3.3 Moving-Average-Prozesse (MA-Modelle)
 Definition:
Ein stochastischer Prozess (Xt) heißt Moving-Average-Prozess der Ordnung q [MA(q)Prozess], wenn er die Form
(1)
X t  Ut  1Ut 1  ...  qUt  q
q
  i  Ut i
i 0
oder (1’)
mit 0  1
X t  (B)Ut
mit
(2)
(B)  1  1B  ...  qBq
hat. (Ut) ist dabei ein Zufallsprozess aus unabh. identisch verteilten Zufallsvariablen. ‫ٱ‬
Xt wird als Abweichung vom Prozessmittelwert µ betrachtet, so dass E(Xt)=0 gilt.
Allg.
X t    Ut  1Ut 1  ...  q  Ut  q
 ist der Mittelwert des MA(q) - Prozesses.
 Bemerkungen:
-Interpretation:
Der beobachtete Wert Xt ist ein gewogenes Mittel aus den gegenwärtigen und
vergangenen Schocks ut-τ , τ =1,2, ..., q, die voneinander unabhängig sind.
-
Im Fall q = ∞ heißt (Xt) ein unendlicher Moving-Average-Prozess [MA(∞)].
-
MA(q)-Prozesse sind Spezialfälle des allg. linearen Prozesses

X t   U t  ,
 
wobei (ψτ) ein absolut summierbarer Filter ist. Eigenschaft eines MA(q)-Prozesses: ψτ=0
für τ<0 (kausaler Filter).
-
MA(q)-Prozess ergibt sich durch Filtern eines reinen Zufallprozesses mit dem Filter
(1, -θ1, ..., -θq).
- Anwendung in Ökonometrie:
Ökonom. Variable beeinflusst von einer Reihe „ random shocks“ wie Streiks,
Regierungsmaßnahmen, Knappheit an wichtigen Material etc. Effekte in
aufeinanderfolgenden Perioden mit immer geringerem Ausmaß.
• Spezielle MA(q)-Prozesse
-
MA (1)- Prozess
X t  U t  1U t 1
 (1  1B) U t



 ( B)
Varianz von Xt:

 0  Var ( X t )  E( X 2t )  E Ut  1Ut 1 
2

 E(U2t )  21E(UtUt 1 )  12E(U2t 1 )
 u2  12u2  u2 (1  12 )
Autokovarianzf. (ACVF):
für τ = 1:
1  Cov( X t , X t 1 )  E( X t X t 1 )
 E(Ut  1Ut 1 )(Ut 1  1Ut 2 )
 E(UtUt 1 )  1E(UtUt 2 )  1E(U2t 1 )  12E(Ut 1Ut 2 )
 1E(U2t 1 )  1u2
für τ = 2:
 2  Cov( X t , X t 2 )  E( X t X t 2 )
 E(Ut  1Ut 1 )(Ut 2  1Ut 3 )
 E(UtUt 2 )  1E(UtUt 3 )  1E(Ut 1Ut 2 )  12E(Ut 1Ut 3 )
 0, was generell für   2 gilt
u2 (1  12 )

     1u2

0

für
für
für
0
 1
2
Autokorrelationsf. (ACF):     t /  0

1

1 2u
 1
   

2
2
2
  u (1  1 ) 1  1

0
für   0
für
 1
für   2
Abb. 1: ACFs für MA (1)-Modelle mit θ1=-0,5 u. θ1= 0,5
(a)
1  0,5 /(1  0,52 )  0,5 / 1,25 
(b)
1  0,5 /(1  0,25)  0,4
2/4
 0,4
5/4
 1
 1
1
1
0,5
0,5

0
1
2
3
-0,5
-1
4

0
5
1
2
3
-0,5
(a) 1= -0,5
MA(1) Prozess:
X t  Ut  0,5  Ut 1
-1
(b) 1= 0,5
MA(1) Prozess:
X t  Ut  0,5  Ut 1
4
5
Partielle Autokorrelationsfunktion (PACF) für MA(1):
11  1 
 1
1  12
2  12
21 
1  12

