11. Matrizen
Eine mn-Matrix ist ein Raster aus mn Koeffizienten, die in m
Zeilen und n Spalten angeordnet sind.
 a11 a12 ... a1n

 a21 a22 ... a2n
 ...
... ... ...

 am1 am 2 ... amn






= (aij)1  i  m, 1  j  n
Eine mn-Matrix ist ein Raster aus mn Koeffizienten, die in m
Zeilen und n Spalten angeordnet sind.
 a11 a12 ... a1n

 a21 a22 ... a2n
 ...
... ... ...

 am1 am 2 ... amn






= (aij)
11.1 Addition und Multiplikation von Matrizen
A = (aij) und B = (bij) seien zwei mn-Matrizen.
A+B=C
mit
cij = aij + bij
A-B=C
mit
cij = aij – bij
elementweise
Man kann nur solche Matrizen addieren und subtrahieren, die
gleiche Zeilenzahl m und gleiche Spaltenzahl n besitzen.
Matrixaddition ist assoziativ und kommutativ.
 1 2


3 4
5 6


+
2
1 2



 0 0  = 3
4
 -1 - 7



4

4
- 1
Das Produkt der Matrizen A und B
A B = C
Das Produkt der Matrizen A und B
A B = C
ist eine Matrix C = (cij) mit den Elementen
n
cij =
aikbkj
k 1
Das Produkt der Matrizen A und B
A B = C
ist eine Matrix C = (cij) mit den Elementen
n
cij =
aikbkj
k 1
c21 = a21b11 + a22b21 + ... + a2nbn1
(
11 12 13
21 22 23
A
)
(
11 12 13
21 22 23
31 32 33
B
)
n
cij =
aikbkj
k 1
A
B
=
C
Da der zweite Index des ersten Faktors ebenso wie der erste
Index des zweiten Faktors bis n läuft, kann man nur solche
Matrizen A und B miteinander multiplizieren, für die gilt:
A = mn-Matrix, B = np-Matrix
Das Ergebnis ist eine mp-Matrix.
1 2 3
4 5 6
1a + 2c + 3e
a
b
c
d
e
f
a
b
c
d
e
f
1a + 2c + 3e , 1b + 2d + 3f
a
b
c
d
e
f
1a + 2c + 3e , 1b + 2d + 3f
4a + 5c + 6e
a
b
c
d
e
f
( 4a + 5c + 6e , 4b + 5d + 6f )
1a + 2c + 3e , 1b + 2d + 3f
1 2 3
4 5 6
a
b
c
d
e
f
1a+2c+3e
4a+5c+6e
1b+2d+3f
4b+5d+6f
n
cij =
aikbkj
k 1
=
Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des
zweiten Faktors laufen bis n.
mn-Matrix  np-Matrix = mp-Matrix
n
cij =
aikbkj
k 1
=
Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des
zweiten Faktors laufen bis n.
mn-Matrix  np-Matrix = mp-Matrix
Die Operation  ist nicht kommutativ; im Allgemeinen ist
selbst für quadratische Matrizen, also solche mit m = n, die
sich überhaupt nur in beiden Fällen als Faktoren eignen
AB≠BA
 1 0   0 1  0 1

 
 = 

0 0 0 0 0 0
n
cij =
aikbkj
k 1
=
Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des
zweiten Faktors laufen bis n.
mn-Matrix  np-Matrix = mp-Matrix
Die Operation  ist nicht kommutativ; im Allgemeinen ist
selbst für quadratische Matrizen, also solche mit m = n, die
sich überhaupt nur in beiden Fällen als Faktoren eignen
AB≠BA
 1 0   0 1  0 1
 0 1  1 0   0 0 

 
 = 
 aber 
 
 = 

0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
 1

 0
2
3 

 1  2
1

 0
3

2

 1 =
2 
 1

 0
2
3 

 1  2
1

 0
3

2

 1 =
2 
 1  0  9 2  2  6   10 6 

 = 

 0  0  6 0  1 4    6  3 
 1

 0
2
3 

 1  2
1

 0
3

2

 1 =
2 
 1  0  9 2  2  6   10 6 

 = 

 0  0  6 0  1 4    6  3 
 b1 
(a1, a2)   = (a1b1 + a2b2) 
 b2 
 1

 0
2
3 

 1  2
1

 0
3

2

 1 =
2 
 1  0  9 2  2  6   10 6 

 = 

 0  0  6 0  1 4    6  3 
 b1 
(a1, a2)   = (a1b1 + a2b2) 
 b2 
11.1 Erklären Sie folgendes Schema:
1
4
1
2
5
1
3
6
2
2
3
2
14
35
9
2
5
1
15
39
9
Sei A eine mn-Matrix, B eine np-Matrix und C eine pq-Matrix, so gilt
A (B C) = (A B) C
Die Matrixmultiplikation ist also assoziativ, und sie ist auch distributiv
über die Matrixaddition +:
A (B + C) = (A B) + (A C)
Sei A eine mn-Matrix, B eine np-Matrix und C eine pq-Matrix, so gilt
A (B C) = (A B) C
Die Matrixmultiplikation ist also assoziativ, und sie ist auch distributiv
über die Matrixaddition +:
A (B + C) = (A B) + (A C)
Es gibt eine nn-Matrix I, die nn-Einheitsmatrix,
 1 0 ... 0 


0
1
...
0


I= 
= (ij)
... ... ... ... 


