Lehrplan Mathematik Jgst. 8
http://isb.contentserv.net/g8/
http://www.isb.bayern.de
Kürzungen

Bruchungleichungen

Gleichungen und Ungleichungen mit Beträgen

Vierecke, „Beweistechniken“

Vektorbegriff

Tangentenkonstruktionen; Sehnenviereck;
Tangentenviereck; Umfangswinkel

Flächenmessung bei Dreiecken und Vierecken

Einführung in die Raumgeometrie, Schrägbild

…
Inhalte
8.1 Funktionale Zusammenhänge (ca. 41 Std.)




Proportionalität (ca. 9 Std.)
Funktion und Term (ca. 9 Std.)
Lineare Funktion (ca. 13 Std.)
Lineare Gleichungssysteme (ca. 10 Std.)
8.2 Stochastik: Laplace-Experimente (ca. 12 Std.)
8.3 Funktionale Zusammenhänge: elementare
gebrochen-rationale Funktionen (ca. 16 Std.)
8.4 Strahlensatz und Ähnlichkeit (ca. 15 Std.)
M 8.1.1 Proportionalität (ca. 9 Std.)



charakteristische Eigenschaften direkt und indirekt
proportionaler Größen in Fachsprache beschreiben
Anwendung der neuen Kenntnisse bei Schlussrechnung sowie bei
naturwissenschaftlichen Fragestellungen
experimentell Zusammenhang zwischen Kreisumfang und
Durchmesser ermitteln


direkte Proportionalität, dabei Zusammenhang zwischen
Kreisumfang und Radius
indirekte Proportionalität
M 8.1.2 Funktion und Term (ca. 9 Std.)

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



unterschiedlichste funktionale Abhängigkeiten (z. B.
Fieberkurven, Klimadiagramme, Handy-Tarife)
Unterschiedlichste Darstellungsformen, z. B. Tabellen,
Diagramme, Terme
Beispiele verschiedenartiger Funktionen
spezielles Bsp. für nichtlinearen Zusammenhang: Kreisinhalt
(anschauliche Herleitung)
Zusammenhang zwischen Term und Graph (Funktionsplotter)
Vertiefen von Rechenfertigkeiten (Werte von Bruchtermen,
Wertetabellen)
M 8.1.3 Lineare Funktion (ca. 13 Std.)

Anknüpfungen an direkte Proportionalität und Alltag

Vertrautwerden mit diesem grundlegenden Funktionstyp

Bestimmung von Nullstellen führt auf das Lösen von
Gleichungen



Definition der linearen Funktion, Interpretation der Parameter
Arbeiten mit linearen Funktionen und ihren Graphen
Lösen linearer Ungleichungen (rechnerische Lösung und graphische
Veranschaulichung)
M 8.1.4 Lineare Gleichungssysteme (ca. 10 Std.)


Schüler erkennen: Kenntnisse über lineare Funktionen bei der
Lösung hilfreich
Bearbeitung inner- und außermathematischer Fragestellungen


graphische und rechnerische Lösung linearer Gleichungssysteme mit
zwei Unbekannten
Anwendung in Sachzusammenhängen
- mind. 1 rechnerisches Lösungsverfahren
- kein Schwerpunkt auf „technischer Rechenfertigkeit“
M 8.1.4 Lineare Gleichungssysteme (ca. 10 Std.)


Schüler erkennen: Kenntnisse über lineare Funktionen bei der
Lösung hilfreich
Bearbeitung inner- und außermathematischer Fragestellungen


graphische und rechnerische Lösung linearer Gleichungssysteme mit
zwei Unbekannten
Anwendung in Sachzusammenhängen
1.
Gleichungen mit zwei Variablen
2.
Ungleichungen mit zwei Variablen*
3.
Gleichungssysteme mit 2 Variablen
4.
Einsetzungsverfahren
5.
Gleichsetzungsverfahren
6.
Additionsverfahren
7.
Sachaufgaben
8.
Gleichungssysteme mit 3 Variablen*
M 8.2 Stochastik: Laplace-Experimente (ca. 12 Std.)

