Theoretische Grundlagen und ihre Anwendung zur Analyse elektrotechnischer Prozesse
Für die meisten Anwendungen ist es hilfreich die Ruheinduktion
in Selbst- und Gegeninduktion zu unterteilen.
Richtungen immer nach der Rechten-Hand-Regel
Φ22
Φ11
Φ12
ΦΦ
21
w2
w1
u1  u ind 11  u ind 12
i2
und
u 2  u ind 21  u ind 22
dΦ11 (i1 )
dΦ12 (i 2 )
u1  w1
 w1
dt
dt
dΦ 21 (i1 )
dΦ 22 (i 2 )
u2  w2
 w2
dt
dt
Dr. Erich Boeck
mit Gegeninduktion
dΦ11
u ind 11  w1
dt
dΦ 21
u ind 21  w 2
dt
u2
uu1
i1i L
nur Selbstinduktion
dΦ ( i )
uL  w
dt
und
dΦ12
dt
dΦ 22
 w2
dt
u ind 12  w1
u ind 22
und
und
1
Theoretische Grundlagen und ihre Anwendung zur Analyse elektrotechnischer Prozesse
5.2 Koppelfluss, Strom und Spannung an der Spule
Der Koppelfluss ist der Fluss einschließlich seiner Verkopplung mit den
entsprechenden Windungen. Bei 100 % Kopplung ist der Fluss mit allen w
Windungen vollständig verkoppelt Фkop = w Ф.
Фkop
Definition der Induktivität
Φ k op
L
I
I
Definitionsgleichung: Фkop = L·I
Wie die Kapazität wird die Induktivität aus einem statischen Zusammenhang definiert.
Bei nichtlinearem Zusammenhang muss entweder die Funktion Фkop = Фkop (I)
oder L = L(I) bzw. L = L(Фkop) gefunden werden.
Das führt bei ferromagnetischen Materialien zur Hysteresekurve.
Bemessungsgleichung der Induktivität
w2
L
Rm
Dr. Erich Boeck
Φ kop
wΘ w 2 I
 wΦ 


Rm Rm
 w 2I 


 l/μA 
2
Theoretische Grundlagen und ihre Anwendung zur Analyse elektrotechnischer Prozesse
Ändert sich der Strom an den Klemmen eines Bauelementes „Spule“ (Zunahme
oder Abnahme), muss sich die Spannung entsprechend der Selbstinduktion
einstellen.
Wird für die Selbstinduktion u(t) = w dФ/dt = dФkop/dt der Koppelfluss
durch die Beziehung Фkop = L I ersetzt folgt:
Strom und Spannung an der Induktivität
d(  kop ) d(L i L )
di
für L = const
u L (t) 

L L
dt
dt
dt
t
1
Umkehrung i L (t)   u L (t)dt  i L (t  0)
L0
iL(t)
uL(t)
L
CWindungen
Ersatzschaltung
für einen Spule
RWicklung
RFe
Verbraucherpfeilsystem
d.h.: bei Stromanstieg positive; bei Stromabnahme negative Spannung.
Dr. Erich Boeck
3
Theoretische Grundlagen und ihre Anwendung zur Analyse elektrotechnischer Prozesse
Aufgabe 5.2.1
Gegeben ist der Stromverlauf an einer Induktivität in folgender Abbildung
I(t)
T1
2T1
t
Frage: Wie sieht der Verlauf der Spannung aus? (In Abbildung einzeichnen!)
Aufgabe 5.2.2
Zur Herstellung einer Induktivität wurden auf den gewählten Spulenkern 10
Windungen gewickelt und danach eine Induktivität von 5 μH gemessen.
Frage: Wann reicht so ein Verfahren, um die notwendige Windungszahl zu ermitteln
und wie viel Windungen werden in diesem Fall für 1 mH benötigt?
Dr. Erich Boeck
4
Theoretische Grundlagen und ihre Anwendung zur Analyse elektrotechnischer Prozesse
Anwendung der Kirchhoff’schen Sätze
Achtung: Das Folgende gilt bei rein elektrischer Zusammenschaltung, es
darf keine zusätzliche magnetische Verkopplung vorliegen!
Uges
U1
U2
U3
u ges  u1  u 2  u 3 ...  u n
L ges  L1  L 2  L 3 ...  L n
I
: di/dt
Un
u n u ges
di u1 u 2 u 3