  
1 

 1  2 

1
2
2

  
1 
wegen 1  
 1  2 
2 0

1


12
(1  12 ) 2
(1  12 ) 2  12
(1  12 ) 2

 12
1  212  14  12
  2 (1  2 ) 
 1
1 

1  12  14 
1  16 
 12
  3 (1  2 ) 
1 
 1
31 
1  12  14  16 
1  18 
 13
 1
 1 (1  12 )
Al lg . 1 

für   1
 2i
2( 1)
1  1
 1
i 1
(Bem.: Die partielle Autokorrelationsfunktion für MA(q)-Prozesse verhält sich ähnlich wie die
Autokorrelationsfunktion eines AR(q)-Prozesses. Für θ1<0 ist sie alternierend und für θ1<0
strebt sie mit exponentiell abnehmender Rate im negativen Bereich gegen 0.)
-
MA(2)-Prozess
X t  U t  1U t 1  2 U t  2
 (1  1  2 ) U t

 ( B)
Varianz von Xt:

 0  Var ( X t )  E( X2t )  E (Ut  1Ut 1  2Ut 2 )2

 E(U2t )  21E(UtUt 1 )  22E(UtUt 2 )  12E(U2t 1 )  212E(Ut 1Ut 2 )  22E(U2t 2 )
 E(U2t )  12E(U2t 1 )  22E(U2t 2 )
 u2 (1  12  22 )
Autokovarianzf. (ACVF):
für τ = 1: 1  Cov( X t , X t 1 )  E( X t X t 1 )
 E(Ut  1Ut 1  2Ut 2 )(Ut 1  1Ut 2  2Ut 3 )
 E(UtUt 1 )  1E(UtUt 2 )  2E(UtUt 3 )  1E(U2t 1 )  12E(Ut 1Ut 2 ) 
12E(Ut 1Ut 3 )  2E(Ut 1Ut 2 )  12E(U2t 2 )  22E(Ut 2Ut 3 )
 1E(U2t 1 )  12E(U2t 2 )
 1u2  12u2  u2 ( 1  12 )
für τ = 2:
 2  Cov( X t , X t 1 )  E( X t X t 2 )
 E(Ut  1Ut 1  2Ut 2 )(Ut 2  1Ut 3  2Ut  4 )
 E(UtUt 2 )  1E(UtUt 3 )  2E(UtUt  4 )  1E(Ut 1Ut 2 )  12E(Ut 1Ut 3 )
 12E(Ut 1Ut  4 )  2E(U2t 2 )  12E(Ut 2Ut 3 )  22E(Ut 2Ut  4 )
 2E(U2t 2 )   2u2
γτ = 0 für τ ≥ 3
u2 (1  12  22 )
 2
 ( 1  12 )
   u
 2u2


0
für
für
für
0
 1
2
für
3
Autokorrelationsf. (ACF): ρτ = γτ / γ0
1

2
 u (1  12 )
2
2

(





)
/(
1




 2
1
1
2
1
2)
2
2

(
1




)
   u
1
2

 2 /(1  12  22 )

0

für
0
für
 1
für
2
für
3
Abb. 2: ACFs für MA(2)-Modelle
(a)
1  2  0,5
(b)
1  (0,5  0,25) /(1  0,25  0,25)  0,75 / 1,5  0,5

2  0,5 /(1  0,25  0,25)  0,5 / 1,5 
1  ( 0,5  0,25) / 1,5  0,75 / 1,5  0,5
1
3

1
1  0,5 , 2  0,5
2  0,5 / 1,5 
1
3
1
2/3
2/3
0,5
1/3
1/3

0
1
2
1/3
1/3
3
4
1
5
 1/3

0
2
3
4
5
 1/3
 0,5
 2/3
 2/3
-1
X t  U t  0,5  U t 1  0,5  U t 2
(a ) 1   2  0,5
-1
X t  U t  0,5  U t 1  0,5  U t 2
(b)
1  0 , 5 ,
 2   0 ,5
1  2  0,5
(d)
(c) 1  0,5, 2  0,5
1  ( 0,5  0,25) / 1,5  0,25 / 1,5  
1
1  (0,5  0,25) / 1,5  0,25 / 1,5 
6
1
2  0,5 / 1,5  
3
2  0,5 / 1,5  

