Ingo Rechenberg
PowerPoint-Folien zur 7. Vorlesung „Evolutionsstrategie II“
Die goldene Regel der Evolution, das größte kleine
Sechseck und das Maximum-Minimum-Distanz-Problem
Zur Theorie der Evolutionsstrategie
Bewiesenes und Unbewiesenes
Es gilt die Formel:
 1, 1  ( 1)1,  1, (2)
Zweitbester von
 Nachkommen
Verbale Argumentation: Die -malige Erzeugung von  Nachkommen mit
jeweils zufälliger Wiederwegnahme eines davon liefert handlungsgemäß
 mal 1, 1 , oder, häufigkeitsanalytisch gedacht, ( -1) mal 1,  (man
nimmt nicht den besten weg) und einmal 1,  (2) (man nimmt gerade den
besten weg).
Die -Regel von Nikolaus Hansen
Für maximalen Fortschritt ist in einer seriellen
(1, )-Evolutionsstrategie  so einzustellen,
dass
 1,  (2) = 0 gilt
Allgemein für den
nichtlinearen Fall !
Eine Rekursionsformel von Ivan Santibañez-Koref
 c/ ,   (    ) c /  , 
Z. B.
 = 3,  = 10
3  c3/3, 10  (10  3)  c7/7, 10
3 1,07  7  0,46
3,21  3,22
Ein faszinierender mathematische Zusammenhang zwischen der
(1  1)  ES
und der
( / ,  )  ES
( / ,  )  ES
/ opt  0,270
c0,270 ,   r
1,224  r
 opt  

n
n
2
c0,270 ,   r
1,498  r
max (parallel)  

2n
2n
Nach Hans-Georg Beyer
für große Werte 
2
max (seriell)
c0,270 ,   r 0,202  r
 (  / )

2n
n
n  1

(1  1)  ES
Weopt
1,224  r


 0,270
opt
n
r
2 2
max  1,498
 0,270  0, 0  r
2n
n
n  1
/
We opt (1  1)



(
,
)
opt
opt (  ,  )    opt ( 1  1)
max (  ,  )  max (1  1)
seriell !
Ein überraschender Zusammenhang
zwischen der (  , )-ES als höchste
Nachahmungsstufe der Evolution und
der (1+1)-ES als niedrigste Nachahmungsstufe der Evolution.
Die „Goldene Regel“ der
Evolutionsstrategie
(1,  )-ES
Bei optimaler Mutationsschrittweite
verschlechtert sich die gesamte Nachkommenschaft im Mittel ebenso sehr,
wie sich der beste Nachkomme
verbessert.
a
E
Fortschritt
Verbesserung
N
DQ

ΔQ   tan a
Berechnung der mittleren Qualität QN
der gesamten Nachkommenschaft


QN  QE   1,  (1)   1,  ( 2)     1,  (  ) tan a



QN  QE  c1, (1)     2  c1, ( 2)     2    c1,  (  )     2 tan a
Fortschritt
des besten Nachkommen


c1,  ( j )  0
Fortschritt des zweitbesten Nachkommen . . .

QN  QE    2 tana
j 1
Ferner gilt:
QNB  QE  (c1,      2 ) tan a
= 2 für
c1, 
QNB  QE
1

QN  QE
  opt
QNB  QE  QE  QN
Die „Goldene Regel“ der
Evolutionsstrategie
(1,  )-ES
Bei optimaler Mutationsschrittweite
verschlechtert sich die gesamte Nachkommenschaft im Mittel ebenso sehr,
wie sich der beste Nachkomme
verbessert.
g
QN
g
QE
Kulturtropfen
g
QNB
Dirigierte Evolution
mit dirigierter Mutationsrate
Bakterienklon
g 1
H2
Schüttel
Agarkultur
g1
QE
d↓
QNB  QE
<

