Polynome im Affenkasten
• Für jedes Polynom bis zum
4. Grad gibt es einen Kasten, in
dem es angeschaut werden kann.
• Jede Potenzfunktion zeigt eine
besondere Schönheit.
• Neuentdeckungen sind jederzeit
möglich.
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Math. Ges. Hamburg 2001, MNU Köln 2001, LFB 2002, GDM 2003
Polynome im Affenkasten
Übersicht
•
•
•
•
Polynome 3. Grades
Scherung als Beweisgedanke
Parabeln im Bärenkasten
Polynome 4. Grades im
Pantherkäfig
• Potenzfunktionen
• Andere Funktionsklassen
• Entdeckendes Lernen
• Fundamentale Ideen der
Mathematik und ihrer Lehre
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Polynome 3. Grades im Affenkasten
• Polynom 3. Grades, das Extrema hat.
• Maximum und Wendepunkt
definieren eine Kastenzelle.
• Symmetrie zum Wendepunkt.
• Überraschend ist:
die nächste Zelle passt immer.
o.B.d.A
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Polynome 3. Grades im Affenkasten
• Jede Tangente schneidet die Wendetangente.
• Überraschend ist:
• Die Tangente am Kastenrand
schneidet die Wendetangente
auf der oberen Kastenlinie
• Der Schnittpunkt liegt immer
an der 2:1 Teilungsstelle der
Zelle
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Polynome 3. Grades im Affenkasten
• Die Nullstelle ist stets das
-fache der Extremstelle.
• Die Nullstellen -Tangente liegt
also „irrational“ im Kasten.
• Sie passt nicht zu den anderen
wichtigen Tangenten.
• Wirklich nicht?
• Überraschend ist:
• Sie „erbt“ ihre Steigung aus
dem Kasten, m.a.W.:
• sie ist stets parallel zu einer
markanten Kastenlinie.
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Polynome 3. Grades im Affenkasten
• Flächenverhältnisse
• Die Inhalte der gezeichneten
Flächen stehen im Verhältnis
3:1
• Das ist einfach schön.
• Überraschend ist:
• Es ist ein rationales
Flächenverhältnis, obwohl
die beteiligte Nullstelle
„irrational“ im Kasten liegt.
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Polynome 3. Grades im Affenkasten
• Flächenverhältnisse
• Flächen gleicher Farbe sind
gleich groß.
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Polynome 3. Grades im Affenkasten
Was gilt bei anderen
Polynomen 3. Grades?
• Scherung?
• Wie zeigt sich
Scherung im
Funktionsterm?
• Erreicht man
alle Polynome
3. Grades?
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Polynome 3. Grades im Affenkasten
Scherung
• durch Addition des Terms
einer Ursprungsgeraden
f ( x )  t x( x  1)
2
f ( x )  t x( x  1)  m x
2
• Scherachse ist die y-Achse
• Scherwinkel ist der (spitze)
Steigungswinkel.
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Polynome 3. Grades im Affenkasten
Scherung allgemein
• Addition eines linearen Terms
zu einem Funktionsterm
bedeutet geometrisch eine
Scherung des
Funktionsgraphen.
• Scherachse ist die Parallele zur y-Achse durch die
Nullstelle der zum linearen Term gehörigen Geraden
• Scherwinkel ist der spitze Winkel, den die Gerade mit
der x-Achse bildet.
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Polynome 3. Grades im Affenkasten
• Scherungen erhalten
Teilverhältnisse und
Inzidenzen
• Scherungen erhalten die
Flächengröße
• Scherungen erhalten also
auch die Flächenverhältnisse
• Neu ins Bewusstsein gerückt:
• Scherungen erhalten die
Wendestellen
• Scherungen erhalten den
Grad eines Polynoms
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Polynome 3. Grades im Affenkasten
• Also:
• Jede Tangente definiert mit
Berühr~ und Wendepunkt
eine Kastenzelle.
• Alle für gerade Affenkästen
bewiesenen Tatsachen gelten
auch für schräge Affenkästen.
• Alles gilt für alle Polynome
3. Grades.
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Polynome 3. Grades im Affenkasten
• Also:
• Jede Tangente definiert mit
Berühr~ und Wendepunkt
eine Kastenzelle.
• Alle für gerade Affenkästen
bewiesenen Tatsachen gelten
auch für schräge Affenkästen.
• Alles gilt für alle Polynome
3. Grades.
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Parabeln im Bärenkasten
Parabeln im
Bärenkasten
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Parabeln im Bärenkasten
• Die Existenz des Kastens ist
klar. r , r 2 ... 2r ,4r 2
• Die Sehne trifft tatsächlich
die Kästchenkreuzung

 

• Also:
• Es gibt die Scherung!
• Die Tangente an der Mittenstelle der Sehne
hat die Steigung der Sehne
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Parabeln im Bärenkasten
• Die Existenz des Kastens ist
klar. r , r 2 ... 2r ,4r 2
• Die Sehne trifft die
Kästchenkreuzung

