funktionsname(Ein1,Ein2,….,Einm)
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Programmieren in Matlab® XVII
• Differentialgleichungen:
– erster Ordnung
– zweiter Ordnung
– Systeme von Differentialgleichungen
• Kontrollstrukturen:
– konditionale Verzweigungen
– Schleifen
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Programmieren in Matlab® XVIII
• Numerische Lösung von Differentialgleichungen:
– erster Ordnung:
Runge - Kutta - Verfahren
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Programmieren in Matlab® XIX
• Numerische Lösung von Differentialgleichungen:
– zweiter Ordnung:
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Programmieren in Matlab® XX
• Numerische Lösung von Differentialgleichungen:
– Systeme von Differentialgleichungen:
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Programmieren in Matlab® XXI
Zeichen
Klartext
<
>
<=
>=
==
~=
kleiner als
größer als
kleiner oder gleich
größer oder gleich
gleich
ungleich
• Kontrollstrukturen:
– konditionale Verzweigungen:
• if Bedingung, Anweisungsteil end
• Anweisungsteil:= Anweisung; Anweisung; … Anweisung
• if Bedingung Anweisungsteil1 else Anweisungsteil2 end
• = … Zuweisung
Operator
• == … Vergleich
&
|
~
• in Matlab ® hat richtige Bedingung Wert 1, eine
falsche Bedingung den Wert 0
Klartext
und
oder
nicht
• bei Vergleich mit Zeichenketten ‘‘ verwenden und auf Großbzw. Kleinschreibung achten
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Programmieren in Matlab® XXII
• Kontrollstrukturen:
– Schleifen:
• Laufanweisung:
Laufvariable = Anfangswert:[Schrittweite]:Endwert
• for Laufanweisung, Anweisungsteil end
• bei Bestimmung der Anzahl der Schleifendurchgänge innerhalb
des Programms:
while Bedingung, Anweisungsteil end
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Literaturhinweise zu Matlab®
• Grupp, Frieder und Florian(2004): Matlab ® 7 für Ingenieure –
Grundlagen und Programmierbeispiele. 3., überarbeitete Auflage,
München, Wien: Oldenbourg Verlag. ISBN: 3 - 486 - 27584 - 4.
• Schweizer, Wolfgang (2009): Matlab ® kompakt. 4.,aktualisierte und
ergänzte Auflage, München: Oldenbourg Verlag. ISBN: 978 - 3 - 486 59193 - 4.
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Übungen zu Matlab® I
(siehe dazu Übungsunterlagen)
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Markovketten
(170.202)
Ao. Univ. - Prof. Norbert SEIFTER
Dipl. - Ing. Stefanie VOLLAND
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Beispiel 1) Wahlurne (nicht absorbierend)
Angaben:
• 2 Parteien: MSM und GLH
• Wähler von GSM bleiben bei t+1 zu 80 % treu, wenn sie
zum Zeitpunkt t diese Partei wählen
• Wähler von MSM bleiben nur zu 75 % treu
• Ausgangszustand laut letzter Wahl: 55 % MSM, 45 % GLH
Aufgabenstellung:
Speichern Sie die Übergangsmatrix A0, sowie die
Ausgangsverteilung p0 als Variablen ab!
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Beispiel 1) Wahlurne I
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Beispiel 1) Wahlurne II
• Wieviele Stimmen haben
die jeweiligen Parteien
bei der nächsten Wahl?
– (A0*A0)= A1
– A1*p0
• Bzw. wieviele Stimmen
haben diese bei der
übernächsten Wahl?
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Beispiel 1) Wahlurne III
• Probieren Sie mit verschiedenen
Werten für x, ab welchem x sich
die Übergangsmatrizen nicht
mehr ändern.
– A^x
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Beispiel 1) Wahlurne IV
• Lösung:
Nach 20 Wahlgängen verändern
sich die Stimmanteile der beiden
Parteien nicht mehr.
• Berechnung von A^20 mit
anschließender Multiplikation
mit den Ausgangsverteilungen
• Welche Stimmanteile haben die
beiden Parteien MSM und GSM
nach 20 Wahlgängen?
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Beispiel 1) Wahlurne V
• Berechnen der eingependelten Zustände ohne “Suchen”
des Gleichgewichtszustandes:
– Man sucht jene π, für die gilt:
• π1= 0,75* π1 + 0,2* π2
• π2= 0,25* π1 + 0,8* π2
– Dann ersetzt man eine Gleichung mit:
• 1 = π 1 + π2
– Und erhält:
• π1= 0,75* π1 + 0,2* π2
• 1 = π 1 + π2
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Beispiel 1) Wahlurne VI
• Dieses lineare Gleichungssystem kann man mittels
Matlab® auf mehrere Arten lösen, z.B.:
– mittels der Funktion A\b
– mittels der Funktion rref()
Aufgabenstellung:
Versuchen Sie mittels dieser zwei Funktionen das zuvor
angeführte Gleichungssystem zu lösen!
