Das Standardmodell der
Teilchenphysik
Thomas Lohse
Schule für Astroteilchenphysik 2007
Universität Erlangen-Nürnberg
Themen
I. Teilchen und Kräfte
II. Lagrangedichten und Feynmandiagramme
III. Eichsymmetrien
IV. Das SU2U1-Modell
V. Die Natur der Masse
Methodik: Gerüst auf Folien, Details (Mathe) an Tafel
  c 1
Heavyside-Lorentz-Einheiten
e  4πα  0
α
1
137 , 03599911 ( 46)
Diese Vorlesung: Das Standard-Standardmodell
Glashow
Salam
Weinberg
d. h. mNeutrino  0 (eine Entscheidung, kein Zwang)
Das Nicht-ganz-so-Standard-Standardmodell:
mν  0
 Neutrino-Oszillationen
 Vorlesung von Christian Weinheimer
Nicht-Standard-Modelle: nächstes Mal 
Themen
I. Teilchen und Kräfte
II. Lagrangedichten und Feynmandiagramme
III. Eichsymmetrien
IV. Das SU2U1-Modell
V. Die Natur der Masse
Periodensystem der Atome
Perioden
Gruppen
Periodensystem der elementaren
Materieteilchen
Teilchenphysik:
Perioden = Familien
Masse GeV
Eigenschaften
104
103
102
101
100
101
102
103
109
1010
1011
t
b
c 
s

d
u
e
 
e
Spin-½ Fermionen
Spektrum bisher unerklärt
stets gebunden in Hadronen
 nicht direkt nachweisbar
Baryon: 3 (Valenz-) Quarks
existieren als freie Teilchen
 direkt nachweisbar
Meson: 1 (Valenz-) Quark
1 (Valenz-) Antiquark
Die elementaren Kraftteilchen
Graviton
Spin 2 M  0
Photon
Spin 1 M  0
8 Gluonen g
Spin 1 M  0 R  1 fm
W W
Z
Spin 1 M  8090 GeV R  103 fm
R

R
Prinzip von Teilchendetektoren:
SiliziumVertexdetektor
Spurdetektor
teilweise im B-Feld
Modularer Aufbau
elektromagnetisches
MyonKalorimeter
Spurkammern
Teilchen-ID
(Cherenkov,TRD)
hadronisches
Kalorimeter

e

p, , K
n, KL

Innen
Außen
Beispiel: Elektronen im Detektor
 
 
e e e e
e
e
Beispiel: Myonen und Photonen im Detektor
 


e e μ μ γγ


γ
γ
Beispiel: ee-Vernichtung in Quarks
Störungstheoretischer
Bereich
q
e
e
q
e
e
≲ 0,1 fm

Überlagerung von
Quantenfluktuationen
q

q
Z

…
Beispiel: ee-Vernichtung
(klassiches ) Kraftfeld der starken WW
(Farbstring)
q
q
q
q
Nichtstörungstheoretischer
Bereich
Beispiel: ee-Vernichtung
Hadronisierung durch Polarisation von
Quark-Antiquark-Quantenfluktuationen
q5
q4
q
q1
q1
q2
q2
q3
q5
q6
q4
q3
Fragmentation in
2 Jets von Hadronen
q6
q
Beispiel: ee-Vernichtung
Formierung von
Hadronen
q5
q4
q
Zerfall kurzlebiger
Resonanzen
q1
q1
q2
q2
q3
q3
q4
q5
q6
q6
q
Beispiel: ee-Vernichtung
Strahlrohr des
Beschleunigers
Zoom Out:
 1013
Innerste
Detektorlage
 
Quarks im
Detektor
e e  qq
Beispiel: Gluonen im Detektor
 
e e  q q g  3 Jets
Typ 1: Offenes Vorwärtsspektrometer
• typisch für Experimente mit festen Targets
• Spezialanwendung bei Collidern
Der LHCb-Detektor
20 m
Typ 2: 4-Detektoren an Collidern, zylindersymmetrisch
ATLAS
Länge:
46 m
Höhe:
24 m
Gewicht:
7000 t
elektr. Kanäle:108
Themen
I. Teilchen und Kräfte
II. Lagrangedichten und Feynmandiagramme
III. Eichsymmetrien
IV. Das SU2U1-Modell
V. Die Natur der Masse
Richard P. Feynman
Lagrange-Formalismus der Feldtheorie



0
1
2
3
Raumzeit: x  t, r   x , x , x , x  x 0 ,x1 ,x 2  x 3 

 μ    xμ  t , 
   
(klassisches) Feld bzw. Feldkomponente:
x 
 μ x 
x 
 Kontinuum verallgemeinerter Koordinaten
 zugehörige verallgemeinerte Geschwindigkeiten
(klassische) Wirkung:
S   d t  d3r L,  μ 
t2
t1
Lagrangedichte
klassiche Lagrangefunktion L
Hamiltonsches Prinzip:
 Euler-Lagrange-Gl.:
δS  0
L
L
μ