 

• Also:
• Es gibt die Scherung!
• Die Tangente an der Mittenstelle der Sehne
hat die Steigung der Sehne
• Das neue einbeschriebene Dreieck hat
der Fläche des Ausgangsdreiecks
1
8
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Parabeln im Bärenkasten
-4
15
15
15
10
10
10
5
5
5
-2
2
-5
4
6
8
-4 -2
2
-5
4
6
8
-4 -2
2
4
6
8
• Archimedes
und seine
ParabelAusschöpfung
-5
• Bei jedem Schritt werden neue Sehnendreiecke gebildet.
• Die Flächensumme der neuen Sehnendreiecke ist ¼ der
vorigen.
• Die Gesamtflächen bilden eine Geometrische Reihe mit
dem Faktor ¼ und der Summe 4/3*Startdreieck.
• Damit nimmt die Parabel 2/3 des Kastens ein.
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Parabeln im Bärenkasten
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Parabeln im Bärenkasten
y

y
2
0
• Trapez groß
(b  a )
2
y1 ( b  a )
• Trapez klein
• Parallelogramm= Trapez groß - Trapez klein
• Integral =
Trapez klein+ 1/3 Parallelogramm
b
beliebige Fkt. f
durch die Stützpunkte

a
ba
f ( x ) dx 
 y0  4 y1  y2 
6
exakt für Parabel
und Polynom 3. Grades
• Johannes Kepler (Mathematiker, Astronom) fand schon
Anfang des 17. Jahrhunderts diese Keplersche (Fass-)Regel.
Mehrfache Anwendung führt zur Simpsonregel.
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Parabeln im Bärenkasten
• Die Tangenten an den Ecken des
Bärenkastens:
• treffen die untere Kastenkante auf
einem Gitterpunkt
• Dies kann also
gar keine
Parabel sein.
• Die beiden Tangenten schneiden
sich untereinander auf der
Unterkante des „Doppelkastens“
• Es gelten viele schöne
Flächenverhältnisse
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Polynome 4. Grades im Pantherkäfig
• Polynome 4. Grades:
• Sie haben entweder genau zwei
Wendepunkte oder gar keine.
•
Betrachtet werden die Graphen mit zwei
Wendetangenten und deren Schnittpunkte mit
dem Polynom.
• Überraschend ist:
• Ist r der Abstand der
Wendestellen, dann ist r auch
der Abstand der
Schnittstellen von den
Wendestellen.
• Die Flächen zwischen Wendetangente und Kurve sind links
und rechts gleich groß.
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Potenzfunktionen y=xk
y
3
x2
3:2
yx
yx
2
2:1
4
4:1
yx
5
5 :1
mit k>1
yx
3
3:1
yx
6
6 :1
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e-Funktion mit „Eulerkasten“
• Entstehung des Graphen aus Bausteinen
• e-Funktion um k verschieben.
• quadrieren
• Asymptote y= k2.
• Bei wachsendem k wandert die Extremstelle
nach außen, die Asymptote nach oben.
Fundamentale Idee
Funktionen aus Bausteinen
aufbauen
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e-Funktion mit „Eulerkasten“
• Wendepunkt
• Extrempunkt
• Schnittpunkt mit der Asymptote
• Überraschend ist:
• Für alle k sind Wendestelle und
Schnittstelle mit Asymptote ln 2 von
der Extremstelle entfernt.
• Also: Die Streifenbreite ist stets ln 2.
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e-Funktion mit „Eulerkasten“
• Die Wendetangente schneidet
Asymptote und x-Achse
• Dadurch wird ein Kasten definiert.
• Überraschend ist:
• Für alle k hat dieser Kasten die Breite 2
• Der Wendepunkt liegt auf dem rechten
unteren Viertelpunkt.
• Die Kastenfläche
ist so groß wie die Fläche
zwischen Kurve und
Asymptote.
• A=2 k 2
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e-Funktion mit „Eulerkasten“
Viele Flächen
sind Vielfache
der
Kastenzellen.
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e-Funktion mit „Eulerkasten“
Viele Flächen
sind Vielfache
der
Kastenzellen.
Erforschen Sie
mathematische
Schönheiten!
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Polynome im Affenkasten
• Danke für Ihre
Aufmerksamkeit!
• Das Heft enthält eine zusammenhängende
Darstellung mit vollständigen Beweisen,
seitenbezogene Kopiervorlagen zu den
Kernaussagen, Kopiervorlagen für
entdeckendes Lernen, Klausuraufgaben,
weitere Zusammenhänge und diesen
Vortrag (49 Seiten).
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• CD = Internet >Vortrag + 500 Dateien Mathematik u.v.m.
• für 5€
• www.doerte-haftendorn.de
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Polynome im Affenkasten