Fakultät für Physik
Universität Wien
Institut für Quantenoptik und Quanteninformation
Österreichische Akademie der Wissenschaften
Quantencomputer und Quantenkryptographie –
demnächst auch in Ihrem Laptop?
Johannes Kofler
Club IT der Fachgruppe UBIT
WIFI Wien, 19. Mai 2011
Überblick
•
Einleitung
•
Quantenphysikalische Grundbegriffe
 Superposition & Verschränkung
 Bellsche Ungleichung
•
Quantenkryptographie
 Funktionsweise
 Realisierungen
•
Quantencomputer
 Grundlagen
 Algorithmen & Implementierungen
•
Ausblick
Entwarnung
“I think I can safely say that nobody
understands quantum mechanics.”
Richard Feynman
(Physik-Nobelpreis 1965 für eine der
Formulierungen der Quantenmechanik)
Zwei verschiedene Welten
Klassische Physik
Kontinuität
Newtonsche und
Maxwellsche Gesetze
Definitive Zustände
Quantenphysik
Quantisierung
SchrödingerGleichung
Superposition &
Verschränkung
Determinismus
„Makro-Welt“
Isaac Newton
(1643–1727)
Ludwig Boltzmann
(1844–1906)
Albert Einstein
(1879–1955)
Zufall
„Mikro-Welt“
Niels Bohr
(1885–1962)
Erwin Schrödinger
(1887–1961)
Werner Heisenberg
(1901–1976)
Physik und Technik
Klassische Physik
Quantenphysik
(ca. 30% des BIP der USA)
Das Doppelspalt-Experiment
Teilchen
Wellen
Quanten
Interpretation bis
heute strittig
Quelle: http://www.blacklightpower.com/theory/DoubleSlit.shtml
Quanten-Superposition
Materie-Teilchen: Elektronen, Atome,
Moleküle
Licht-Teilchen:
Photonen
Superposition (Überlagerung):
|  = |linker Spalt + |rechter Spalt
Quanten-Verschränkung
Superposition: |  = | + |
E
Polarisation: horizontal, vertikal
Verschränkung
(Mehrteilcheneigenschaft):
|AB = |AB + |AB
= |AB + |  AB
Alice
/:
/:
/:
/:
/:
/:
/:
/:








Vertikal polarisiert
UVLaser
B
A
Bob
/:
/:
/:
/:
/:
/:
/:
/:








Nichtlinearer
Kristall
Horizontal polarisiert
lokal:
zufällig
global: perfekte Korrelation
„Entanglement“
“Total knowledge of a composite system does
not necessarily include maximal knowledge of
all its parts, not even when these are fully
separated from each other and at the moment
are not influencing each other at all.” (1935)
Erwin Schrödinger
Lokaler Realismus
Realismus:
Objekte haben ihre Eigenschaften unabhängig von der
Messung
Lokalität:
Messungen an einem Ort beeinflussen nicht die
(gleichzeitigen) Messungen an einem anderen
Alice und Bob sind in zwei entfernten Laboratorien,
bekommen Teilchen (zB. Würfel) und messen jeweils
eine von zwei Größen (zB. Farbe und Parität)
Messung 1:
Messung 2:
Farbe
Parität
Mögliche Werte:
Resultat:
Resultat:
A1 (Alice), B1 (Bob)
A2 (Alice), B2 (Bob)
+1 (gerade bzw. rot)
–1 (ungerade bzw. schwarz)
A1 (B1 + B2) + A2 (B1 – B2) = ±2
A1B1 + A1B2 + A2B1 – A2B2 = ±2
A1B1 + A1B2 + A2B1 – A2B2 ≤ 2
Bob
Alice
für alle lokal realistischen
(= klassischen) Theorien
Die Bellsche Ungleichung
Mit dem Quantenzustand
|AB = |AB + |AB
kann die linke Seite der Bellschen Ungleichung (1964)
A1B1 + A1B2 + A2B1 – A2B2 ≤ 2
gleich 22  2,83 werden. Damit: 2,83 ≤ 2.
John S. Bell
B2
A2
A1
B1
Fazit:
Quantenmechanisch verschränkte Zustände verletzen die Bellsche Ungleichung
und können daher nicht durch lokalen Realismus (dh. klassische Physik)
beschrieben werden (Albert Einstein: „Spooky action at a distance“)
Experimentell hundertfach bestätigt (Photonen, Atome etc).
Kryptographie
Symmetrische Verschlüsselungsverfahren
Klartext
Verschlüsselung Geheimtext Entschlüsselung
Asymmetrische („public key“) Verfahren: zB. RSA
Klartext
Beispiele aus der Antike
Skytale
Caesar-Verfahren
(ca. 500 v. Chr.)
(ca. 50 v. Chr.)
Ältestes militärisches
Verschlüsselungsverfahren
Geheimtext: „ohhoq hcrom“
Schlüssel: Stabdurchmesser
Klartext: „attac today“
Neuzeit
One-Time-Pad
Idee von Gilbert Vernam (1917)
Beweis der Sicherheit durch Claude
Shannon (1949) [einziges Verfahren]
Kriterien:
Gilbert Vernam
Claude Shannon
- zufälliger und geheimer Schlüssel
- (mindestens) gleiche Länge wie der Klartext
- nur einmal verwenden („one time“)
Quantenmechanik kann das leisten:
 Quantum Key Distribution (QKD)
Idee: Wiesner 1969 & Bennett et al. 1984 (BB84), erstes Experiment 1991
Mit Verschränkung: Idee: Ekert 1991, erstes Experiment 2000
Quantum Key Distribution (QKD)
0
0
1 1
0
1 1
0
Messbasis: / / / / / / / …
Resultat:
0
1
1
0
1
0
1 …
Messbasis: / / / / / / / …
Resultat:
0
0
1
0
1
0
-
Alice and Bob teilen sich Wahl der Messbasis mit (nicht die Resultate)
-
bei gleicher Basiswahl verwenden sie das (lokal zufällige) Resultat
-
der Rest wird verworfen
-
perfekte Korrelation ergibt den Schlüssel: 0110…
-
zwischendurch wählen sie weitere Messbasen und verletzen damit die
Bell-Ungleichung
-
jedwedes Abhören würde detektiert werden
-
Sicherheit garantiert durch Quantenphysik
0 …
Quantenkryptographie
Erste Quantenkryptographie mit verschränkten Photonen
(Wien, 2000)
Alices
Schlüssel
Original:
Bobs
Schlüssel
Verschlüsselt:
Bitweises
XOR
Entschlüsselt:
Bitweises
XOR
Schlüssel: 51840 Bit, Bit Fehler Wahrsch. 0.4 %
Schlüssellänge: 51840 bit
Bit-Fehlerwahrscheinlichkeit: 0,4%
T. Jennewein et al., PRL 84, 4729 (2000)
8 km „free space“ über Wien (2005)
Twin Tower
Millennium Tower
Kuffner Sternwarte
K. Resch et al., Opt. Express 13, 202 (2005)
144 km von Insel zu Insel (2007)
QKD mit 2,3 bit/s
T. Schmitt-Manderbach et al., PRL 98, 010504 (2007)
Wien – St. Pölten (2008)
Erstes Quantenkryptographie-Netzwerk: 2008
41 Partner aus 12 Ländern
6 Knoten, 8 Links (davon einer free-space)
80 km, Rate: einige kbit/s
http://www.secoqc.net/index.html
Tokio-QKD-Netzwerk (2010)
Partners:
Japan: NEC, Mitsubishi Electric, NTT NICT
Europe: Toshiba Research Europe Ltd. (UK),
ID Quantique (Switzerland) and “All Vienna”
(Austria).
Toshiba-Link (BB84): 300 kbit/s über 45 km
http://www.uqcc2010.org/highlights/index.html
QKD-Zeitlinie
Von der Idee zur Anwendung
2004
2010
Kommerzielles
Tokio-Netzwerk
Produkt
1991
Erstes Experiment BB84
1984
Idee (BB84)
Vorschlag
Verschränkung
2000
2008
Erstes Experiment Wien-Netzwerk
mit Verschränkung
Alices
Schlüssel
Original:
Bobs
Schlüssel
Verschlüsselt:
Bitweises
XOR
ChinaNetzwerk
Entschlüsselt:
Bitweises
XOR
Schlüssel: 51840 Bit, Bit Fehler Wahrsch. 0.4 %
2004: QKD-Banküberweisung vom Wiener Rathaus zu einer Bank-Austria-Filiale (1,5 km)
2007: QKD-Übertragung der Parlamentswahlresultate des Kantons Genf nach Bern (100 km)
Zukunftsmusik
“Our two greatest problems are gravity and paper work. We can lick gravity,
but sometimes the paperwork is overwhelming.” – Wernher von Braun (1958)
ISS (350 km Höhe)
Das Moorsche Gesetz (1965)
Transistorgröße
2000
 200 nm
2010
 20 nm
2020
 2 nm (?)
Gordon Moore
© Kurzweil Technologies
Computer und Quantenmechanik
1981: Die Natur kann am besten durch
Quantenmechanik simuliert werden
Richard Feynman
1985: Formulierung des Konzepts einer
Quanten-Turingmaschine
David Deutsch
Bit vs. Quantenbit
Bit
Qubit
0
|Q =
1
2
(|0 + |1)
1
„0“ oder „1“
„0“ und „1“
Klassischer Computer
Logische Gatter
Schaltungen
Qubits
Allgemeiner Zustand eines Qubits:
Bloch-Kugel:
P(„0“) = cos2/2
P(„1“) = sin2/2
 … Phase (Interferenz)
Physikalische Realisierungen:
 Photonen-Polarisation:
|0 = |
 Elektronen/Atom/Kern-Spin: |0 = |up
|1 = |
|1 = |down
 Atom-Energie-Niveaus:
|0 = |ground |1 = |excited
 Supraleitung-Fluss-Qubit:
|0 = |left
 etc…
|1 = |right
| = |0 + |1
|R = |0 + i |1
Quantengatter