>
QE  QN
d↑
Verbesserung
bester Nachkomme
gegenüber Elter
QN
Verschlechterung gesamte
Nachkommenschaft
gegenüber Elter
g 1
Q NB
Die erweiterte „Goldene Regel“
der Evolutionsstrategie
( / ,  )-ES
Bei optimaler Mutationsschrittweite
verschlechtert sich die gesamte Nach kommenschaft im Mittel  mal so sehr,
wie sich die  besten Nachkommen
intermediär rekombiniert verbessern.
Denkhinweis: μ-fach vergrößerte Schrittweite!
Goldene Regel zur Mutationsschrittweitenregelung
IF  (QN  QE )   (QNB QE ) THEN d  d * a ELSE d  d / a
Für Funktionsmaximierung
Quasi-philosophische Gedanken zum Fortschrittsfenster, zur
1/5-Erfolgsregel und zur Goldene Regel der Evolutionsstrategie
Evolutionsfenster
Fortschritt
Ein Manager sollte wissen, wie schmal sein Entscheidungsspielraum ist. Die Devise „Viel hilft viel“ ist genauso falsch
wie „Vorsicht ist die Mutter der Porzellankiste“.
Mutationsgröße
We  1 / 5
d vergrößern
We  1 / 5
d verkleinern
Misserfolge sollten nicht so negativ gesehen werden. Es
ist richtig, wenn auf 5 Versuche 4 Misserfolge kommen.
Um Fortschritt zu erzielen muss man viele Misserfolge
hinter sich lassen (Goldene Regel der Evolutiosstrategie).
Die Schaffung von Ordnung
in einem
Bereich geht immer
oder
Entropiesatz
der einher
ES
mit der Schaffung von Unordnung an anderer Stelle !
QNB
QE
QN
Rückschritt = Fortschritt
Noch ungelöste Probleme in der Theorie der Evolutionsstrategie
Fortschrittsgeschwindigkeit der (  / ,  ) - ES
für   2, 3,    1
Fortschrittsgeschwindigkeit der ES mit diploidem Vererbungsgang
Hat das Schema der Ortho-ES einen biologischen Hintergrund? Wie macht
die biologische ES eine Koordinatentransformation? Wie kommt es in der
Biologie zu korrelierten (harmonischen) Mutationen?
Philosophie der Problemkomplexität aus der Sicht des Evolutionsstrategen
und der Sicht des Informatikers: Kausalität, starke Kausalität, schwache
Kausalität versus der Komplexitätsklassen P- NP- und NP-vollständig.
Informatiker/Mathematiker
Evolutionsstratege
NP
vollständig
Schwach
kausal
NP
Kausal
P
Stark
kausal
P = polynomial
NP = nichtdeterministisch polynomial. (Eine „geratene“ Lösung kann in polynomialer Zeit überprüft werden)
Im deutschen Sprachraum lässt sich NP-Problem auch als „Nachweis-polynomiales Problem“ lesen
Komplexitätsklassen von Problemen
Über exotische mathematische Probleme und
deren Lösung mit der Evolutionsstrategie
Ronald L. Graham
GRAHAMs „größtes kleines Sechseck“
Gesucht ist das Sechseck maximalen Inhalts,
bei dem keine zwei Ecken einen größeren
Abstand als 1 voneinander haben.
GRAHAMs “größtes kleines Sechseck”
Qualitätsfunktion:
Q1
4
1
4
1
4
1
4
{
{
{
{
}
(a1  a2  a6 ) (a1  a2  a6 ) (a1  a2  a6 ) ( a1  a2  a6 ) 
}
) }
) }  Max
(a2  a3  a10 ) (a2  a3  a10 ) (a2  a3  a10 ) ( a2  a3  a10 ) 