0
 μ x  x 
Bemerkung: L Lorentz-Skalar  E.-L.-Gl. automatisch
relativistisch kovariant!
Beispiel: neutrales Teilchen, Spin 0 (Lorentz-Skalar), Masse m
 reelles skalares Feld :
 Klein-Gordon-Gl.:
L
 
μ
1
2
  
μ
μ
1
2
m
2 2
kinetischer Term Massenterm
μ

 m2 x   0
Beispiel: geladenes Teilchen, Spin 0 (Lorentz-Skalar), Masse m
 komplexes skalares Feld : 2 Freiheitsgrade  , 
(physikalisch:  und  sind Teilchen entgegengesetzter Ladung)
 
 Klein-Gordon-Gl.:  
 
L   μ     m     μ   m 

2
2 
μ
μ
μ
μ
μ
2
2

 m  x   0
 m x   0
2
2

Gleichungen äquivalent solange Teilchen frei sind (keine WW)
Beispiel: Spin-½ Teilchen (Lorentz-Spinor), Masse m
 4-komponentiges komplexes Spinorfeld 
(physikalisch: Teilchen & Antiteilchen, jeweils Spin up & down)


L  ψx iγμμ  m ψx
Freiheitsgrade: 4 Komponenten von ψ
4 Komponenten von ψ 
 Dirac-Gleichung:
iγ 
μ
44 Dirac-Matrizen:
γ γ γ γ
μ
ν
ν μ
γ 
μ 
μ
 0
ψ γ

 m ψx   0
 γ , γ  2g
μ
γ γ γ
ν
0 μ 0
μν
I44
Beispiel: Spin-1 Teilchen (Lorentz-Vektor), m  0 ( Photon)
 4-Vektorpotential
 Feldstärke-Tensor
 

A  , A
μν
μ ν
ν μ
F   A  A
μ
L  F Fμν
1
4
μν
 Vakuum-Maxwell-Gleichungen:
Lorentz-Eichung:
μ Fμν  0
μ Aμ  0  μ μ Aν  0
 Jede Komponente A erfüllt Klein-Gordon-Gl. mit m  0
Faktor 1  korrekte Feldenergie
4
Beispiel: Geladenes Spin-½ Feld in WW mit e.m.-Feld
 4-komponentiges komplexes Spinorfeld , Ladung q
 4-Vektorpotential

  des e.m.-Feldes

A  , A
μ

L  ψx iγ Dμ  m ψx 
μ
kovariante Ableitung:
 Dirac-Gleichung:
L  Lfrei  Lint
eQψ  q ψψ
Dμ  μ  ieQAμ
iγ D
μ
μ
Ladungszahl-Operator

 m ψx  0


Lint  qψ ψxγ ψx  Aμ
e.m.-Dirac-Stromdichte
μ
μ
j
Übergang zur Quantenfeldtheorie
klassiche Felder  Erzeugungs- / Vernichtungsoperatoren
Achtung: Vertauschungsrelationen!
Beispiele:
ψ
Vernichtung eines Elektrons
e Erzeugung eines Positrons
ψ
Erzeugung eines Elektrons
e Vernichtung eines Positrons
Aμ
Erzeugung / Vernichtung eines Photons
iLint  fundamentale WW-Kopplungen („Vertizes”)
 diagrammatisch darstellbar nach Feynman

e
ψx 
e
Kopplungsfaktor
μ
ie γ
Vernichtung
eines Elektrons
Aμ x 

iLint  iqψ ψx γ ψx  Aμ
Beispiel:
μ
Erzeugung
eines Photons
ψx 

Erzeugung
eines Elektrons
Kopplungsstärke  q
Zeit
iLint  fundamentale WW-Kopplungen („Vertizes”)
 diagrammatisch darstellbar nach Feynman
Beispiel:
ψx 

e
Erzeugung
eines Positrons
ie γ

Aμ x 

iLint  iqψ ψx γ ψx  Aμ
μ
Vernichtung
eines Photons
μ
ψx 
Anti-Fermionen ≙
Fermionen, die
sich rückwärts in
der Zeit bewegen
Erzeugung
eines Elektrons
e
Zeit
Feynman-Diagramme für Streuamplituden


iLint  i qψ ψx γ ψx  Aμ
μ
 e  4 πα 
4π
137
„klein“
 Störungstheorie: Entwicklung nach Potenzen von e
 graphische Darstellung von Streuamplituden im Impulsraum
als Feynman-Diagramme
& Feynman-Regeln zur Übersetzung Diagramm  Amplitude
 neues Element: virtuelle Austauschteilchen  Propagatoren
Beispiel: Paar-Vernichtung