Quantengatter sind Operationen auf Qubits

werden benutzt um Algorithmen auf Quantencomputern zu implementieren

darstellbar als unitäre n x n Matrizen wobei n = 2Anzahl der Qubits auf
Qubitzustände (Vektoren: |0 = (1,0)T, |1 = (0,1)T)
H |0  (|0 + |1)
H |1  (|0 – |1)
erzeugt Superposition
X (a|0 + b|1) = a|1 + b|0
NOT-Operation
allgemein für 1 Qubit:
Rotationen auf der Bloch-Kugel
2-Qubit-Quantengatter
2 Qubits: 4 x 4 Matrizen
Basis-Operation: CNOT
CNOT |c|t = |c|tc
Ein kleiner Schaltkreis:
|0A|0B
|0A
|0A|0B + |1A|1B
H
|0B
(|0A+|1A) |0B =
|0A|0B + |1A|0B
erzeugt Verschränkung!
Quantencomputer
Klassischer
Input
01101…
Präparation
Messung
Klassischer
Output
00110…
Evolution
Input und Output der Rechnung sind klassisch.
Die Informationsverarbeitung ist quantenmechanisch.
Deutsch-Algorithmus

erster Quantenalgorithmus, 1985 durch David Deutsch

gegeben eine „bit to bit“ Funktion f: {0,1}  {0,1}
Aufgabe: ist die Funktion konstant, dh. f(0) = f(1)
oder balanciert, dh. f(0)  f(1)

klassisch: man muss sowohl f(0) als auch f(1) auswerten: 2 Aufrufe

quantenmechanisch reicht ein einziger Aufruf!
die Funktion f wird auf eine Superposition angewandt
„Quantenparallelismus“ (many worlds)

Verallgemeinerung: Deutsch-Josza (1992)
„n bits to one bit“ f: {0,1}n  {0,1}
klassisch: worst case 2n-1+1 Aufrufe
Quantencomputer: 1 Aufruf
(„exponential speed-up“)
n = 1: Deutsch-Algorithmus
n > 1: Deutsch-Josza-Algorithmus
Shor-Algorithmus

1994 durch Peter Shor

Aufgabe: Primfaktor-Zerlegung einer b-Bit Zahl (RSA-Krypographie)
541  1987 = ? (einfach)
1074967 = ?  ? (schwer)

klassisch: super-polynomial:
, bisheriges Optimum
quantenm.: sub-polynomial: O(b3), probabilistisch

für b = 1000 (301-stellig) bei THz-Geschwindigkeit:
klassisch
quantenmechanisch
1024 Schritte
1010 Schritte
100000 Jahre
< 1 Sekunde
L. M. K. Vandersypen et al., Nature 414, 883 (2001)
Grover-Algorithmus