Tipp: - Verwenden Sie die Matlabhilfe, um die zwei
Funktionen anwenden zu können.
- Achten Sie dabei auf die richtige Eingabe des
Gleichungssystems!
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Beispiel 1)Wahlurne VII
• Lösung mittels A\b:
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Beispiel 1) Wahlurne VIII
• Lösung mittels rref():
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Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL
Angaben:
• Es existieren 5 Zustände in der Karrierelaufbahn IL:
– untere Ebene (uE) – transient
• 0,8 zu uE, 0,15 zu mE, 0,05 zu AvhE (in %)
– mittlere Ebene (mE) – transient
• 0,7 zu mE, 0,2 zu hE, 0,1 zu AvhE (in %)
– höhere Ebene (hE) – transient
• 0,95 zu hE, 0,05 zu AvdS (in %)
– Abschied vor Erreichen der höheren Ebene (AvhE)
– Abschied von der höheren Ebene - (Spitze) (AvdS)
• beide Abschiede sind absorbierend
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Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL I
0,2
0,15
mE
uE
AvhE
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hE
AvhE
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Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL II
Übergangsmatrix
uE
mE
hE
AvhE
AvdS
uE
0,8
0,15
0
0,05
0
mE
0
0,7
0,2
0,1
0
hE
0
0
0,95
0
0,05
AvhE
0
0
0
1
0
AvdS
0
0
0
0
1
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Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL III –
Partitionieren der Übergangsmatrix
Übergangsmatrix
uE
mE
hE
AvhE
AvdS
uE
0,8
0,15
0
0,05
0
mE
0
Q
0,7
0,2
0,1
hE
0
0
0,95
0
0,05
AvhE
0
0
0
1
0
AvdS
0
0
0
0
1
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R
0
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Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL IV
Aufgabenstellung:
• Wie lange befindet man sich in einem der transienten
Zustände, wenn man in irgendeinem transienten Zusand
startet bzw. wie oft könnte man erwarten, einen
transienten Zustand zu erreichen, bevor man zu einem
absorbierenden Zustand kommt?
– Zu berechnen mittels (I – Q)^(-1).
• Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, dass man in einen
absorbierenden Zustand kommt?
– Zu berechnen mittels (I – Q)^(-1) * R.
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Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL V
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Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL VI
• D.h. wenn jemand in der uE
eintritt, bleibt er im Schnitt 5
Jahre in diesem Zustand.
(In unserem Fall 5 Jahre, da 1 Schritt in
einen anderen Zustand = 1 Jahr).
• Personen, die in der mE arbeiten,
werden im Schnitt 13,33 Jahre in
der hE verbringen.
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Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL VII
• Wenn man in der uE einsteigt,
hat man eine 50 % Chance, in
die hE aufzusteigen.
• Ist man bereits auf der mE, so
erhöht sich diese Chance auf
2/3.
• Man scheidet mit einer Chance
von 1/3 von der mE aus dem
System aus, ohne die hE erreicht
zu haben.
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Hausübung 1) I
Angaben :
• Eine Umfrage ergab, dass zum Zeitpunkt t = 0 40 Prozent
der Hörer Sender A hörten und 60 % Sender B.
• Aus vorherigen Umfragen ist bekannt, dass die Hörer von
Sender A mit einer Wahrscheinlichkeit von 15 % zu Sender
B wechseln, während von Sender B 5 % zu Sender A
wechseln (pro Woche).
Aufgabenstellung:
• Stellen Sie diesen Vorgang als Markovkette dar und
berechnen Sie folgende Punkte mittels Matlab ® :
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Hausübung 1) II
a) Wie hoch ist der Anteil der jeweiligen Hörer von Sender
A und B zu den Zeitpunkten t = 1, t = 3 und t = 5?
b) Wenn es eine Gesamthörerschaft von 500.000
Menschen gibt, wieviele Menschen hören in der Woche
t = 9 den Sender B?
c) Existiert für dieses System ein Gleichgewichtszustand?
Wenn ja, wie lauten die Anteile von A und B bzw. nach
wievielen Wochen wird dieser Zustand erreicht?
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Hausübung 2) I
Angabe:
• Eine Fertigungsmaschine produziert je nach Drehzahl eine
unterschiedliche Menge von Produkten
(Beobachtungsintervall = 1 Woche).
Erfahrungswerte zeigen, dass wenn die Anlage mit 1000
U/min läuft, sie zu einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 in der
nächsten Woche ausfällt. Zu einer Wahrscheinlichkeit von
0,2 kann die Leistung von 1000 auf 1200 U/min gesteigert
werden. Ausgehend von diesem Zustand, fällt sie jedoch
zu 20 % aus. Fährt die Maschine mit 1200 U/min, fällt sie in
der nächsten Woche mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5
wieder auf 1000 U/min zurück.