1
6
1
3

1
1
2/3
2/3
1/3
1/3
1/6

0
1
2
3
4

0
1
5
2
3
4
5
1/6
 1/3
 2/3
-1
 1/3
Xt  Ut  0,5  Ut 1  0,5  Ut 2
(c) 1  0,5 , 2  0,5
 1/3
 1/3
 2/3
X t  U t  0,5  U t 1  0,5  U t 2
-1
( d ) 1   2  0,5
● Partielle Autokorrelationsfunktion (PACF)
Die partielle Autokorrelationsfunktion   2 eines MA(2)-Prozesses lässt sich nicht mehr in
einfacher form als Funktion der MA-Parameter θ1 und θ2 darstellen ( Durbin-LevinsonAlgorithmus).
Charakteristisches Polynom:
(z)  1  1z  ...  q z q
Verlauf der PACF:
- Reelle Wurzeln des charakteristischen Polynoms:
PACF verläuft monoton oder alternierend exponentiell gegen 0
- Komplexe Wurzeln des charakteristichen Polynoms:
PACF verläuft in Form einer gedämpften Sinusschwingung
 Stationarität
Wie man aus E(Xt) und den ACFs γτ leicht erkennt, sind keine Restriktionen bzgl. der (θi)
zu setzen, um die Stationarität eines MA(q)-Prozesses zu sichern.
 Invertibilität (Invertierbarkeit)
Es lässt sich zeigen, dass aus den ACFs γτ nicht eindeutig auf einen zugrunde liegenden
MA(q)-Prozess geschlossen werden kann. So haben z.B. die beiden MA(1)-Prozesse
(a)

X t  Ut  1Ut 1  1(a)  1 /(1  12 )
und
(b)
  0  u2 (1  1 / 12 ) , 1  1 / 1u2

1
X t  Ut  Ut 1 1(b)  1 /  0  1 / 1 / (1  1 / 12 )
1


 1 /( 12  1)  1( a)

 12
identische ACFs. Box und Jenkins (1970) haben daher das Kriterium der Invertierbarkeit eingeführt, das vor allem auch von Bedeutung ist, wenn in der Praxis aus der geschätzten ACF auf die Modellparameter geschlossen werden soll. Die Invertibilitätsbedingung sichert, dass es einen eindeutigen MA(q)-Prozess für eine gegebene ACF gibt.
MA(q)-Prozesse (Xt) erhält man durch Filtration von White-Noise-Prozessen (Ut) mit
linearen, endlichen Filtern [Xt = θ (B) Ut]. Für die Invertierbarkeit des Prozesses ist nun
entscheidend, ob sich der Prozess (Ut) umgekehrt durch Filtration von (Xt), also
Ut = θ-1(B)Xt , erhalten lässt. Wie schon allgemein ausgeführt, sind dabei nur absolut
summierbare und kausale Filter von Interesse.
Ein MA(q)-Prozess heißt invertierbar, wenn alle Nullstellen des charakteristischen
Polynoms
q
(z)   i z i
i 1
außerhalb des Einheitskreises liegen.
□
Unter dieser Bedingung gilt Ut = θ-1(B)Xt , wobei
1

 (B)   ci Bi
i 0
ein kausaler Filter mit absolut summierbarer Koeffizientenfolge ist.
 Momente für MA(q)-Prozess (allgemein):
-
Erwartungswert von Xt
E( X t )  E(Ut  1Ut 1  ...  qUt  q )
 E(Ut )  1E(Ut 1 )  ...  qE(Ut  q )
 0 , wegen E(Ut )  0 für alle t
-
Varianz von Xt