0
0
...
1


so dass für jede nn-Matrix A gilt
(11.4)
A I = A = I A.
Sei A eine mn-Matrix, B eine np-Matrix und C eine pq-Matrix, so gilt
A (B C) = (A B) C
Die Matrixmultiplikation ist also assoziativ, und sie ist auch distributiv
über die Matrixaddition +:
A (B + C) = (A B) + (A C)
Es gibt eine nn-Matrix I, die nn-Einheitsmatrix,
 1 0 ... 0 


0
1
...
0


I= 
= (ij)
... ... ... ... 


0
0
...
1


so dass für jede nn-Matrix A gilt
(11.4)
A I = A = I A.
Eine 11 Matrix ist eine Zahl.
Eine 1n Matrix heißt Zeilenvektor.
Eine n1 Matrix heißt Spaltenvektor oder einfach Vektor.
11.2 Die transponierte Matrix
Wie Beispiel (11.3) verdeutlicht, kann man das Skalarprodukt (8.8) zweier Vektoren auch als Matrixprodukt schreiben:
 a1   b1 
 b1 
   
 
 a2   b2  = a1b1 + a2b2 + a3b3 = (a1, a2, a3)  b2 
a  b 
b 
 3  3
 3
11.2 Die transponierte Matrix
Wie Beispiel (11.3) verdeutlicht, kann man das Skalarprodukt (8.8) zweier Vektoren auch als Matrixprodukt schreiben:
 a1   b1 
 b1 
   
 
 a2   b2  = a1b1 + a2b2 + a3b3 = (a1, a2, a3)  b2 
a  b 
b 
 3  3
 3
Dafür ist es allerdings erforderlich, den linken Vektor als Zeilenvektor
statt, wie bisher durchweg geschehen, als Spaltenvektoren aufzufassen.
Zukünftig wollen wir den Zeilenvektor als den transponierten Vektor AT
von A bezeichnen.
11.2 Die transponierte Matrix
Wie Beispiel (11.3) verdeutlicht, kann man das Skalarprodukt (8.8) zweier Vektoren auch als Matrixprodukt schreiben:
 a1   b1 
 b1 
   
 
 a2   b2  = a1b1 + a2b2 + a3b3 = (a1, a2, a3)  b2 
a  b 
b 
 3  3
 3
Dafür ist es allerdings erforderlich, den linken Vektor als Zeilenvektor
statt, wie bisher durchweg geschehen, als Spaltenvektoren aufzufassen.
Zukünftig wollen wir den Zeilenvektor als den transponierten Vektor AT
von A bezeichnen.
 a1   a11 
  

 a2   a21 
A =   
;

...
...

  
 a n   a n1 
AT = (a1, a2,... , an)  (a11, a12,..., a1n)
11.2 Die transponierte Matrix
Wie Beispiel (11.3) verdeutlicht, kann man das Skalarprodukt (8.8) zweier Vektoren auch als Matrixprodukt schreiben:
 a1   b1 
 b1 
   
 
 a2   b2  = a1b1 + a2b2 + a3b3 = (a1, a2, a3)  b2 
a  b 
b 
 3  3
 3
Dafür ist es allerdings erforderlich, den linken Vektor als Zeilenvektor
statt, wie bisher durchweg geschehen, als Spaltenvektoren aufzufassen.
Zukünftig wollen wir den Zeilenvektor als den transponierten Vektor AT
von A bezeichnen.
 a1   a11 
  

a  a 
A =  2    21  ;
...
...

  
 a n   a n1 
AT = (a1, a2,... , an)  (a11, a12,..., a1n)
Damit ergibt sich das Skalarprodukt nach dem Matrixformalismus
AT A = |A|2.
 a1 
 
 a2 
T
A A = (a1, a2,..., an)   = |A|2
...
 
 an 
 a1 
 
 a2 
T
A A = (a1, a2,..., an)   = |A|2
...
 
 an 
 a1 
 a1a1 a1a2
 

 a2 
 a2a1 a2a2
T
A A =   (a1, a2,..., an) = 
...
...
...
 

 an a1 an a2
 an 
ist eine nn-Matrix symmetrisch zur Hauptdiagonale.
... a1an 

... a2an 
...
... 

an an 
 a1 
 
 a2 
T
A A = (a1, a2,..., an)   = |A|2
...
 