Anknüpfen an Unterstufe: Zufallsexperimente, absolute und
relative Häufigkeit

intuitiver, statistischer „Wahrscheinlichkeitsbegriff“

Fachsprache

Baumdiagramme und geschicktes Abzählen

Einsicht, dass eine umfassendere Formulierung des
Wahrscheinlichkeitsbegriffs nötig ist



Ergebnis, Ergebnisraum, Ereignis
Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten, Zählprinzip
Abgrenzung des Begriffs Laplace-Experiment durch Beispiele
M 8.3 Funktionale Zusammenhänge: elementare
gebrochen-rationale Funktionen (ca. 16 Std.)


Anknüpfen an indirekte Proportionalität
Schnittpunktbestimmungen führen auf Bruchgleichungen
(flexibel lösen)

Rechnen mit Bruchtermen

Rechnen mit Potenzen mit ganzzahligen Exponenten



Beispiele gebrochen-rationaler Funktionen
einfache Bruchgleichungen und Bruchterme, Auflösen von Formeln
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
M 8.4 Strahlensatz und Ähnlichkeit (ca. 15 Std.)

Verbindung von Geometrie und Algebra

Lösen von Bruchgleichungen

Ähnlichkeitsbegriff im Zusammenhang mit dem maßstäblichen
Vergrößern und Verkleinern von Figuren; funktionale
Zusammenhänge


Strahlensätze
Ähnlichkeit von Dreiecken
M 8.1.1 Proportionalität - Palma
Aufgabe: Für eine Klassenfahrt wird ein Reisebus zu einem Festpreis
gebucht. Wenn alle 30 Schüler mitfahren, muss jeder 20 EUR bezahlen.
Wie viel muss jeder bezahlen, wenn nur 25 Schüler mitfahren?
(mathematik lehren, Heft 118)
M 8.1.1 Proportionalität - NICHT
200 Arbeiter arbeiten an 225 Tagen jeweils 8 h,
nach 90 Tagen wird 1/5 der Arbeiter abgezogen, der Rest arbeitet dafür eine Stunde mehr.
a)Wann wird der Tunnel fertig?
b)Wie viele Arbeiter hätte man nach 90 Tagen
abziehen können, damit der Tunnel nach 290
Tagen fertig wird, wenn die verbleibenden
Arbeiter täglich 6 h arbeiten?
Der Kreisumfang in Jahrgangsstufe 8
U
 const.  
d
Funktionale Zusammenhänge in Jahrgangsstufe 8
Lehrer  Schuhgröße
aus http://modellversuch-mathematik.he.schule.de/
Funktionale Zusammenhänge in Jahrgangsstufe 8
Gegeben sind die Funktionen
2
f : x  0,5x  1und g : x 
.
x 1
a) Gib den Funktionsterm von f und
Gleichung von g an.
b) Liegt A(-9 / -5,5) auf Gf?
c) Zeichne Gf und Gg in ein KOS.
d) Für welche x-Werte sind die
Funktionswerte von f kleiner als
Null? Was bedeutet dies für den
Graphen Gf?
Vertiefen der Rechenfertigkeit in M 8.1.2
Zieltext „M 8.1.2 Funktion und Term
„... vertiefen sie ihre Rechenfertigkeit auch anhand einfacher
Bruchterme …“
An nicht zu komplexe Beispiele folgender Art ist bei der Berechnung von
Termwerten gedacht:
4 x2
x2
;
1 x
x 1
;
x2
x2  x
Der Kreisinhalt in Jahrgangsstufe 8
A : r  A(r )    r
2
Der Kreisinhalt in Jahrgangsstufe 8
Zusammenfassung: Kreis in Jgst. 8 (ca. 4 Std.)

experimentell Zusammenhang zwischen Kreisumfang und Durchmesser
ermitteln:
U
 const.  
d