Var ( X t )   0  E( X 2t )  E (Ut  1Ut 1  ...  qUt  q )(Ut  1Ut 1  ...  qUt  q )

 E Ut (Ut  1Ut 1  ...  qUt  q )  1Ut 1 (Ut  1Ut 1  ...  qUt  q )
 ...  qUt  q (Ut  1Ut 1  ...  qUt  q )

E(U2t ) 
q
q
i1
i1

 iE(UtUt i )  1E(Ut 1Ut )   1iE(Ut 1Ut i )  ...  qE(Ut  qUt )
q
  qiE(Ut  qUt 1 )

i1
E(U2t )  12E(U2t 1 )  ...  2qE(Ut  q )2

u2

12u2
 ... 
2qu2

u2 (1  12
 ... 
2q )
 0 
q
2
u  i2
i 0

- Kovarianz zw. Xt und Xt+τ , τ ≠ 0
Cov( X t ; X t   )     E( X t X t   )


 EUt (Ut    1Ut 1   ...  qUt  q  )  1Ut 1 (Ut    1Ut 1   ... 
qUt  q  )  ...  qUt  q (Ut    1Ut 1   ...  qUt  q  )
 E (Ut  1Ut 1  ...  qUt  q )(Ut    1Ut 1   ...  qUt  q  )
Fall (a): τ > q
für τ = q+1:
=
=
=
   E Ut (Ut  q1  1Ut 1 q1  ...  qUt  q q1  1Ut 1 (Ut  q1  1Ut 1 q1  ...

=t+q
=t+1
=t+q
 qUt  q q1  ...  0 , da in den E(UtUs ) immer t  s gilt.
=t+1
Man kann leicht sehen, dass Entsprechendes für  = q+2, q+3,... gilt, so dass allgemein
 = 0 für  >q
gilt.
Fall b): 0 <   q
= 1:

1  E Ut (Ut 1  1Ut 11  ...  qUt  q1 )  1Ut 1 (Ut 1  Ut 11  2Ut 21  ...
=t
=t
= t-1
 qUt  q1 )  ...  qUt  q (Ut 1  1Ut 11  2Ut 21  ...  qUt  q1 )
=t
= t-1
 1E(U2t )  12E(U2t 1 )  23E(U2t 1 )  ...  q1qE(U2t  q1 )
q1
 u2 ( 1   ii1 )
i1
=2:
 2  EUt 2 1Ut 1 2  2Ut 2 2  ...  qUt  q2 )  1Ut 1 (Ut 2  1Ut 1 2  2Ut 22  ...
= t+1
=t
= t+1
 qUt  q2 )  ...  qUt  q (Ut 2  1Ut 1 2  2Ut 22  ...  qUt  q 2 )
= t+1
=t
 2E(U2t )  13E(U2t 1 )  24E(U2t 2 )  ...  q2qE(U2t  q 2 )


u2 ( 2
q2
  ii2
i1
=t
allgemein:
ACVF:
ACF:
 
u2 (
q 
 ii  )
i1
q

2
u  i2

i 0

q 
 2
   u (    ii  )
i1

0



für
0
für
0q
für
q

1
q


q

  (    ii  ) /  12
i1
i 0

0

für
0
für
0q
für
q
Interpretation:
Aus der ACF erkennt man, dass  bei einem MA(q)-Prozess für Lags  > q verschwindet
(von Relevanz bei der Identifizierung von ARMA- bzw. ARIMA-Prozessen).
Invertibilitätsbedingungen:
Bei einer Verletzung der Invertibilitätsbedingungen ist der ARMA-Prozess nicht definiert.
Die Invert.bed. garantieren außerdem die Eindeutigkeit bei der Identifikation des stoch.
Prozesses aus der Autokorrelationsfunktion.
MA(1)-Prozess:
-1 < 1 < 1
MA(2)-Prozess:
-1 < 1 < 1
1 + 2 < 1
2 - 1 < 1

MA(q)-Prozess