 an 
 a1 
 a1a1 a1a2
 

 a2 
 a2a1 a2a2
T
A A =   (a1, a2,..., an) = 
...
...
...
 

 an a1 an a2
 an 
... a1an 

... a2an 
...
... 

an an 
ist eine nn-Matrix symmetrisch zur Hauptdiagonale.
Eine Matrix A = (aij) wird transponiert, also an der Hauptdiagonale gespiegelt, indem Zeilen- und Spaltenindizes vertauscht werden: AT = (aji).
a b c


Beispiel: A =  d e f  , AT =
g h i 


a d g 


b e h 
c f i 


 a1 
 
 a2 
T
A A = (a1, a2,..., an)   = |A|2
...
 
 an 
 a1 
 a1a1 a1a2
 

 a2 
 a2a1 a2a2
T
A A =   (a1, a2,..., an) = 
...
...
...
 

 an a1 an a2
 an 
... a1an 

... a2an 
...
... 

an an 
ist eine nn-Matrix symmetrisch zur Hauptdiagonale.
Eine Matrix A = (aij) wird transponiert, also an der Hauptdiagonale gespiegelt, indem Zeilen- und Spaltenindizes vertauscht werden: AT = (aji).
a b c


Beispiel: A =  d e f  , AT =
g h i 


a d g 


b e h 
c f i 


Sei die Matrix C als Produkt von A und B gegeben, C = A B, d. h.
cij = k aikbkj .
(11.2)
Sei die Matrix C als Produkt von A und B gegeben, C = A B, d. h.
cij = k aikbkj .
(11.2)
Um die transponierte Matrix CT direkt aus den transponierten Faktoren
auszurechnen, vertauschen wir in (11.2) alle Spalten- und Zeilenindizes
mit dem Ergebnis
cji = k akibjk .
Sei die Matrix C als Produkt von A und B gegeben, C = A B, d. h.
cij = k aikbkj .
(11.2)
Um die transponierte Matrix CT direkt aus den transponierten Faktoren
auszurechnen, vertauschen wir in (11.2) alle Spalten- und Zeilenindizes
mit dem Ergebnis
cji = k akibjk .
Vertauschen wir überdies noch die Reihenfolge
cji = k bjkaki ,
(11.5)
so besitzt (11.5) dieselbe Struktur wie die Definition des Produktes
(11.2).
Sei die Matrix C als Produkt von A und B gegeben, C = A B, d. h.
cij = k aikbkj .
(11.2)
Um die transponierte Matrix CT direkt aus den transponierten Faktoren
auszurechnen, vertauschen wir in (11.2) alle Spalten- und Zeilenindizes
mit dem Ergebnis
cji = k akibjk .
Vertauschen wir überdies noch die Reihenfolge
cji = k bjkaki ,
(11.5)
so besitzt (11.5) dieselbe Struktur wie die Definition des Produktes
(11.2). Lediglich die Indizes i und j sind vertauscht. Transposition eines
Produktes bedeutet also Transposition und Vertauschung der Faktoren
CT = (A B)T = BT A T .
 1 0   0 1  0 1
0 0  1 0 0 0

 
 = 
 transponiert: 
 
 = 

0 0 0 0 0 0
 1 0 0 0  1 0
 1 0   0 1  0 1
0 0  1 0 0 0

 
 = 
 transponiert: 
 
 = 

0 0 0 0 0 0
 1 0 0 0  1 0
 1
 
 0  (0 0 1) =
0
 
 0 0 1
0


 
 0 0 0  transponiert:  0  (1 0 0) =
0 0 0
 1


 
0 0 0


0 0 0
 1 0 0


 1 0   0 1  0 1
0 0  1 0 0 0

 
 = 
 transponiert: 
 
 = 

0 0 0 0 0 0
 1 0 0 0  1 0
 1
 
 0  (0 0 1) =
0
 
 0 0 1
0


 
 0 0 0  transponiert:  0  (1 0 0) =
0 0 0
 1


 
0 0 0


0 0 0
 1 0 0


Ein Gleichungssystem wird transponiert, indem die Faktoren in
Matrixprodukten vertauscht und einzeln transponiert werden
(A X)T = XT AT = BT.
 1 0   0 1  0 1
0 0  1 0 0 0

 
 = 
 transponiert: 
 
 = 

0 0 0 0 0 0
 1 0 0 0  1 0
 1
 
 0  (0 0 1) =
0
 
 0 0 1
0


 
 0 0 0  transponiert:  0  (1 0 0) =
0 0 0
 1


 
0 0 0


0 0 0
 1 0 0


Ein Gleichungssystem wird transponiert, indem die Faktoren in
Matrixprodukten vertauscht und einzeln transponiert werden
(A X)T = XT AT = BT.
Transponiert man eine transponierte Matrix AT, so erhält man wegen
doppelter Indexvertauschung wieder die Ausgangsmatrix
(AT)T = A.
 1 2 3
11.2 A =
4