Flächeninhalt als Beispiel für
eine nicht-lineare Funktion
A : r  A(r )    r 2



keine exakte Herleitung von π
keine Formeln für Bogenmaß und Kreisteile, nur intuitiv erkennbare
Bruchteile: z. B. ¼, 1/6, 1/8
Wiederaufgreifen in Jgst. 9 und 10 explizit im LP verankert
Lineare Funktion in Jahrgangsstufe 8
1
y  x2
2
t
1
x20
2
1
x20
2
Ergebnisse BMT 2002
25,9 %, 28,9 %
Stochastik in Jahrgangsstufe 8
Stochastik in Jahrgangsstufe 8
Stochastik in Jahrgangsstufe 8
Das Glücksrad wird einmal gedreht. Klaus, Peter und Irmi
geben folgende Ergebnisräume an:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},
{rot, grün, blau},
{gerade Ziffer, ungerade Ziffer}.
Beurteile, ob man mit diesen Ergebnisräumen
Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Formel von Laplace
berechnen kann.
6
5
7
4
8
3
11
2
Beispielaufgabe: Bruchterm in Jgst. 7
3
T(a) 
1 a
a) Berechne T(4), T(-5) und T( 1/2).
b) Welchen Wert der Variablen a darfst du nicht in diesen
Term einsetzen?
c) Wo liegen die Zahlen auf dem Zahlenstrahl, die beim
Einsetzen möglichst große Termwerte ergeben?
Beispielaufgabe: Bruchterme in Jgst. 8
Vereinfache die beiden Terme, falls dies möglich ist.
a)
9x
3x2  6x
b)
5
5  x2
Begründe, dass die Termwerte von b) nicht größer als 1 werden
können, egal welche Zahl man für x einsetzt.
Ergebnisse BMT 2001
56,0 %, 13,6 %, 24,6 %
Beispiele gebrochen-rationaler Funktionen

einfache Funktionen als gebr.-rat. erkennen und zeichnen
können (Wertetabelle)
Termbeispiele:
1
x
4
4
5
2x 2
1
,
,
,
 1, 2 , 2
, 2 2
2x x  3 x  2 x  2
x
x 1
x

maximal eine Polstelle, keine schiefen Asymptoten

keine Systematik mit Zähler- und Nennergrad


Funktionsplotter zur Visualisierung verwenden,
Kurvenverlauf/Eigenschaften des Graphen in einfachen Fällen
aus Term begründen
kein Thematisieren des Grenzwertbegriffs, nur aus dem Term
und Graph Annäherungen erkennen
Gebrochen-rationale Funktionen und
Bruchgleichungen


1
aus verschiedenen Graphen erkennen
2x
1
Näherungslösung der Gleichung x  1 
graphisch
2x
Funktion x 
bestimmen
Bruchgleichungen
1. Bruchgleichungen, z. B. Schnittpunkt der Graphen von Funktionen mit
Term
f (x) 
x 1
3
 1 und g( x ) 
x 1
x2
2. Auflösen von Formeln, z. B. Flächenformel Trapez, Linsengleichung
Bruchgleichungen in Jahrgangsstufe 8 - NICHT
Ergebnisse BMT 2003 - 31,3 %
31,3 %
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten in
Jahrgangsstufe 8
1
4 2
3
6
0,5 , (2 ) , a : a , (3 x )
2
 9x , x
3
n
 x y
 x,  5 5 3
x y x
3
4
Finde alle zueinander äquivalenten Terme:
x10 , x-6 , (x-2)4 , x5 + x5 , (-x)6 , x-8 , x15:x5 , x-22x16 , -x6



2
Vielen Dank für Ihre
Aufmerksamkeit!

Christian Scheungrab
Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung, Abt. Gym.
Schellingstr. 155


80797 München
089 – 2170 – 2138
[email protected]

Lehrplan Mathematik Jgst. 7 und Ausblick auf die Jgst. 11 und 12