Die theoretischen Grundlagen der
Bondgraphen-Methodik
• In dieser Vorlesung wollen wir uns die theoretische
Untermauerung der Bondgraphen-Methodik etwas genauer
ansehen. Insbesondere befassen wir uns mit den vier
Basisvariabeln sowie mit den Eigenschaften kapazitiver
und induktiver Speicherelemente, und schliesslich erörtern
wir das Dualitätsprinzip der Bondgraphen.
• Ebenfalls werden wir die zwei Typen von
Energieumformern, den Transformator und den Gyrator,
einführen und die Bondgraphen-Methodik auf hydraulische Anwendungen erweitern.
24. November, 2004
Anfang Präsentation
Table of Contents
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24. November, 2004
Die vier Basisvariabeln der Bondgraphen-Methodik
Eigenschaften der Speicherelemente
Hydraulische Bondgraphen
Energieumwandlung
Elektromechanische Systeme
Das Dualitätsprinzip der Bondgraphen
Die Diamantenregel
Anfang Präsentation
Die vier Basisvariablen der
Bondgraphenmethodik
• Neben den beiden adjugierten Variablen e und f, gibt es
zwei weitere physikalische Grössen, die bei Bondgraphen
eine Rolle spielen:
Verallgemeinertes Moment:
p =
 e · dt
Verallgemeinerte Position:
q =
 f · dt
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Relationen zwischen den Basisvariablen
Widerstand: e = R( f )
p
q
Kapazität:

e
I C
R

f
 Es kann ausser
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q = C( e )
Induktivität: p = I( f )

Beliebig nichtlineare Funktionen
im 1. und 3. Quadranten
C und I keine weiteren Speicher geben.
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Nichtlineare Kapazität
Hier muss die Kapazitätsgleichung eingesetzt
werden.
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Lineare Speicher
Allgemeine Kapazitätsgleichung:
q = C( e )
Lineare Kapazitätsgleichung:
q = C·e
Lineare Kapazitätsgleichung
abgeleitet:
f = C · de
dt
„Normale“ Kapazitätsgleichung,
wie bisher angetroffen.
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Einsatz
Verallgemeinertes
Moment
Fluss
e
f
Verallgemeinerte
Verschiebung
p
q
Elektrische
Schaltungen
Spannung
u (V)
Strom
i (A)
Magn. Fluss
 (V·sec)
Ladung
q (A·sec)
Translationssysteme
Kraft
F (N)
Geschwindigkeit
v (m / sec)
Kraftmoment
M (N·sec)
Verschiebung
x (m)
Rotationssysteme
Drehmoment
T (N·m)
Winkelgeschw.
 (rad / sec)
Torsion
T (N·m·sec)
Winkel
 (rad)
Hydraulische
Systeme
Druck
p (N / m2)
Volumenfluss
q (m3 / sec)
Druckmoment
Γ (N·sec / m2)
Volumen
V (m3)
Chemische
Systeme
Chem. Potential
 (J / mol)
Molarer Fluss
 (mol/sec)
-
Anzahl Mole
n (mol)
Thermodynamiksysteme
Temperatur
T (K)
Entropiefluss
S’ (W / K)
-
Entropie
S (J / K )
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Hydraulische Bondgraphen I
• In der Hydraulik sind die beiden adjugierten Variablen der
Druck p und der Volumenfluss q. Dabei wird der Druck
als Einsatzvariable (Potential) betrachtet, während der
Volumenfluss die Rolle der Flussvariable übernimmt.
Phydr = p · q
[W] = [N/ m2] · [m3 / s]
= kg · m -1 · s-2] · [m3 · s-1]
= [kg · m2 · s-3]
• Der kapazitive Speicher beschreibt die Kompression der
Flüssigkeit als Funktion des Drucks, während der
induktive Speicher die Trägheit der bewegten Flüssigkeit
modelliert.
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Hydraulische Bondgraphen II
Kompression:
qein
p
dp
dt = c · ( qein – qaus )
qaus
Laminare Strömung:
q
p2
p1
q = k · Dp
= k · ( p1 – p2 )
Turbulente Strömung:
q
p1
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p2
q = k · sign(Dp) · |Dp|
p
C : 1/c
Dq
Dp
q
Dp
q
R : 1/k
Hydro
G :k
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Energieumwandlung
• Neben den bisher betrachteten Elementen zur Energiespeicherung ( C und I ) sowie Dissipation (Umwandlung in
Wärme) ( R ) werden noch zwei weitere Elemente benötigt,
welche allgemeine Energiewandler beschreiben, den
Transformator und den Gyrator.
• Während Widerstände die irreversible Umwandlung freier
Energie in Wärme beschreiben, werden Transformatoren
und Gyratoren verwendet, um reversible Energieumwandlungsvorgänge zwischen gleichartigen oder verschiedenartigen Energieformen zu beschreiben.
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Transformatoren
e1
f1
TF
m
e2
f2
Übersetzung:
e1 = m · e2
(1)
Energieerhaltung:
e1 · f1 = e2 · f2
(2)