7
5
8

6 ,B=

9
A A
CT + BT
A (B + CT)
1

3
5

2

4 , C =
6 
-1

- 2
0
-3
- 1

0
 1 2 3
11.2 A =
4

7
5
8

6 , B=

9
A A
T
T
C +B
A (B + CT)
C A
B C
C B
T
T
B C
1

3
5

2

4 , C =
6 
-1

- 2
0
-3
- 1

0
 1 2 3
11.2 A =
4

7
5
8

6 , B=

9
A A
CT + BT
A (B + CT)
C A
B C
C B
BT CT
1

3
5

2

4 , C =
6 
-1

- 2
11.3 Zeigen Sie (A B C)T = CT BT AT.
0
-3
- 1

0
11.3 Elementarmatrizen
Zur Erinnerung: Die Einheitsmatrix I3 lässt jede 33-Matrix A bei Multiplikation unverändert. Sie bewirkt also nichts und es gilt I3 A = A.
 1 0 0  a b c   a b c 

 
 

 0 1 0   d e f  =  d e f 
 0 0 1  g h i   g h i 

 
 

11.3 Elementarmatrizen
Zur Erinnerung: Die Einheitsmatrix I3 lässt jede 33-Matrix A bei Multiplikation unverändert. Sie bewirkt also nichts und es gilt I3 A = A.
 1 0 0  a b c   a b c 

 
 

 0 1 0   d e f  =  d e f 
 0 0 1  g h i   g h i 

 
 

Die Elementarmatrix E(12) entsteht durch Vertauschung der ersten und
zweiten Zeile von I3; E(12) vertauscht die erste und zweite Zeile von A:
0 1 0  a b c  d e f 

 
 

 1 0 0   d e f  =  a b c 
 0 0 1  g h i   g h i 

 
 

E(33) entsteht durch Multiplikation der dritten Zeile von I3 mit der reellen Zahl ; E(33) multipliziert die dritte Zeile von A mit :
b c
1 0 0 a b c  a

 
 

e f 
 0 1 0   d e f  =  d
 0 0    g h i   g h i 


 
 
E(33) entsteht durch Multiplikation der dritten Zeile von I3 mit der reellen Zahl ; E(33) multipliziert die dritte Zeile von A mit :
b c
1 0 0 a b c  a

 
 

e f 
 0 1 0   d e f  =  d
 0 0    g h i   g h i 


 
 
E(22+3) entsteht durch Addition der mit  multiplizierten dritten Zeile
von I3 zur zweiten Zeile von I3; E(22+3) addiert die mit multiplizierte
dritte Zeile von A zur zweiten Zeile von A:
b
c 
1 0 0 a b c  a

 
 

 0 1    d e f  =  d  g e  h f  i 
0 0 1 g h i   g
h
i 

 
 
11.4 Geben Sie die Matrix an, die in A =
- 6
4

1
2
-3
-4
0

6

9
zuerst die erste mit der dritten Zeile vertauscht,
anschließend die mit 4 multiplizierte erste Zeile von der
zweiten Zeile subtrahiert und endlich die mit 6 multiplizierte
erste Zeile zur dritten addiert. [Hinweis: Die gesuchte
Matrix ist das Produkt von drei Elementarmatrizen.
Anwendungsreihenfolge beachten: Die zuerst anzuwendende Elementarmatrix steht direkt links von A.]
11.4 Geben Sie die Matrix an, die in A =
- 6
4

1
2
-3
-4
0

6

9
zuerst die erste mit der dritten Zeile vertauscht,
anschließend die mit 4 multiplizierte erste Zeile von der
zweiten Zeile subtrahiert und endlich die mit 6 multiplizierte
erste Zeile zur dritten addiert. [Hinweis: Die gesuchte
Matrix ist das Produkt von drei Elementarmatrizen.
Anwendungsreihenfolge beachten: Die zuerst anzuwendende Elementarmatrix steht direkt links von A.]
 1 0 0   1 0 0   0 0 1  0 0 1 

 
 
 

 0 1 0   - 4 1 0   0 1 0  =  0 1 - 4 
 6 0 1  0 0 1  1 0 0   1 0 6 

 
 
 

11.4 Inversion von Matrizen
Mit Hilfe von Elementaroperationen kann man bestimmte lineare Gleichungssysteme auf die reduzierte Normalform (10.9) bringen. Durch
Multiplikation der entsprechenden Koeffizientenmatrix A mit Elementarmatrizen Ei kann man A auf die analoge Form (11.4) bringen. Da dies
aber nur für quadratische Matrizen gelingen kann, wollen wir in diesem
Abschnitt nur noch quadratische Matrizen betrachten.
11.4 Inversion von Matrizen
Mit Hilfe von Elementaroperationen kann man bestimmte lineare Gleichungssysteme auf die reduzierte Normalform (10.9) bringen. Durch
Multiplikation der entsprechenden Koeffizientenmatrix A mit Elementarmatrizen Ei kann man A auf die analoge Form (11.4) bringen. Da dies
aber nur für quadratische Matrizen gelingen kann, wollen wir in diesem
Abschnitt nur noch quadratische Matrizen betrachten.
1

0
I= 
...

0
0
1
...
0
...
...
...
...
0

0
= (ij)
... 