(a3  a4  a13 ) (a3  a4  a13 ) (a3  a4  a13 ) ( a3  a4  a13
(a4  a5  a15 ) (a4  a5  a15 ) (a4  a5  a15 ) ( a4  a5  a15
Nebenbedingungen:
a8  1
Polygon Koordinaten:
a1  1
a2  1
a3  1
a4  1
a5  1
a6  1
a7  1
a9  1
a10  1
a11  1
a12  1
a13  1
a14  1
a15  1
x11  0,
x12  0
a1  x12  x22
a2  x32  x42
a3  x52  x62
a4  x72  x82
2
a5  x92  x10
a6  ( x 3  x 1 ) 2  ( x 4  x 2 ) 2
a7  ( x 5 x 1 )2  ( x6  x 2 )2
a8  ( x 7  x 1 ) 2  ( x8  x 2 )2
a9  ( x 9 x 1 )2  ( x10  x 2 )2
a10  ( x 5  x 3 )2  ( x6  x 4 )2
a11  ( x7  x 3 )2  ( x8  x 4 )2
a12  ( x 9 x 3 )2  ( x10  x 4 )2
a13  ( x7  x 5 )2  ( x8  x 6 )2
a14  ( x 9 x 5 )2  ( x10  x 6 )2
a15  ( x 9 x 7 )2  ( x10  x 8 )2
Lösung des GRAHAMschen Problems ist eine algebraische Zahl vom Grad 10:
4096 A10  8192 A 9  3008 A 8  30848 A7  21056 A 6  146496 A 5
 221360 A 4  1232 A 3  144464 A 2  78488 A  11993  0
Lösung : A  0,674981...
ReguläresSechseck: A  0,64959...
1
GRAHAMs größtes kleines Sechseck
6-Eck
8-Eck
10-Eck
Foptimal Fregulär = 1,0391
Foptimal Fregulär = 1,0280
Lösungen für das größte
kleine 6-, 8-, und 10-Eck
Foptimal Fregulär = 1,0195
Schwärme
Mathematische Definition eines Schwarms
als Maximum-Minimum-Distanz-Problem
y
Dmax
D min
x
Das max/min-Distanz-Problem
Minimum
Dmax
= 6,707
Dmin
Mathematischer
Schwarm von
48 Individuen
103
77
77 103
94
86
86
94
Elemente der
Optimalstruktur
Reguläre Struktur eines
48-Individuen-Schwarms
7 Pkt
Dmax / Dmin 2
12 Pkt
Dmax / Dmin  5  2 3  2,9093
Maximale Distanz = 1
Minimale Distanz
27 Pkt
48 Pkt
Dmax / Dmin 4,8045
Dmax / Dmin  6,707
Strukturelle Lösungen
des max/min-DistanzProblems
Flugzeugschwarm
Melancholie, Kupferstich von
Albrecht Dürer aus dem Jahr
1514
Magisches Quadrat
2 0 14
Es soll ein Magisches Quadrat mit 21 21
Feldern entwickelt werden. Die Summe der
Zeilen, der Spalten und der Hauptdiagonalen
soll jeweils 2010 betragen. Und in der Mitte
des Quadrats soll sich, wie im Dürer-Quadrat,
die Jahreszahl 2010 markieren. Die Figuren
einer Zwei, Null und Eins mögen durch eine
Serie der Ziffern 2, 0 und 1 gebildet werden.
Es handelt sich bei der Lösung zwangsläufig
um ein so genanntes unechtes Magisches
Quadrat, da Zahlen doppelt vorkommen
können und müssen.
n2 n3
n4 n5 n6
n7 n8 n9
1
Qualitätsfunktion für ein 3 3-Quadrat
Q  (n1 n2  n3  15)2  (n4  n5  n6  15)2  (n7  n8  n9  15)2
 (n1 n4  n7  15)2  (n2  n5  n8  15)2  (n3  n6  n9  15)2
 (n1 n5  n9  15)2  (n3  n5  n7  15)2  Min
Magischer 5  5  5 - Würfel
mit der magischen Summe 315
2003 gelöst von Walter Trump und Christian Boyer
g =0
=10
g =30
=20
g =60
=10
g =90
=40
g =120
=200
g =150
=800
g =180
=1200
g =210
=2400
g =240
=3000
g =270
=5000
g =290
=5000
g =291
=5000
Michael Herdy: 16.06.1999
Evolutionsstrategie löst ein
7x7x7 Rubik-Würfel
Ende
www.bionik.tu-berlin.de

E2-14Fo7