Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik
Grundbegriffe
der Schulgeometrie
SS 2008 Teil 3
(M. Hartmann)
Analogisieren in der Inhaltslehre
Analogisieren im Bereich der
Inhaltslehre
Analogisieren in der Inhaltslehre: 1. Beispiel vom Flächen- zum Volumenbegriff
Beispiel 1: Vom Flächeninhalts- zum Volumenbegriff
Begriffliche
Grundidee:
Auslegen
Abzählverfahren
liefert Formel für
Sonderfall
Rückführung
auf Sonderfall
durch Umbau
Triangulation
G3
G1
G4
G2
Analogisieren
Analogisieren
Analogisieren
Analogisieren
Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode
Beispiel 2: Die vielfältigen Analogisierungsmöglichkeiten der Tortenstückmethode
½U
r
Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode
Anwendung auf Kreissektorinhalt
½b
j/360 • AKreis
Rechteck ?
r
Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode
Anwendung auf Kreisring
U1
U2
½ U2 + ½ U1 = Um
Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode
Anwendung auf Röhre
Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode
Anwendung auf Röhre
UMittel
d
h
UMittel
d
VRöhre = U Mittel ∙ d∙h
h
Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode
Anwendung auf Torus
Mittlerer Umfang U
Querschnittsfläche A
Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode
Anwendung auf Torus
Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode
Anwendung auf Torus
UMittel
Querschnittsfläche A
A
UMittel
VTorus = A ∙ U Mittel
Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode
Tortenstückmethode etwas anders
Inhalt
=
½ Umfang • r
Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode
Tortenstückmethode etwas anders
Inhalt
=
½ Umfang • r
Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode
Anwendung auf Kugel
Beziehung zwischen Oberfläche und Kugel
Beziehung zwischen Oberfläche und Kugel
Analogisieren in der Inhaltslehre: 3. Beispiel Kreisfläche durch Vergleich
Beispiel 3: Formelbildung für Kreis und Kugel
Grobabschätzungen
führen auf Formeln
vom Typ:
Kreisumfang = 3,14 • d
A
B
Kugeloberfläche = 4 • AKreis
Inhalt = x • Vergleichsinhalt
2d < UKreis< 4d
Analogisieren
Kreisfläche = 3,14 • r²
Analogisieren
1•AKreis < OHalbkugel< 3•AKreis
Kugelvolumen = 4 • VKegel
2r² < AKreis < 4r²
Analogisieren
1•VKegel < VHalbkugel < 3•VKegel
Analogisieren in der Inhaltslehre: 3. Beispiel Kreisfläche durch Vergleich
Kreisumfang = 3,14 • d
Gute ikonische Repräsentation
für den Unterricht
Kugeloberfläche = 4 • AKreis
Analogisieren
Kreisfläche = 3,14 • r²
Analogisieren
Kugelvolumen = 4 • VKegel
Analogisieren
Analogisieren
Bedeutung für den Unterricht
• Die Schüler können an Standardinhalten
unmittelbar die Schlagkraft einer heuristischen
Methode erfahren
• Die hohe Vielfalt der Entdeckungsmöglichkeiten
machen das kreative Moment der Mathematik
erfahrbar
• Präzises verbales Beschreiben wird geübt
• Nachhaltigkeit des Lernens wird verbessert
– Alte Inhalte werden wiederholt,
– neue Inhalte besser vernetzt
Fachmathematischer Aspekt
Welche Kreationen sind mathematisch wertvoll?
• Prinzipiell können jederzeit beliebige (neue)
mathematische Begriffe gebildet werden
• Entscheidend für das „Überleben“ eines Begriffs ist aber
dessen mathematische Beziehungshaltigkeit!
1. Bsp.: Ein Viereck mit drei gleichlangen Seiten heißt
„Dreiseitgleich“.
– Solange man keine anderen Eigenschaften des Begriffs findet, die in
Beziehung zueinander stehen, ist das Dreiseitgleich mathematisch
langweilig und damit zum Aussterben verurteilt...
2. Bsp.: Ein Viereck, dessen Gegenseiten summengleich sind, heißt
„Gegenseitensummerich“.
– Beim „Gegenseitensummerich“ findet man eine zusätzliche
interessante Eigenschaft: Dieses Viereck besitzt stets einen Inkreis
– Der „Gegenseitensummerich“ wird also weiterleben (Wenn er dies
auch entsprechend seiner Inkreiseigenschaft normalerweise unter
dem Decknamen Tangentenviereck tut)

PPT 3 - Didaktik der Mathematik