1
(11.4)
Wenn A B = I gilt, so nennt man B die inverse Matrix von A und
bezeichnet B mit A-1.
Wenn A B = I gilt, so nennt man B die inverse Matrix von A und
bezeichnet B mit A-1. Da die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist,
muss man im Allgemeinen zwischen dem Linksinversen und dem
Rechtsinversen unterscheiden. Für eine quadratische Matrix sind die
beiden Inversen jedoch identisch. Sei L das Linksinverse zu A, d.h.
L A = I
und R das Rechtsinverse
A R = I.
Wenn A B = I gilt, so nennt man B die inverse Matrix von A und
bezeichnet B mit A-1. Da die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist,
muss man im Allgemeinen zwischen dem Linksinversen und dem
Rechtsinversen unterscheiden. Für eine quadratische Matrix sind die
beiden Inversen jedoch identisch. Sei L das Linksinverse zu A, d.h.
L A = I
und R das Rechtsinverse
A R = I.
Eine Matrix heißt umkehrbar, wenn ein Linksinverses L und ein Rechtsinverses R existieren. In diesem Falle gilt L = R, denn
R = I R = (L A) R = L (A R) = L I = L.
Berechnung der Inversen A-1 von A.
(En (...(E3  (E2  (E1  A))))) = I
(En  ...  E3  E2  E1)  A = I
(En  ...  E3  E2  E1  I)  A = I
=
A-1
A
Werden also die Elementarmatrizen in derselben Reihenfolge auf die Einheitsmatrix angewandt, so entsteht daraus
die zu A inverse Matrix
A-1 = En  ...  E3  E2  E1  I
1 2 0 


