TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DRESDEN
Maschinenwesen
Festkörpermechanik
Getriebelehre
Angenäherte Getriebesynthese Standardaufgabe der nichtlinearen Optimierung
Dresdner Lösungsstrategie
APPROX für Windows
Prof.Dr.-Ing.habil. Heinz Strauchmann
Ermittlung der Fehlerfunktion f(X):
Fehler zugeordneter Punkte zwischen Ist- und Sollkurve
Ermittlung der optimalen Lösung X*:
Isoflächen der Zielfunktion F(X) mit Iterationsverlauf zum Minimum
Technische Universität Dresden
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Dresdner Lösungsstrategie
APPROX für Windows
Prof.Dr.-Ing.habil. Heinz Strauchmann, TUD
Die Angenäherte Getriebesynthese ist eine Standardaufgabe der Nichtlinearen Optimierung und Bestandteil der Angewandten Optimierung.
Die Zielfunktion F(X) wird aufgabengebunden und rechnerintern aus einer
Fehlerfunktion f(X) gebildet, die aus Abständen zugeordneter Wertepaare
der Übertragungsfunktionen bzw. Führungsbahnen des Ausganggetriebes
(Istwerte) und der zu realisierenden Sollwerte besteht.
Die Erstellung der Fehlerfunktion erfolgt über gewichtete Approximationskriterien von Gauß oder Tschebyschev.
Zur Transformation unzulässiger Komponenten des Variablenvektors X in
das Gebiet zulässiger Lösungen wird eine Straffunktion S(X) verwendet,
die die Zielfunktion in die endgültige Form: F(X) = f(X) + S(X) bringt.
Ausgangsgetriebe mit bewegungsunfähigen Bereichen werden über einen
Monte-Carlo-Algorithmus in Startgetriebe für den Optimierungsprozess
umgewandelt.
Die gegebenen Sollwerte sind in einen Forderungskatalog einzutragen, in
dem auch differentialgeometrische Zusammenhänge zwischen den Übertragungsfunktionen bzw. Führungsbahnen zu berücksichtigen sind.
Der minimale Übertragungswinkel des Gesamtgetriebes wird als nichtlineare Restriktionsfunktion (Nebenbedingung) einbezogen.
Mit Hilfe ableitungsfreier Optimierungsstrategien wird eine Lösungsmenge
bereitgestellt, aus der sich über weitere Bewertungkriterien die praxiswirksame Variante ergibt.
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Standardaufgabe der nichtlinearen Optimierung
mathematische Formulierung
F(X) := Minimum!
X  A := ( X  Rn : gj (X)  0, j = 1,2, ... , m )
Grafische Interpretation
nichtlineare NB
Optimierungsstrategien
lineare NB
• Nelder-Mead
• Monte Carlo
• Gauß-Seidel
• Hooke-Jeeves
achsenparallele NB
F(X)
Zielfunktion
g(X)
Restriktionsfunktionen
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Standardaufgabe der nichtlinearen Optimierung
getriebetechnische Formulierung
F(X) := Minimum!
X  A := ( X  Rn : gj (X)  0, j = 1,2, ... , m )
Zielfunktionsbildung F(X) über Fehler- und Straffunktion
f2
f1
F(X) = f(X) + S(X)
f7
Fehlerfunktion nach Gauß
m


f ( X )   Wxj x j  xj
f11
j 1
m = 11
  W y
2
yj
j
 y j
 
2
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Vorbetrachtungen zur Getriebesynthese
Der optimale Entwurf (Getriebeauslegung) für die zu realisierenden
Übertragungs- und Führungsaufgaben ist in starkem Maße von der
Getriebestruktur und im Allgemeinen nur näherungsweise zu
realisieren [1].
