Von den Kegelschnitten zur
Himmelsmechanik
Gliederung
≈ 360
≈ 200
Menaichmos
Apollonius
0 ≈ 150
Ptolemäus
15./16 Jhd.
16./17. Jhd.
Kopernikus Kepler
Parabel
Kreis
Ellipse
Hyperbel
Menaichmos (um 380- 320 v. Chr.)
Menaichmos findet bei der Suche nach der
Würfelverdoppelung erste Kurven und beschreibt
als erster (unseres Wissens) die Kegelschnitte
Bedingungen für Menaichmos Kegelschnitte
Der Kegel sollte von einer Ebene senkrecht zur
Mantellinie geschnitten werden. Wenn alle Kegelschnitte
vorkommen sollen, kann das nur mit unterschiedlichen
Winkeln der Kegelspitze realisiert werden.
Aufgabe:
Überlegt, welche Winkel der Kegel bei den jeweiligen
Schnitten haben muss, damit alle Formen vorkommen.
Parabel
Kreis
Ellipse
Hyperbel
Winkel α der Kegelspitze:
α = 90°
90° < α < 180°
0° < α < 90°
Parabel
Kreis
Ellipse
Hyperbel
Apollonius von Perge (265-190 v. Chr.)
• Schreibt „Konika“ (Konus=Kegel) ein
Werk von acht Büchern über die
Kegelschnitte
• Bezieht sich auf Euklid
• Neu ist das Schneiden eines Kegels
in unterschiedlichen Winkeln
•
Parabel
Kreis
Ellipse
Hyperbel
Apollonius definiert den Scheitelpunkt der
Parabel folgendermaßen:
„Als Durchmesser einer ebenen
Kurve bezeichne ich eine
Gerade, die irgendeine Schar
paralleler Sehnen halbiert, als
Scheitel der Kurve bezeichne
ich den auf der Kurve liegenden
Endpunkt des Durchmessers;
jene Parallelen aber bezeichne
ich als zum Durchmesser
geordnet gezogen.“
Siehe diese Site im Bereich Kurven und Bereich Affenkästen
Parabel
Kreis
Ellipse
Hyperbel
Apollonius als Astronom etwa 200 vChr.
Geozentrisches • Erde = Zentrum des Universums
Weltbild:
• Himmelskörper bewegen sich gleichförmig
• Bewegungen auf perfekten Kreisbahnen
• Schleifenbahnen der Planeten
Beobachtungen: • rückläufige Bewegung
• periodischen Helligkeitsschwankungen
Erklärung
durch Epizkeltheorie
Gliederung
≈ 360
≈ 200
Menaichmos
Apollonius
0 ≈ 150
Ptolemäus
15./16 Jhd.
16./17. Jhd.
Kopernikus Kepler
Parabel
Kreis
Ellipse
Hyperbel
Ptolemäus (ca. 100 – 160 n. Chr.)
• Erde im Mittelpunkt des Systems, aber nicht immer
Mittelpunkt des Deferenten-Kreises.
• „gemäßigte Geozentrik“ Kreisbewegungen nicht mehr
gleichförmig
• Um die Planetenbahnen zu erkären wurden bis zu 40
Epizykel von Epizyken… betrachtet.
• Dies war die vorherrschende astronomische Theorie für
ca. 1300 Jahre
Parabel
Kreis
Nikolaus Kopernikus
(1473 – 1543)
• Domherr in Königsberg
• Er stellt die Sonne in den
Mittelpunkt
• Erde rotiert um die eigene
Achse
• Das kopernikanische
Weltbild ist
„heliozentrisch“.
Ellipse
Hyperbel
Parabel
Kreis
Ellipse
Hyperbel
Johannes Kepler (1571 – 1630)
• Studium Apollonius‘ Kegellehre
• monatelange astronomische
Rechnungen
• Auswertung der Beobachtungsdaten von Tycho Brahe
• seine Planetengesetze machen die
Epizykeltheorie entbehrlich.
Parabel
Kreis
Ellipse
Kepler´ sche Gesetze
1. Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in
deren Brennpunkt die Sonne steht.
Hyperbel
Parabel
Kreis
Ellipse
Hyperbel
Kepler´ sche Gesetze
2. Der Radiusvektor (Verbindungslinie Sonne –
Planet) überstreicht in gleichen Zeiten gleiche
Flächen (= Flächensatz).
y
4
2
-1
1
-2
-4
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
x
Parabel
Kreis
Ellipse
Hyperbel
Kepler´ sche Gesetze
3. Die Quadrate der Umlaufzeiten verschiedener
Planeten verhalten sich wie die Kuben ihrer großen
Bahnachsen.
2
3
T1
a1

2
3
T2
a2
Alternative Formulierung
In unserem Sonnensystem gilt:
T
2

konstant
3
a
Das war die Reise von den
Kegelschnitten zur
Himmelsmechanik

Kegelschnitte, Himmel, Kepler