1996 durch Lov Grover

Aufgabe: Datenbank-Suche in einer unsortierten Datenbank mit N
Elementen (zB. eine markierte Seite in einem Buch finden)

klassisch: O(N), man muss im Schnitt das halbe Buch durchblättern
quantenm.: O(N), „quadratic speed-up“ (probabilistisch)
|10
|00 |01 |10 |11
Input
|00 |01
Markierung
|11
|00 |01 |10 |11
Inversion um Mittelwert
Implementierungen
NMR (nuclear magnetic resonance) Quantum Computation

Ensemble von organischen Molekülen in
einem Kryostaten (Flüssigkeit)

Qubits: Kernspin-Zustände (der C-Atome)

Gatter: Radiopulse

7-Qubit-Quantencomputer faktorisiert 15 in 35
(IBM 2001)

Probleme: Kurzlebigkeit (Dekohärenz), keine
Adressierbarkeit einzelner Moleküle, keine
Speicherung von Information
Alanin-Molekül
Implementierungen
Trapped Ion Quantum Computation

Elektrisch gefangene Ionen

Qubits: Elektronen-Energieniveaus

Gatter: Manipulation durch Laserlicht

14 verschränkte Kalzium-Ionen
(IQOQI Innsbruck 2011)

Probleme: Skalierbarkeit (ein-dimensional),
aufwändig (Vakuumkammer etc.), langsame
Gates (Millisekunden)


Vorteile: präzise Kontrolle, individuelle
Adressierbarkeit, Informationsspeicherung
(Millisekunden)
Ionenfalle
Fluoreszenz-Signal
Ziel: zweidimensionale Arrays von Ionen
(„trapped ions on a microchip“)
http://www.uibk.ac.at/th-physik/qo/research
Implementierungen
Optical Quantum Computation

Photonen

Qubits: Polarisation (oder Pfad)

Gatter: Strahlteiler, Wellenplatten

Grover-Suche für N = 4 (Wien 2007)

Probleme: Skalierbarkeit (Detektoren),
Information kann schwer gespeichert werden

Vorteile: schnell (Nanosekunden-Gates) gut
geeignet für Kommunikation zwischen
Quantencomputern oder Subsystemen eines
Quantencomputers (Hybridsysteme)
Optischer Tisch
Implementierungen
SQUIDs (superconducting quantum interference devices)

Supraleitende Ringe mit JosephsonKontakt (Festkörper)

Fluss-Qubit (wie Spin)

Gatter: Änderung der Kopplung durch
magnetische Felder

Verschränkung zwischen 4 SQUIDs
SQUID

Probleme: Dekohärenz (Mikrosekunden)

Vorteile: schnelle Operation,
Skalierbarkeit gut (SQUID-Arrays),
Mikrofabrikation etabliert
M. W. Johnson et al., Nature 473, 194 (2011)
Implementierungen
Andere Festkörper-Möglichkeiten
 NV-Zentren
 Quantenpunkte
 Spintronik
Ausblick
Quantenkryptographie und Quantencomputer demnächst in Ihrem Laptop?
– Ich denke nein. Aber:
– Quantenkryptographie: denkbar: Banken, Ämter, Militär etc.
physikalische Implementierung: sicher Photonen
– Quantencomputer:
vielleicht in ein bis drei Jahrzehnten: Forschung, Militär etc.
physikalische Implementierung: noch unentschieden
(vermutlich Festkörper)
Problem: wenige Algorithmen
„Das Telefon hat zu viele ernsthaft zu bedenkende Mängel für
ein Kommunikationsmittel. Das Gerät ist von Natur aus von
keinem Wert für uns.“
– Western Union Financial Services (1876)
„When a distinguished but elderly scientist states that something
is possible, he is almost certainly right. When he states that
something is impossible, he is very probably wrong.“
– Arthur C. Clarke (1962)
Die Wiener Quantengruppe
Herzlichen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!
Backup-Folien:
BB84
Teleportation
Teleportierter
Zustand
4
klassischer Kanal
Alice
1
2
Verschränktes
Paar
Bob
3
Anfangszustand
EPR Quelle

„0“ oder