Mathematik Jahrgangsstufe 13
Winkel zwischen Vektoren
Anke Braun
Der Winkel zwischen Vektoren
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Winkel zwischen Vektoren
Anke Braun
Bei Windflaute wurden stromaufwärts fahrende Schiffe früher oft
an langen Seilen von Menschen oder von Tieren geschleppt: Bei
diesem „Treideln“ bringt z.B. ein Pferdegespann ständig eine
bestimmte Kraft auf. Die Arbeit, die am Schiff verrichtet wird,
hängt aber ganz stark von dem Winkel ab, den das Seil und die
Flussrichtung bilden. Auf den folgenden Seiten wollen wir uns
anschauen wie man solche Winkel zwischen zwei Vektoren
berechnen kann.

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Winkel zwischen Vektoren
Anke Braun
Durch einige Überlegungen, die wir hier nicht betrachten wollen,
erhält man für den Winkel zwischen zwei Vektoren die folgende
Gleichung:
a1  b1  a2  b2  a3  b3
cos   
 
ab
 a1 
 b1 



 


wobeia   a2  und b   b2  und a  a1 ²  a2 ²  a3 ²
a 
b 
 3
 3

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Berechne die Winkel zwischen den Vektoren

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Lösungen:
(1) 73,125°
(6) 45°
(2) 72,080°
(7) 90°
(3) 70,893°
(8) 86,782°
(4) 75,504°
(9) 90°
(5) 73,937°

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Das Skalarprodukt
Wir wollen uns nun den Zähler auf der rechten Seite der
Gleichung ein wenig genauer anschauen.
cos   
a1  b1  a2  b2  a3  b3
 
ab
Es handelt sich um eine Verknüpfung (Multiplikation) der
beiden Vektoren a und b. Bei dieser Multiplikation erhält man
als Ergebnis immer eine Zahl (Skalar) und keinen Vektor. Man
spricht deswegen von der Skalarmultiplikation. Man schreibt
kurz:


a  b  a1  b1  a2  b2  a3  b3

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Das Skalarprodukt
Was bedeutet das denn geometrisch?
Wenn wir unsere gegebene Gleichung umstellen, dann
erhalten wir:
 
   
a b
cos      cos  a  b  a  b
ab

ba    
   
   a  b  a  b  a  ba  a  b
b
Klicke nun auf das grüne Fragezeichen und bearbeite die
Aufgaben schriftlich.
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Berechne das Skalarprodukt der Vektoren!
Stehen die Vektoren senkrecht aufeinander?

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Lösungen
1) 15
6) 3
2) 40
7) 0 Vektoren stehen senkrecht aufeinander
3) 3
8) 5
4) -5
9) 0 Vektoren stehen senkrecht aufeinander
5) 20


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