A =  4 3 - 1
 6 5 - 1


 1 0 0


I = 0 1 0
 0 0 1


1 2 0 


 0 - 5 - 1
 0 - 7 - 1


 1 0 0


 - 4 1 0
 - 6 0 1


0 
1 2


 0 1 1/5 
0 - 7 - 1 


0
0
 1


 4/5 - 1/5 0 
 -6
0
1 

1 2 0 


 0 1 1/5 
 0 0 2/5 


0
0
 1


 4/5 - 1/5 0 
 - 2/5 - 7/5 1 


1 2 0 


A =  4 3 - 1
 6 5 - 1


 1 0 0


I = 0 1 0
 0 0 1


1 2 0 


 0 - 5 - 1
 0 - 7 - 1


 1 0 0


 - 4 1 0
 - 6 0 1


0 
1 2


 0 1 1/5 
0 - 7 - 1 


0
0
 1


 4/5 - 1/5 0 
 -6
0
1 

1 2 0 


 0 1 1/5 
 0 0 2/5 


0
0
 1


 4/5 - 1/5 0 
 - 2/5 - 7/5 1 


1 2 0 


A =  4 3 - 1
 6 5 - 1


 1 0 0


I = 0 1 0
 0 0 1


1 2 0 


 0 - 5 - 1
 0 - 7 - 1


 1 0 0


 - 4 1 0
 - 6 0 1


0 
1 2


 0 1 1/5 
0 - 7 - 1 


0
0
 1


 4/5 - 1/5 0 
 -6
0
1 

1 2 0 


 0 1 1/5 
 0 0 2/5 


0
0
 1


 4/5 - 1/5 0 
 - 2/5 - 7/5 1 


1 2 0 


A =  4 3 - 1
 6 5 - 1


 1 0 0


I = 0 1 0
 0 0 1


1 2 0 


 0 - 5 - 1
 0 - 7 - 1


 1 0 0


 - 4 1 0
 - 6 0 1


0 
1 2


 0 1 1/5 
0 - 7 - 1 


0
0
 1


 4/5 - 1/5 0 
 -6
0
1 

1 2 0 


 0 1 1/5 
 0 0 2/5 


0
0
 1


 4/5 - 1/5 0 
 - 2/5 - 7/5 1 


1 2 0 


 0 1 1/5 
 0 0 2/5 


0
0
 1


 4/5 - 1/5 0 
 - 2/5 - 7/5 1 


1 2 0 


 0 1 1/5 
0 0 1 


0
0 
 1


 4/5 - 1/5 0 
 - 1 - 7/2 5/2 


 1 2 0


0 1 0
 0 0 1


0
0 
1


 1 1/2 - 1/2 
 - 1 - 7/2 5/2 


 1 0 0


I = 0 1 0
 0 0 1


1 
-1 -1


A-1 =  1 1/2 - 1/2 
 - 1 - 7/2 5/2 


Ergebnis:
Probe: A A-1 = I = A-1 A.
1 2 0 


 0 1 1/5 
 0 0 2/5 


0
0
 1


 4/5 - 1/5 0 
 - 2/5 - 7/5 1 


1 2 0 


 0 1 1/5 
0 0 1 


0
0 
 1


 4/5 - 1/5 0 
 - 1 - 7/2 5/2 


 1 2 0


0 1 0
 0 0 1


0
0 
1


 1 1/2 - 1/2 
 - 1 - 7/2 5/2 


 1 0 0


I = 0 1 0
 0 0 1


1 
-1 -1


A-1 =  1 1/2 - 1/2 
 - 1 - 7/2 5/2 


Ergebnis:
Probe: A A-1 = I = A-1 A.
1 2 0 


 0 1 1/5 
 0 0 2/5 


0
0
 1


 4/5 - 1/5 0 
 - 2/5 - 7/5 1 


1 2 0 


 0 1 1/5 
0 0 1 


0
0 
 1


 4/5 - 1/5 0 
 - 1 - 7/2 5/2 


 1 2 0


0 1 0
 0 0 1


0
0 
1


 1 1/2 - 1/2 
 - 1 - 7/2 5/2 


 1 0 0


I = 0 1 0
 0 0 1


1 
-1 -1


A-1 =  1 1/2 - 1/2 
 - 1 - 7/2 5/2 


Ergebnis:
Probe: A A-1 = I = A-1 A.
1 2 0 


 0 1 1/5 
 0 0 2/5 


0
0
 1


 4/5 - 1/5 0 
 - 2/5 - 7/5 1 


1 2 0 


 0 1 1/5 
0 0 1 


0
0 
 1


 4/5 - 1/5 0 
 - 1 - 7/2 5/2 


 1 2 0


0
1
0


 0 0 1


0
0 
1


1
1/2
1/2


 - 1 - 7/2 5/2 


 1 0 0


I = 0 1 0
 0 0 1


1 
-1 -1


A-1 =  1 1/2 - 1/2 
 - 1 - 7/2 5/2 


Ergebnis:
Probe: A A-1 = I = A-1 A
1 2 0 


4
3
1


 6 5 - 1


11.5 Das Matrixinversionsverfahren
Jedes System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten lässt sich
als Matrix-Gleichung schreiben
A X = B ,
(11.6)
wobei A eine mn-Matrix (11.1), X die n1-Matrix (der Vektor) der Unbekannten und B die m1-Matrix (der Vektor) der Konstanten ist. Solch
eine einfache Gleichung löst man durch
A-1 A X = X = A-1 B .
(11.7)
Deshalb lässt sich die Lösungsprozedur für lineare Gleichungssysteme
vereinfachen, wenn es gelingt, die inverse Matrix A-1 zu A zu finden.
Dies ist nicht in jedem Falle möglich. Doch existiert eine eindeutige
Lösung für alle linearen Gleichungssysteme mit r = m = n, d. h. für alle
eindeutig lösbaren linearen Gleichungssysteme. Wir wollen uns daher im
Folgenden auf die entsprechenden Matrizen A beschränken. Die dazu
notwendige Rechentechnik wurde bereits in Abschnitt 11.4 dargelegt.
Dieses Verfahren bietet den Vorteil, dass das Gleichungssystem bei
einem Wechsel des Konstantenvektors B weiterhin mit derselben inversen Matrix gelöst werden kann.
11.5 Das Matrixinversionsverfahren
Jedes System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten lässt sich
als Matrix-Gleichung schreiben
A X = B ,
(11.6)
wobei A eine mn-Matrix (11.1), X die n1-Matrix (der Vektor) der Unbekannten und B die m1-Matrix (der Vektor) der Konstanten ist. Solch
eine einfache Gleichung löst man durch
A-1 A X = X = A-1 B .
(11.7)
Deshalb lässt sich die Lösungsprozedur für lineare Gleichungssysteme
vereinfachen, wenn es gelingt, die inverse Matrix A-1 zu A zu finden.
Dies ist nicht in jedem Falle möglich. Doch existiert eine eindeutige
Lösung für alle linearen Gleichungssysteme mit r = m = n, d. h. für alle
eindeutig lösbaren linearen Gleichungssysteme. Wir wollen uns daher im
Folgenden auf die entsprechenden Matrizen A beschränken. Die dazu
notwendige Rechentechnik wurde bereits in Abschnitt 11.4 dargelegt.
Dieses Verfahren bietet den Vorteil, dass das Gleichungssystem bei
einem Wechsel des Konstantenvektors B weiterhin mit derselben inversen Matrix gelöst werden kann.
11.5 Das Matrixinversionsverfahren