Bei der Bewertung und Auswahl eines praxiswirksamen Getriebes
aus der erzeugten Variantenmenge wird unter Berücksichtigung
kinematischer, kinetostatischer und konstruktiver Aspekte u.a. auf
folgende Kriterien zurückgegriffen:
• Güte der Bewegungs- und Kraftübertragung
• Umlauf- und Bewegungsfähigkeit
• Übertragungswinkel aller Gliedergruppen
• Platzbedarf und Kollisionsverhalten
[1] Volmer, Johannes: Getriebetechnik-Grundlagen
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Aufgabenstellungen zur Getriebesynthese [2], [3]
Die in der jeweiligen Aufgabenstellung formulierten Forderungen sind
durch Übertragungs- oder Führungsgetriebe zu realisieren.
• Übertragungsgetriebe
Übertragungsfunktionen/ Bewegungsgrößen einschließlich Sonderfälle
• Führungsgetriebe
Koppel- oder schwingenpunktgesteuerte Führungsbahnen/ Ebenenlagen
Von großer Bedeutung für die Lösung von Aufgaben der angenäherten
Getriebesynthese ist die dem Bemessungsvorgang vorgeschaltete
Funktions-Strukturanalyse. Bei dieser Teilaufgabe sollte auf Wissensspeicher, Methoden der Konstruktionssystematik und eigene Erfahrungen
zurückgegriffen werden.
[2] Luck, K.; Modler, K.-H.: Getriebetechnik/ Analyse-Synthese-Optimierung
[3] Braune, R.: Erfahrungen mit der Nutzung von klassischen Methoden der
Getriebesynthese bei der rechnergestützten Getriebeoptimierung
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Grundaufgaben der Getriebesynthese
allgemeine Formulierung
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Einfaches Synthesebeispiel zur Präsentation der Lösungsstrategie
Optimaler Entwurf eines 6-gliedrigen Koppelgetriebes mit drehendem
Antrieb und schiebendem Abtrieb zur Realisierung von Umkehrlagen
Präzisierte Aufgabenstellung
• Übertragungsfunktion 0. Ordnung mit vier Umkehrlagen
• Amplitudenwerte der translatorischen Abtriebsbewegung
• Zeitliche Zuordnung der Umkehrlagen zur Antriebsbewegung
• Günstiger Beschleunigungsverlauf des Abtriebsgleitsteins
• Kompakte Baugröße
• Minimaler Übertragungswinkels des Gesamtgetriebes
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(1) Getriebesynthese mit Funktions-Strukturanalyse
Sollkurve mit vier Umkehrlagen
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Schritt 1
Die Erkenntnis, dass zur Steuerung des Gleitsteines einer nachgeschalteten Gliedergruppe der Koppelpunkt eines vorgeschalteten
Teilgetriebes wegen seiner „in sich verschlungenen“ Koppelkurve
zweckmäßig ist, empfiehlt die Verwendung einer
Doppelkurbel
oder
umlaufenden Kurbelschleife
als Vorschaltgetriebe.
Für die folgende Präsentation wird die Doppelkurbel als klassisches
Vorschaltgetriebe verwendet.
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Doppelkurbel als Vorschaltgetriebe
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Schritt 2
Die vom Koppelpunkt der Doppelkurbel gesteuerte Gliedergruppe
wird aus anwendungstechnischen Gründen so positioniert, dass die
Schubrichtung des Gleitsteines parallel zur x-Achse des Rastsystems
liegt.
Mit dieser Struktur- und Abmessungskonstellation für das Ausgangsgetriebe ist jedoch nur folgender Verlauf von s = s() zu realisieren:
Ausgangsgetriebe
Übertragungsfunktion 0. Ordnung
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Schritt 3
Die Formulierung der Optimierungsaufgabe setzt die Bearbeitung
folgender Teilaufgaben voraus:
• Festlegung der Getriebeart (Übertragungs-/ Führungsgetriebe)
• Forderungskatalog unter Beachtung der funktionalen Zusammenhänge zwischen den Übertragungsfunktionen 0. bis 2. Ordnung
• Abmessungen/ Antriebsgrößen als Elemente des Variablenvektor
• Variationsbereich für die Elemente (Komponenten) des Vektors
• Minimaler Übertragungswinkel des Gesamtgetriebes als Sollwert
der nichtlinearen Nebenbedingung
Weitere Kriterien sind die relativen Werteänderung der einzelnen
Komponenten des Variablenvektors X und der Zielfunktion F(X).
