Designerkurven Bézierkurven im Unterricht
Baoswan Dzung Wong
Tag über Mathematik und Unterricht
MNG Rämibühl, 12. September 2012
1
Übersicht
•
•
•
•
•
•
Geschichtliches
Arten von Bézierkurven
Analytischer Zugang (nach Bézier)
Geometrischer Zugang (nach de Casteljau)
Eigenschaften von Bézierkurven
Bézierflächen
2
Geschichtliches:
das Kurvenlineal
3
Geschichtliches:
Pierre Bézier
4
Geschichtliches:
Paul Faget de Casteljau
5
Arten von Bézierkurven:
Mit gegebenen Endpunkten
P0
P1
P
• 1. Ordnung
P1
• 2. Ordnung
P
P0
P2
P2
• 3. Ordnung
P1
P
P0
P3
6
Arten von Bézierkurven:
2. Ordnung
7
Arten von Bézierkurven
2. Ordnung: Fadenspannbilder
8
Bézierkurve 2. Ordnung
in der Architektur
Fussgängerbrücke in Seoul, Korea
9
Arten von Bézierkurven 3. Ordnung
10
Bézierkurven in
Zeichenprogrammen
Schritt 1:
Werkzeugpalette/Linien/
S-förmige Linie anklicken
11
Bézierkurven in
Zeichenprogrammen
Schritt 2:
Grundlinie P0P3 definieren:
Anfangspunkt 1x anklicken
Endpunkt 2x anklicken
12
Bézierkurven in
Zeichenprogrammen
Schritt 3:
Grundlinie anklicken:
ctrl+Maustaste/Punkte bearbeiten/
Anfangspunkt P0 anklicken:
ctrl+Maustaste/Eckpunkte/
Blauen Griff zu P1 ziehen
13
Bézierkurven in
Zeichenprogrammen
Schritt 4:
Endpunkt P3 anklicken:
ctrl+Maustaste/Eckpunkte/
blauen Griff zu P2 ziehen
14
Eigenschaften
von Bézierkurven
3. Ordnung
•
•
•
•
Kurve beginnt in P0:
Kurve endet in P3:
Kurve startet in Richtung P0P1:
Kurve kommt aus Richtung P2P3:
P(0) = P0
P(1) = P3
P‘(0) = 3 P0 P1
P‘(1) = 3 P2 P3
15
Analytischer Zugang (Bézier)
• Ansatz:
P(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3
• Bedingungen: P(0) = P0
, P(1) = P3
P‘(0) = 3 P0 P1 , P‘(1) = 3 P2 P3
• Gleichungssystem nach ai auflösen
• ai in Ansatz einsetzen und nach Pi ordnen
3
• Resultat:
P(t)   Bk (t)  Pk
k 0
16
Analytischer Zugang (Bézier)
3
Kurvengleichung
P(t)   Bk (t)  Pk
k 0
B0(t) = (1-t)3
B1(t) = 3 (1-t)2 t
2
B
(t)
=
3
(1-t)
t
2

B3(t) =
t3
die bekannten Bernsteinpolynome sind.
wobei
17
Analytischer Zugang (Bézier)
Die Gleichung der Bézierkurve lautet also
3
P(t)   Bk (t)  Pk
k 0
wobei


3 k
Bk (t)    t (1 t) 3k
k 
k  0,1,2,3
0  t 1
18
Geometrischer Zugang (de Casteljau)
P1
Q2
P2
R3
Q3
S3
Q1
R2
P0
P3
Konstruktion eines Kurvenpunktes
19
Geometrischer Zugang:
Herleitung der Formel
Die Qi, Ri und Si sind konvexe Kombinationen der Pi, Qi und Ri:
Qi = (1-t) Pi-1 + t Pi,
Ri = (1-t) Qi-1 + t Qi,
Si = (1-t) Ri-1 + t Ri,
i = 1,2,3
i=
i=
2,3
3
wobei 0 < t < 1.
S3=P(t) durch die ursprünglich gegebenen Kontrollpunkte
P0P1P2P3 ausgedrückt ergibt
P(t) = (1-t)3 . P0+3(1-t)2 t . P1 + 3(1-t) t2 . P2 + t3 . P3
20
Geometrischer Zugang:
Bedeutung der Formel
Ein Punkt der Bézierkurve ist das gewichtete Mittel der
Kontrollpunkte
P(t) = (1-t)3 . P0 + 3(1-t)2 t . P1 + 3(1-t) t2 . P2 +
P(t) = B0(t) . P0 + B1(t)
.
P1 + B2(t)
.
t3
.
P3
P2 + B3(t) . P3
wobei 0 < t < 1 und
B0(t) = (1-t)3
B1(t) = 3 (1-t)2 t
B2(t) = 3 (1-t) t 2
B3(t) =
t3
21
Eigenschaften von Bézierkurven
•
•
•
•
•
•
Konvexe Hülle
Symmetrie
Variationsverminderung
„Selbstähnlichkeit“
Schnelle Berechnung
Lokale Kontrolle bei Zusammensetzung
22
Weitere Eigenschaft von Bézierkurven:
Trapezhöhe = 4/3 Kurvenhöhe
Bei trapezförmigem Kontrollpolygon:
a) Kurvenhochpunkt bei t = 1/2
b) Kurvenhochpunkt auf 3/4 der Trapezhöhe
P1
P2
P(1/2)
P0
P
3
23
Schülerarbeiten: Bézierkurven
24
Schülerarbeiten: Piktogramme
25
Bézierkurven in der Typographie
26
Vektorgraphik vs. Pixelgraphik
Vektorgraphik eignet sich für:
• Vergrösserung ohne Qualitätsverlust
(vgl. nebenstehendes Bild)
• sparsamen Speicherplatz
Pixelgraphik eignet sich für:
• Wiedergabe von Fotografien
27
Vektorgraphik
Wolke aus Bézierkurven
• 10 Bézierkurven
(12. Ordnung)
QuickTime™ and a
TIFF (Uncompressed) decompressor
are needed to see this picture.
• 200 Bézierkurven
(12. Ordnung)
QuickTime™ and a
TIFF (Uncompressed) decompressor
are needed to see this picture.
28
Vektorbild:
Wäsche im Schnee
29
Bézierflächen
Methode beim Modellieren mit Ton:
Überflüssiges
Material abstreichen
30
Bézierflächen:
Rechteckige Flächenstücke
Erzeugung durch Aneinanderreihen von Bézierkurven
P03
P02
P01
P00
P20
P33
P32
P31
P30
P10
31

Bézierflächen:
Rechteckige Flächenstücke
Kontrollnetz aus 4+4+4+4=16 Kontrollpunkten
3
3
j 0
k 0
P(s,t)   B j (s) Bk (t)Pkj
P(s,t)   B j (s)Bk (t)Pkj
j,k
32
Bézierflächen: Anwendungen
rechteckiger Flächenstücke
Äussere Karosserieteile,
wie Dach, Türe,
Motorhaube, usw.
33
Bézierflächen:
Dreieckige Flächenstücke
• Kontrollnetz aus 4+3+2+1=10 Kontrollpunkten
• Baryzentrische Koordinaten  0 , 1,  2
P(s,t) 
B
ijk
(s,t)Pijk
i j k 3

 3  i
Bijk (s,t) :   0 (s,t)  1j (s,t)   2k (s,t)
ijk
 3 
3!
:
 
ijk  i! j!k!
34
Bézierflächen: Anwendungen
dreieckiger Flächenstücke
Für kompliziertere Formen:
innere Teile der Automobilkarosse, Lancôme-Werbung, usw.
35

Folien ppt