Jedes System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten lässt sich
als Matrix-Gleichung schreiben
A X = B ,
(11.6)
wobei A eine mn-Matrix (11.1), X die n1-Matrix (der Vektor) der Unbekannten und B die m1-Matrix (der Vektor) der Konstanten ist. Solch
eine einfache Gleichung löst man durch
A-1 A X = X = A-1 B .
(11.7)
Deshalb lässt sich die Lösungsprozedur für lineare Gleichungssysteme
vereinfachen, wenn es gelingt, die inverse Matrix A-1 zu A zu finden.
Dies ist nicht in jedem Falle möglich. Doch existiert eine eindeutige
Lösung für alle linearen Gleichungssysteme mit r = m = n, d. h. für alle
eindeutig lösbaren linearen Gleichungssysteme. Wir wollen uns daher im
Folgenden auf die entsprechenden Matrizen A beschränken. Die dazu
notwendige Rechentechnik wurde bereits in Abschnitt 11.4 dargelegt.
Dieses Verfahren bietet den Vorteil, dass das Gleichungssystem bei
einem Wechsel des Konstantenvektors B weiterhin mit derselben inversen Matrix gelöst werden kann.
11.5 Das Matrixinversionsverfahren
Jedes System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten lässt sich
als Matrix-Gleichung schreiben
A X = B ,
(11.6)
wobei A eine mn-Matrix (11.1), X die n1-Matrix (der Vektor) der Unbekannten und B die m1-Matrix (der Vektor) der Konstanten ist. Solch
eine einfache Gleichung löst man durch
A-1 A X = X = A-1 B .
(11.7)
Deshalb lässt sich die Lösungsprozedur für lineare Gleichungssysteme
vereinfachen, wenn es gelingt, die inverse Matrix A-1 zu A zu finden.
Dies ist nicht in jedem Falle möglich. Doch existiert eine eindeutige
Lösung für alle linearen Gleichungssysteme mit r = m = n, d. h. für alle
eindeutig lösbaren linearen Gleichungssysteme. Wir wollen uns daher im
Folgenden auf die entsprechenden Matrizen A beschränken. Die dazu
notwendige Rechentechnik wurde bereits in Abschnitt 11.4 dargelegt.
Dieses Verfahren bietet den Vorteil, dass das Gleichungssystem bei
einem Wechsel des Konstantenvektors B weiterhin mit derselben inversen Matrix gelöst werden kann.
11.5 Das Matrixinversionsverfahren
Jedes System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten lässt sich
als Matrix-Gleichung schreiben
A X = B ,
(11.6)
wobei A eine mn-Matrix (11.1), X die n1-Matrix (der Vektor) der Unbekannten und B die m1-Matrix (der Vektor) der Konstanten ist. Solch
eine einfache Gleichung löst man durch
A-1 A X = X = A-1 B .
(11.7)
Deshalb lässt sich die Lösungsprozedur für lineare Gleichungssysteme
vereinfachen, wenn es gelingt, die inverse Matrix A-1 zu A zu finden.
Dies ist nicht in jedem Falle möglich. Doch existiert eine eindeutige
Lösung für alle linearen Gleichungssysteme mit r = m = n, d. h. für alle
eindeutig lösbaren linearen Gleichungssysteme. Wir wollen uns daher im
Folgenden auf die entsprechenden Matrizen A beschränken. Die dazu
notwendige Rechentechnik wurde bereits in Abschnitt 11.4 dargelegt.
Dieses Verfahren bietet den Vorteil, dass das Gleichungssystem bei
einem Wechsel des Konstantenvektors B weiterhin mit derselben inversen Matrix gelöst werden kann.
Beispiel:
x1 + 2x2
=1
4x1 + 3x2 - x3 = 2
6x1 + 5x2 - x3 = 3
Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich
1 
 x1   - 1 - 1
 1  0 
  

  

 x 2  =  1 1/2 - 1/2    2  =  1/2 
 3   - 1/2 
 x   - 1 - 7/2 5/2 

  

 3 
d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.
 1
 
Bei einem Wechsel von B =  2  zu B' =
3
 
 1
 
 0  kann die neue Lösung
0
 
mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1
 - 1
 
schnell gefunden werden: A-1 B' =  1  . Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren
 - 1
 
hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.
Beispiel:
1

4
6

x1 + 2x2
=1
4x1 + 3x2 - x3 = 2
6x1 + 5x2 - x3 = 3
2
3
5
0
 x1 
 1



 
- 1  x 2  =  2 
3
x 
- 1
 
 3
Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich
1 
 x1   - 1 - 1
 1  0 
  

  

 x 2  =  1 1/2 - 1/2    2  =  1/2 
 3   - 1/2 
 x   - 1 - 7/2 5/2 

  

 3 
d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.
 1
 
Bei einem Wechsel von B =  2  zu B' =
3
 
 1
 
 0  kann die neue Lösung
0
 
mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1
 - 1
 
schnell gefunden werden: A-1 B' =  1  . Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren
 - 1
 
hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.
Beispiel:
1

4
6

x1 + 2x2
=1
4x1 + 3x2 - x3 = 2
6x1 + 5x2 - x3 = 3
2
3
5
0
 x1 
 1



 
- 1  x 2  =  2 
3
x 
- 1
 
 3
Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich
1 
 x1   - 1 - 1
 1  0 
  