... 

dt L1 L 2 L3
L n Lges
Reihenschaltung von Induktivitäten und Spannungsteilerregel
u1
L
L ges   L
 1

u ges L ges
Dr. Erich Boeck
5
Theoretische Grundlagen und ihre Anwendung zur Analyse elektrotechnischer Prozesse
u
di ges / dt  di 1 / dt  di 2 / dt  di 3 /dt ...  di n /dt
di1/dt
di2/dt
diges/dt
:u
1 / L ges  1 / L1  1 / L 2  1 / L 3 ...  1 / L n
din/dt
di ges
di1
di 2
di n
u  L1
 L2
...  L n
 Lges
dt
dt
dt
dt
Parallelschaltung von Induktivitäten und Stromteilung
1/ Lges  1/ L
i1

i ges

L ges
L1
Wesentlich komplexer werden die Verhältnisse, wenn zusätzlich
eine magnetische Verkopplung vorliegt. Z.B. Kopplung von 100 %
w1
w1
w2
2
 w1
(w1  w 2 )
w 2 

Lges 





Rm
Rm 
 Rm
2
Dr. Erich Boeck
w2

L1  L 2

2
6
Theoretische Grundlagen und ihre Anwendung zur Analyse elektrotechnischer Prozesse
5.3 Energie und Kräfte im magnetischen Feld
IL
t
I 2L
W   u L (t) i L (t) dt wird W   i L (t) L di L  L
2
0
0
2
L I 2L Φ kop I L Φ kop
W


2
2
2L
und mit
Φkop = L I wird
Diese Energie ist in der Induktivität
gespeichert, wenn sie Φkop und IL erreicht hat.
Im magnetischen Feld zwei Erscheinungsformen für Kraftwirkungen
auf bewegte Ladungen und auf Grenzflächen (z.B. Eisen − Luft).
Kräfte auf bewegte Ladungen
F
+
I1
v
I2
B1 nach hinten
F = Q (v x B)
Dr. Erich Boeck
für I2 = S2 A = ρ v2 A = (Q/lLeiter)v2
F  I2 l Leiter  B1
und damit Q v2 = I2 lLeiter
F
μI1I 2
lLeiter
2 r
mit |B1| = μ I1/2πr
7
Theoretische Grundlagen und ihre Anwendung zur Analyse elektrotechnischer Prozesse
Für Magnetfelder besteht ebenfalls das Superpositionsprinzip.
Kräfte auf Grenzflächen
N
S
Fmech
B
A
Energiebilanz für Φ konstant
dx
verringerte magnetische Energie
Φ 2kop dx  1
1


