AXIOME
1.
2.
3.
A  (B  A)
(A  (B  C ))  ((A  B )  (A  C ))
(B  A)  (A  B )
Da Axiom 3 (zumindest vorderhand) für einen Beweis von p -> p
nicht zu gebrauchen ist (weil in p -> p kein „nicht“ vorkommt),
beschränken wir uns auf die ersten beiden Axiome:
Da die gesuchte Conclusio p -> p ist, fällt auch das erste Axiom
weg: weil Modus Ponens die einzige Schlussweise ist, wird man
p -> p niemals bekommen (wenn wir für A und B p setzen,
bräuchten wir p als Antezedens um p -> p zu bekommen; wenn
wir für A p -> p setzen und für B irgendetwas, brauchen wir
schon p -> p als Voraussetzung egal was wir für B setzen.) Wir
versuchen unser Glück deshalb mit Axiom 2.
1. Wir wollen auf p -> p kommen und
setzen dazu im Axiom (2) p->p möglichst
weit „hinten“ hin, weil Modus Ponens immer
nur auf das Konsequens zu schließen
erlaubt. Wir substituieren A:= p und C:=p
und lassen zunächst offen, was für B zu
setzen ist.
p  (( q  p )  p)
A  (B  A)
( p  (( q  p )  p)  (( p  ( q  p ))  ( p  p))
(A  (B  C ))  ((A  B )  (A  C ))
2. Um daraus einen Beweis für p -> p zu
machen, müssen wir zunächst das
Konsequens des Satzes mit Modus Ponens
(die einzige Schlussweise!)
herausbekommen – das geht aber ganz
leicht, denn im Antezedens steht schon ein
Axiom(enschema) der Form A -> (B -> A).
2. Damit aus dem bisherigen endgültig
ein Beweis für p -> p wird, müssen wir
noch aus dem Antezedens der 3. Zeile
ein Axiom machen; mit Modus Ponens
folgt dann sofort p -> p.
(( p  ( q  p ))  ( p  p))
p(q  p )
4. Aus der 4. Zeile kann man aber durch Einsetzung von q -> p
sehr einfach ein Axiom der Form A -> (B -> A) machen und das
ganze somit zu einem Beweis für p -> p.
( p  p)

Strategie