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Hausübung 2) II
Aufgabenstellung:
• Stellen Sie diesen Vorgang als Markovkette dar und berechnen Sie
folgende Punkte mittels Matlab ® :
a) Wieviele Tage dauert es im Schnitt, bis die Anlage ausfällt, wenn sie
zum Zeitpunkt t = 0 (Woche 0) im Zustand 1000 U/min produziert?
b) Nehmen Sie an, die Anlage kann innerhalb einer Woche repariert
werden und prodziert danach wieder mit Drehzahl 1000 U/min. Wie
groß ist die Verfügbarkeit der Anlage?
Hinweis: Je nach Aufgabenstellung ist der Zustand “Ausfall” einmal als
absorbierd, einmal als nicht absorbierend anzunehmen.
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Operations Research für Logistik
Warteschlangentheorie
(170.202)
Ao. Univ. - Prof. Norbert SEIFTER
Dipl. - Ing. Stefanie VOLLAND
Sommersemester 2010
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Beispiel 1) Tankstelle I
Angaben:
PKW - Fahrer fahren zur Tankstelle um zu tanken, wenn ihr
Tank zu ¼ voll ist. Die Tankstelle hat eine Zapfsäule. Es
kommen durchschnittlich 6,3 Personen pro Stunde zur
Tankstelle, wobei diese ihren Tank wieder zur Gänze
auffüllen. Um einen PKW abzufertigen, vergehen
durchschnittlich 4 Minuten.
Die ZAZ (= Zwischenankunftszeiten) und die Bedienzeit sind
exponentialverteilt anzunehmen.
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Beispiel 1) Tankstelle II
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Aufgabenstellung:
a) Beschreiben Sie dieses System nach Kendall - Lee.
b) Wieviele Kunden befinden sich durchschnittlich im
System und wie lange verbringt ein Kunde
durchschnittlich darin?
c) Die ÖMV prognostiziert Ölknappheit, was zu einer
Veränderung des Systems führt. Die PKW - Fahrer fahren
nun schon an die Zapfsäule, wenn sie bereits erst die
Hälfte ihres vollen Tanks verbraucht haben. Da sie nun
weniger tanken, sinkt die Bedienzeit auf 2 2/3 Minuten.
Wie verändern sich dadurch die Größen L und W?
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Beispiel 2) Kartenschalter I
Angaben:
Der Eingangsbereich einer Touristenattraktion verfügt über
2 Schalter.
Im Durchschnitt betreten 4/3 Personen pro Minute den
Bereich.
Die durchschnittliche Bedienzeit beträgt 72 Sekunden.
ZAZ und Bedienzeit sind exponential verteilt.
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Beispiel 2) Kartenschalter II
Aufgabenstellung:
a) Beschreiben Sie dieses System nach Kendall - Lee.
b) Wie hoch ist der Bruchteil der Zeit, in der ein einzelner
Schalter frei ist?
c) Wie hoch ist die durchschnittliche Zeit, die ein Kunde im
System verbringt?
d) Wie hoch ist die durchschnittliche Anzahl der Touristen
im System?
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Beispiel 3) Callcenter I
Angaben:
Ein Angestellter nimmt in einem Callcenter die Anrufe
entgegen. Es rufen im Schnitt 35 Kunden pro Stunde an,
wobei die Abfertigungsdauer bei durchschnittlich 320
Sekunden
liegt
(ZAZ
und
Bedienzeit
sind
exponentialverteilt). Ist die Warteschlangenkapazität von
11 Anrufern erschöpft, legen die neu hinzukommenden
Kunden auf.
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Beispiel 3) Callcenter II
Aufgabenstellung:
a) Beschreiben Sie dieses System nach Kendall - Lee.
b) Wie lange muss ein Anrufer im Schnitt in der Schleife
warten und wie lange wartet er bis zur vollständigen
Abfertigung seines Anrufs?
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Beispiel 4) Fertigung I
Angaben:
In einer Fertigung befinden sich 3 Fertigungsstationen. Im Schnitt
kommen von außerhalb des Systems 11 Teile bei der Station A,
16 Teile bei der Station B und 10 Teile bei der Station C an.
Die Bedienraten lauten A = 15 Stk/h, B = 28 Stk/h und C = 36
Stk/h (ZAZ und Bedienraten sind exponentialverteilt).
Ist ein Teil bei der Station A fertig, geht es zu 50 % aus dem
System, der Rest geht weiter zu Station B. Von Station B aus
gehen ¼ der Teile aus dem System, während ¾ zu Station C
wandern. Von Station C aus gehen ¾ der Teile aus dem System,
der Rest geht zu jeweils 50 % an die Stationen A und B.
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Beispiel 4) Fertigung II
Aufgabenstellung:
a) Bestimmen Sie eine Kendall - Lee - Notation für dieses
System.
b) Welchen Bruchteil der Zeit ist die Station B frei?
c) Wieviele Teile sind im Schnitt bei jeder Bedienstation
(3 Antworten)?
d) Wie hoch ist die durchschnittliche Zeit, die ein Teil im
System verbringt?
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