(m ·e2 ) · f1 = e2 · f2 (3)
 f2 = m · f1
 Der Transformator kann entweder durch Gleichungen
(1) und (2) oder durch Gleichungen (1) und (4)
beschrieben werden.
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(4)
Die Kausalisierung des Transformators
e1
f1
e1
f1
TF
m
e2
f2
e1 = m · e2
f2 = m · f1
TF
m
e2
f2
e2 = e1 / m
f 1 = f2 / m
 Da wir genau eine Gleichung für den Einsatz und eine
für den Fluss haben, müssen beim Transformator ein
Einsatz und ein Fluss berechnet werden.
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Beispiele von Transformatoren
m = 1/M
Elektrischer
Transformator
(bei Wechselstrom im eingeschwungenen Zustand)
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m = r1 /r2
Mechanisches
Getriebe
m=A
Hydraulischer
Stossdämpfer
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Gyratoren
e1
f1
GY
r
e2
f2
Übersetzung:
e1 = r · f2
(1)
Energieerhaltung:
e1 · f1 = e2 · f2
(2)

(r ·f2 ) · f1 = e2 · f2 (3)
 e2 = r · f1
 Der Gyrator kann entweder durch Gleichungen (1) und
(2) oder durch Gleichungen (1) und (4) beschrieben
werden.
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(4)
Die Kausalisierung des Gyrators
e1
f1
e1
f1
GY
r
e2
f2
e1 = r · f2
e2 = r · f1
GY
r
e2
f2
f2 = e1 / r
f1 = e2 / r
 Da
wir eine Gleichung links, die andere rechts vom
Gyrator rechnen müssen, können wir die Gleichungen
entweder nach den beiden Einsatzvariablen oder aber
nach den beiden Flussgrössen auflösen.
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Beispiel eines Gyrators
r=
Beim Gleichstrommotor ist das Drehmoment tm proportional
zum Ankerstrom ia , während sich die induzierte Spannung ui
proportional zur Winkelgeschwindigkeit m verhält.
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Beispiel eines elektromechanischen Systems
Kausalitätskonflikt (verursacht durch das Getriebe)
24. November, 2004
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Das Dualitätsprinzip
• Es ist möglich, jeden Bondgraphen zu „dualisieren“,
indem die Definitionen der Einsatz- und Flussgrössen
vertauscht werden.
• Beim Dualisieren werden Einsatzquellen zu Flussquellen,
Kapazitäten zu Induktivitäten, Widerstände zu Leitwerten,
und umgekehrt.
• Bei den Transformatoren und Gyratoren wird der Wert der
Übersetzung invertiert.
• Die beiden Verzweigungen vertauschen ihren Typus.
• Alle Kausalitätsstriche wandern ans jeweils andere Ende
jedes Bonds.
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1. Beispiel
Die beiden Bondgraphen liefern identische Simulationsresultate.
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2. Beispiel
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Partielle Dualisierung
• Es ist immer möglich, Bondgraphen partiell zu dualisieren.
Bei den Transformatoren und Gyratoren ist die partielle Dualisierung besonders einfach zu bewerkstelligen. Die beiden Wandler
tauschen dabei ihren Typ.
So mag es z.B. sinnvoll sein, nur die mechanische Seite zu
dualisieren, während die elektrische Seite in der Originalkausalität
belassen wird.
Es kann aber auch bei jedem einzelnen Bond partiell dualisiert
werden. Dabei wird der „verdrehte“ Bond zu einem Gyrator mit
der Übersetzung r=1.
Ein solcher Gyrator wird in der Literatur als symplektischer
Gyrator bezeichnet.
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Umformung von Bondgraphen
• Jedes physikalische System mit konzentrierten Parametern
kann durch einen Bondgraphen beschrieben werden.
• Die Bondgraphendarstellung ist aber nicht eindeutig, d.h.
mehrere verschiedene Bondgraphen können identische
Gleichungssysteme repräsentieren.
• Eine Mehrdeutigkeit haben wir bereits kennen gelernt: die
Dualisierung.
• Es gibt aber auch Mehrdeutigkeiten, die nicht auf
Dualisierung zurückzuführen sind.
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Die Diamantenregel
k12
B1
Diamant
m1
m2
B12
C:1/k12
R:B1
Fk12 v12
FB1 v1 v1
1
v1 Fm1
I:m1
0
R:B2
v2FB2 v2
Fk12 Fk12
v2
v1
FB12
0
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v2 Fm2
FB12
v12 FB12
R:B12
1
I:m2
v2
SE:F
F

F
effizienter
B2
R:B1
R:B2
FB1 v1
FB2 v2
v2
v2
v1
1 F +F 0 Fk12 +FB12 1 F SE:F
k12
B12
v12 Fk12 +FB12 v2 Fm2
v1 Fm1
I:m1
v12
I:m2
1
FB12
v
Fk12 12
C:1/k12
R:B12
Unterschiedliche Variablen
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Referenzen
• Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling,
Springer-Verlag, New York, Chapter 7.
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