  

 x 2  =  1 1/2 - 1/2    2  =  1/2 
 3   - 1/2 
 x   - 1 - 7/2 5/2 

  

 3 
d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.
 1
 
Bei einem Wechsel von B =  2  zu B' =
3
 
 1
 
 0  kann die neue Lösung
0
 
mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1
 - 1
 
schnell gefunden werden: A-1 B' =  1  . Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren
 - 1
 
hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.
Beispiel:
1

4
6

x1 + 2x2
=1
4x1 + 3x2 - x3 = 2
6x1 + 5x2 - x3 = 3
2
3
5
0
 x1 
 1



 
- 1  x 2  =  2 
3
x 
- 1
 
 3
Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich
1 
 x1   - 1 - 1
 1  0 
  

  

 x 2  =  1 1/2 - 1/2    2  =  1/2 
 3   - 1/2 
 x   - 1 - 7/2 5/2 

  

 3 
d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.
 1
 
Bei einem Wechsel von B =  2  zu B' =
3
 
 1
 
 0  kann die neue Lösung
0
 
mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1
 - 1
 
schnell gefunden werden: A-1 B' =  1  . Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren
 - 1
 
hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.
Beispiel:
1

4
6

x1 + 2x2
=1
4x1 + 3x2 - x3 = 2
6x1 + 5x2 - x3 = 3
2
3
5
0
 x1 
 1



 
- 1  x 2  =  2 
3
x 
- 1
 
 3
Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich
1 
 x1   - 1 - 1
 1  0 
  

  

 x 2  =  1 1/2 - 1/2    2  =  1/2 
 3   - 1/2 
 x   - 1 - 7/2 5/2 

  

 3 
d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.
 1
 
Bei einem Wechsel von B =  2  zu B' =
3
 
 1
 
 0  kann die neue Lösung
0
 
mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1
 - 1
 
schnell gefunden werden: A-1 B' =  1  . Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren
 - 1
 
hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.
Beispiel:
1

4
6

x1 + 2x2
=1
4x1 + 3x2 - x3 = 2
6x1 + 5x2 - x3 = 3
2
3
5
0
 x1 
 1



 
- 1  x 2  =  2 
3
x 
- 1
 
 3
Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich
1 
 x1   - 1 - 1
 1  0 
  

  

 x 2  =  1 1/2 - 1/2    2  =  1/2 
 3   - 1/2 
 x   - 1 - 7/2 5/2 

  

 3 
d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.
 1
 
Bei einem Wechsel von B =  2  zu B' =
3
 
 1
 
 0  kann die neue Lösung
0
 
mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1
 - 1
 
schnell gefunden werden: A-1 B' =  1  . Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren
 - 1
 
hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.
Bemerkungen:
Ein Gleichungssystem heißt homogen, wenn B = 0. Die Lösung X = 0
des homogenen Systems heißt triviale Lösung.
Eine Matrix mit maximalem Rang r = n heißt regulär, eine Matrix mit
Rang r < n heißt irregulär (oder singulär).
Eine Matrix A heißt symmetrisch, wenn AT = A.
Bemerkungen:
Ein Gleichungssystem heißt homogen, wenn B = 0. Die Lösung X = 0
des homogenen Systems heißt triviale Lösung.
Eine Matrix mit maximalem Rang r = n heißt regulär, eine Matrix mit
Rang r < n heißt irregulär (oder singulär).
Eine Matrix A heißt symmetrisch, wenn AT = A.
Bemerkungen:
Ein Gleichungssystem heißt homogen, wenn B = 0. Die Lösung X = 0
des homogenen Systems heißt triviale Lösung.
Eine Matrix mit maximalem Rang r = n heißt regulär, eine Matrix mit
Rang r < n heißt irregulär (oder singulär).
Eine Matrix A heißt symmetrisch, wenn AT = A.
11.5 Invertieren Sie die Matrix
11.6 Versuchen Sie, die Matrix
3
2

3
6

1
.

4
1
zu invertieren.

2
11.7 Stellen Sie die Ergebnisse von Übung 5.1 durch Matrizen dar.
III IX XI X //
\\
11.5 Invertieren Sie die Matrix
11.6 Versuchen Sie, die Matrix
3
2

3
6

1
.

4
1
zu invertieren.

2
11.7 Stellen Sie die Ergebnisse von Übung 5.1 durch Matrizen dar.
III IX XI X //
\\
11.5 Invertieren Sie die Matrix
11.6 Versuchen Sie, die Matrix
3
2

3
6

1
.

4
1
zu invertieren.

2
11.7 Stellen Sie die Ergebnisse von Übung 5.1 durch Matrizen dar.
III IX XI X //
\\

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