ΔWmagn =
2

2 w μ 0 A  μ rLuft μ rFe
= mechanisch in der Feder gespeicherte Energie

 = Fmech dx

B2
BH
μ0 H2
F
A
A
A
2 μ0
2
2
Dr. Erich Boeck
mit B = Φ/A, Φkop/w = Φ
und μrFe >> μrLuft =1
Die Richtung der Kraft ist immer so,
dass sich die Flussdichtelinien im für den
Fluss schlechteren Medium verkürzen.
8
Theoretische Grundlagen und ihre Anwendung zur Analyse elektrotechnischer Prozesse
Aufgabe 5.1.4
Eine angetriebene Kupferscheibe rotiert in einem konstanten Magnetfeld
(Unipolarmaschine). Schleifkontakte bei rinnen und raußen mit raußen – rinnen = lLeiter
z
F
+
I
v(r)
uind
y
B
x
lLeiter
leitende Scheibe
Frage 1: Welcher Standpunkt ist für diese konkrete
Anordnung möglich?
Frage 2: Wie ergibt sich die induzierte Spannung
uind?
Hinweis: Da der Betrag |v(r)| von r abhängt, für
jedes „dr“ berechnen und integrieren.
Aufgabe 5.1.5
Im konstanten Magnetfeld rotiert dünne Spule (w Windungen). Induzierte Spannung über
Schleifringe (grauen Pfeile  Rechte-Hand-Regel). Die w Leiterschleifen zeigen nach
hinten (z – Richtung, Länge lz) und sind im Querschnitt zu sehen (Durchmesser 2 rs).
x
z
B
v
I
uind
Dr. Erich Boeck
Frage 1: Welche Standpunkte sind für diese
Anordnung möglich?
yFrage 2: Wie ergibt sich die induzierte Spannung
uind jeweils für diese Standpunkte?
Hinweis: Nur Komponente von v senkrecht zu B
 Beitrag; Kräfte senkrecht zum Leiter
 kein uind, Nur Komponente der
Spulenfläche senkrecht zum Fluss
9
Theoretische Grundlagen und ihre Anwendung zur Analyse elektrotechnischer Prozesse
Aufgabe 5.1.6
In einem Eisenkreis erzeugt i1 einen zeitveränderlichen magnetischen Fluss.
Φ(t)
i1
w1
w2
i1
w1
lFe
A
μr
w2
=
=
=
=
=
=
(1 A) sin(2π 50 Hz  t)
10
20 cm
1 cm2
5000
100
Frage 1: Welcher Standpunkt ist für diese Anordnung möglich?
Frage 2: Wie ergibt sich die induzierte Spannung uind an w2 (Richtung und Größe)?
Hinweis: Alle Flüsse außerhalb des Eisenkerns werden vernachlässigt.
Zusatzaufgabe 5.1.7
Warum sind Ruhe- und Bewegungsinduktion beide erforderlich? Erläutern Sie in
Auswertung von der drei vorangegangenen Aufgaben!
Aufgabe 5.1.8
Im zeitveränderlichen magnetischen Störfluss B = 0,002 Vs/m2 sin(2π 50 Hz t) befinden sich
über l=10 m eine parallele Zweidrahtleitung (Abstand d=1 mm), eine verdrillte
Zweidrahtleitung (Abstand d, Länge einer Verdrillung 3 cm) und ein Koaxialkabel
(Durchmesser 2d). B ca. Energieleitung mit 10 A.
Frage: Welche Störspannungen werden bei ungünstigster Orientierung induziert?
Hinweis: Von verdrillter Zweidrahtleitung im ungünstigsten Fall ungerade Zahl
Verdrillungen im Feldbereich. Koaxialkabel  viele Leiterschleifen als Kreissegmente dα,
deren Spannungen „parallel“ geschaltet sind. Dicken der Leiter vernachlässigen.
Dr. Erich Boeck
10
Theoretische Grundlagen und ihre Anwendung zur Analyse elektrotechnischer Prozesse
Aufgabe 5.3.1
Berechnung der Bahn einer bewegten Punktladung (Proton) im Magnetfeld der
Erde (Strahlungsgürtel).
r
B nach hinten
mProton
QProton
v0
BErde
= 1,57 10-24 g
= +1,6 10-19 As
= 200 000 km/s (ca. 100 MeV)
= 48 10-6 Vs/m2
+
v0
+
Fmagn
v
+
FFlieh
Frage: Wie groß ist der Radius der Kreisbahn?
Hinweis: Der Radius folgt aus dem Kräftegleichgewicht einer Kreisbahn:
Lorentzkraft (= Beschleunigungskraft zum Zentrum) = Fliehkraft.
Dr. Erich Boeck
11
Theoretische Grundlagen und ihre Anwendung zur Analyse elektrotechnischer Prozesse
Theoretische Grundlagen und ihre Anwendung zur Analyse elektrotechnischer Prozesse
Dr. Erich Boeck
13
Theoretische Grundlagen und ihre Anwendung zur Analyse elektrotechnischer Prozesse
Dr. Erich Boeck
14

FolienI_Kap5-2_TheorGrundlagET