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Forderungen an die vier Umkehrlagen
Variablenzuordnung,
Abmessungen, Schranken
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Schritt 4
• Erstellen der Startversion für den Optimierungsprozess unter
Einbeziehung des Ausgangsgetriebes und der vorgegebenen
Forderungen an die Übertragungsfunktionen.
• Interaktive Bearbeitung der angenäherten Syntheseaufgabe als
Standardaufgabe der nichtlinearen Optimierung. Das Ergebnis
weist im Allgemeinen eine Teilmenge von Getrieben auf.
• Auswahl eines praxiswirksamen Getriebes unter Einbeziehung
weiterer Bewertungskriterien, z.B. Platzbedarf, Beschleunigungsspitzen des Gleitsteines, erreichter minimaler Übertragungswinkel.
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Ergebnisse der Getriebesynthese (OPTIMA)
Der Optimierungsprozess wird mit der Strategie von Nelder-Mead realisiert
und führt mit guter Annäherung an ein lokales Optimum.
Isoflächen der Zielfunktion F(X), Iterationsverlauf, optimale Komponenten für F(X*) = 0!
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Ergebnisse der Getriebesynthese (APPROX)
Das ermittelte Getriebe stellt eine Variante dar, die alle Forderungen
erfüllt. Durch Veränderungen der Variationsbereiche für die Variablen
und des anzustrebenden minimalen Übertragungswinkels besteht die
Möglichkeit, weitere lokale Lösungen zu finden.
Optimiertes Getriebe mit vorgeschalteter Doppelkurbel
Übertragungsfunktion 0. Ordnung
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(2) Getriebesynthese ohne Funktions-Strukturanalyse
Für den Fall, dass keine Ergebnisse von Voruntersuchungen zur Verfügung
stehen, wird ein Koppelgetriebe mit drehendem Antrieb und schiebendem
Abtrieb sowie beliebigen Abmessungen als Ausgangsgetriebe zur Verfügung
gestellt. Aus den Ergebnissen der Getriebeanalyse z.B. mit einer vorgeschalteten Kurbelschwinge ist zu erkennen, dass die Übertragungsfunktion ÜF(0)
den Anforderungen an die Vorgaben nicht gerecht wird. Die anschließende
Synthese bringt dann aber auch für diese Struktur das gewünschte Ergebnis.
Ausgangsgetriebe
Übertragungsfunktion 0. Ordnung
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Ergebnisse der Getriebesynthese (OPTIMA)
Der Optimierungsprozess wird mit der Strategie von Nelder-Mead realisiert
und führt mit guter Approximationsgüte vom Startpunkt X0 aus zu einem
lokalen Optimum X*.
Isoflächen der Zielfunktion F(X), Iterationsverlauf, optimale Komponenten für F(X*) = 0!
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Ergebnisanalyse der Getriebesynthese (APPROX)
Auch dieses Getriebe stellt eine mögliche praxiswirksame Variante dar, die
alle vorgegebenen kinematischen Forderungen und Bedingungen erfüllt.
Natürlich kann auch mit einer Kurbelschwinge in der Struktur des Ausgangsgetriebes ein Getriebe mit vorgeschalteter Doppelkurbel synthetisiert werden.
Voraussetzung dafür ist, den Variationsbereich der Kurbel im Verhältnis zum
Gestell entsprechend anzupassen, also Gestell als kürzestes Getriebeglied.
Getriebe mit vorgeschalteter Kurbelschwinge
Übertragungsfunktion 0. Ordnung
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Zusammenstellung möglicher 6-gliedriger Getriebe
mit vorgeschalteter Doppelkurbel
… Kurbelschleife
… Kurbelschwinge
Übertragungsfunktion (realisierte Sollkurve)
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Diese Lösungsstrategie stellt in Verbindung mit dem Programmpaket
APPROX für Windows
eine Möglichkeit zur rechnergestützten Bearbeitung von
Syntheseaufgaben in der Getriebetechnik dar.
Für ein Getriebetechnisches Praktikum stehen zahlreiche
Aufgabenstellungen aus Lehre und Praxis zur Verfügung.

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