Nearly Free Electron Model
Präsentation für Solid State Physics
0530982 Andreas Katzensteiner
[email protected]
0530720 Roland Schmied
[email protected]
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Inhaltsverzeichnis
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
Modell des freien Elektronengases-Nachteile
Verbesserungen des Modells
Elektronen im periodischen Potential
Blochfunktionen
Wellenfunktionen und Aufenthaltswahrscheinlichkeit
Energie-Impuls-Relation
Betrachtung eines Grenzfalles
Hereinklappen der höheren Brillouinzonen
Aufspaltung der Energiewerte
Energielücke als Folge der Gitterperiodizität
Quellen
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Modell des freien
Elektronengases - Nachteile
 I: Einelektronennäherung
 II: keine Wechselwirkung zwischen
Elektronen
 III: Kastenpotential
 IV: Energieniveau kontinuierlich
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Verbesserungen des Modells
 Ersatz des Kastenpotentials durch
periodisches Potential der Atomrümpfe
 Festkörper unendlich ausgedehnt
 Abweichungen von der Periodizität und von
Oberflächeneffekten werden vernachlässigt
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Elektronen im periodischen
Potential
 Elektronen im Metall
nicht frei
 Potential der
Schrödingergleichung
periodisch
Abb.1: Elektronen im periodischen Potential
Epot (r)  Epot (r  Re )
 Raumdiagonale
R e  a  b  c.
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Blochfunktionen
 Ansatz für
Lösungsfunktion
 (r)  u(r) e
 Blochfunktionen
 k (r)  e
 Energie des
periodischen
Potentials
-ikR e
-ik*Re
* k (r  Re )
 2k 2
E(k) 
2m
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Wellenfunktionen und
Aufenthaltswahrscheinlichkeit
   A*e
ikx
 B* e
-ikx
 Überlagerung von
einfallender und
reflektierter Welle
durch Braggreflexion
an den Gitterebenen
Abb.2: stehende Welle an den Gitterebenen
A ix/a
-ix/a  Amplituden A und B
 
(e  e
)
gleich
2
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Wellenfunktionen und
Aufenthaltswahrscheinlichkeit
    2A²* cos²
*

x
a
x
*
    2A²* sin²
a
 Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichten für ein
Elektron
Abb.3:
Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichten für
ein Elektron
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Energie-Impuls-Relation
 Beschränkung der
iGr
Energie-Impuls-  k G (r)   k (r)* e   k (r)
Relation auf den
Bereich: - /a  k  /a
 Für Elektronenwellenfunktionen gilt:
 k G (r)  u(r) * eikr * eiGr   k (r) * eiGr
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Betrachtung eines Grenzfalles
 gitterperiodische PotentialpotE (r)
konstant
 Nur diskrete k-Werte erlaubt
 Dispersionskurve eines
freien Teilchens
Abb.4: Dispersionskurve eines freien Teilchens
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Hereinklappen der höheren
Brillouinzonen
 Hereinklappen der höheren Brillouinzonen
und Reduzierung der k-Werte auf erste
Brillouinzone
 Eigenfunktionen genügen den Bedingungen
für Blochfunktionen
 k (r  a)  eika  k (r)
 k (r  a)   k  G(r  a)   k  G(r)ei(k
b reit
red
red
red G )a
  k red  G(r)eik reda
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Aufspaltung der Energiewerte
 Störung des Elektrons durch periodisches Potential
der Atomrümpfe:
Epot (r)  E0  e * (r)
 Linearkombination der gestörten Wellenfunktion
 k  c0  cG k G
0
k
0
 Näherungsweise Vereinfachung der Lösungen zu:
E (k)  E (k0 )  | V (G) |
0
 Ausbildung einer Energielücke
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Energielücke als Folge der
Gitterperiodizität
 Je kleiner die
räumliche Periode
ist, desto größer wird
die Energielücke
 Am Zonenrand
verlaufen die Kurven
horizontal
Abb.5: Energielücke als Folge der Gitterperiodizität
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Quellen
 Festkörperphysik,
Ibach u. Lüth, Springer-Verlag, 4.Auflage,
Kapitel 7
 Introduction to Solid State Physics,
Charles Kittel, was weiß ich was das für ein
Verlag ist, 7.Auflage, Kapitel xy
 Experimentalphysik 3,
Wolfgang Demtröder, Springer-Verlag,
3.Auflage, Kapitel 13
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Näherung des freien Elektrons bei Energiebändern in Festkörpern