 i g μν

M   i j  q 2 i ε   i J
e
p1
μ
μ

ν
p3
p2
e
j  e vp1 γ up 2 
μ
μ
Virtuelles Photon
 i g μν
Propagator
q 2 i ε

J
j
q  p1  p2

p4
J
ν
ν

ν


 eu p 4 γ vp3 
ε  0
Beispiel: Compton-Streuung


M  u p 4   ie γ  εν p3 

εμ p1 
e
u p 2 
ν
p1
p2

ie γ
μ

 q m
  ε p  ieγ μ  up 
μ
1
2
i ε
i qα γα m
2
2
ie γ
ν
q  p1  p2
p3
εν p3 

4-Vektor der
Polarisation
p4
Virtuelles Elektron
i qα γα m
Propagator 2
q  m 2 i ε



e
u p 4 
Quantenkorrekturen: klein aber wichtig

e
p1
/Z
e
p2
1-SchleifenKorrektur
p3

/Z
Hier läuft jedes
Teilchen um, das an 
/ Z koppelt
p4

• Sensitivität auf schwere Teilchen (top, Higgs, )
• Sensitivität auf neue Teilchen und neue Kräfte
 Präzisionsexperimente können Physik weit jenseits der
verfügbaren Energie entdecken
Themen
I. Teilchen und Kräfte
II. Lagrangedichten und Feynmandiagramme
III. Eichsymmetrien
IV. Das SU2U1-Modell
V. Die Natur der Masse
C.N. Yang
R.L. Mills
Elektromagnetische Eichinvarianz
E1
E2
E3 
 0
E

0
B

B
μν
μ ν
ν μ
1
3
2
Feldstärketensor: F   A   A  
B1 
  E 2  B3 0
E

B

B
0
2
1
 3

physikalische Felder
Klassich: Potential ist unbeobachtbare Hilfsgröße, viele
Potentiale beschreiben die gleichen e.m.-Felder 
Eichsymmetrie: Der Feldstärketensor ist invariant unter der
μ
μ
μ
Eichtransformation
A  A   x 
für beliebige (glatte) Funktionen x.
Quantenmechanische Phaseninvarianz
Freies Elektron:


L  ψ i γ μ  m ψ
μ
festgelegt bis auf eine unbeobachtbare Phase 
Phasensymmetrie: L ist invariant unter der
globalen Phasentransformation
ψ  ψe
iα
mit beliebiger, fester Phase 
Die Phasentransformationen ei bilden die
Lie-Gruppe
U1
• U  unitäre Matrizen: M   M 1
• 1  11 Matrizen (Zahlen)
 und was wäre, wenn   x 
Lokale U(1)-Trafo:

ψe

L  ψ i γ μ  m ψ
μ
i αx 

ψ


L  ψ γ ψ μαx
μ
 nicht invariant
 es sei denn 
Aμ  Aμ  μ x 
Die Forderung der lokalen U(1)-Symmetrie „erzwingt“
die Einführung eines e.m.-Feldes. Phasentrafos und
Eichtrafos hängen zusammen!
Die Theorie zur lokalen U(1)-Symmetrie
Ersetze  durch
kovariante Ableitung:
Dμ  μ  ieQAμ
Ladungszahl-Operator
Eichtransformation:
ψe
ψ
ψx   e
ψx 

i Q α x 
1
A μ x   A μ x   e  μ αx 
Dμ ψ  e
Dμ ψ
i Q α x 
i Qαx 
Invariant:
Quantenelektrodynamik


L  ψx  iγ Dμ  m ψx   Fμν F
μ
1
4
μν
Experimenteller Test: Aharonov-Bohm-Effekt
Elektronen

AI 
B-Feld
Weg 1
δαI 
Weg 2
Solenoidspule,
Strom I
• beide Wege im feldfreien Raum
• Vektorpotential erzeugt relativen Phasenschub der Wellenfktn.
Das Möllenstedt-Experiment
• Nachweis des Zusammenhangs Aμ  α
• A ist quantenmechanisch relevante physikalische Größe
Lokale U(1)-Symmetrie  QED
Quantenelektrodynamik


L  ψx  iγ Dμ  m ψx   Fμν F
μ
1
4
μν
Cool !!!
Verallgemeinerung 
Andere Kräfte  Andere Eichsymmetrien
Exkurs: Die Symmetriegruppe SU(N)
Lie-Gruppen:
• bestehen aus Transformationen U(1,2,,m)
• mit kontinuierlichen Parametern 1,2,,m
• mit U(0,0,,0)  Id  1
Sophus Lie
• und U(1,2,,m) entsteht durch unendliche Kette
infinitesimaler Transformationen U(d1,d2,,dm)
N
U
S
Fundamentaldarstellung durch NN-Matrizen: U
Die Matrizen sind unitär: UU  UU  INN
Determinante positiv:
det U  1
Physikalische Bedeutung einer SU(N)- „Drehung“
  Teilchen in N Variationen 1 , 2 ,  , N
ψN
1,,N  innere
Ladungsquantenzahl
ψ1
ψ2
ψ3
SU(N)
ψ9
ψ8
ψ 4 S  „Drehung” stetig
ψ5
ψ7
ψ6
U   bleibt normiert
1 verbunden
„Spiegelung”)
mit
(keine
Beispiel: Die starke Ladung der Quarks  starke WW
 QuarkVarianten
R
e
q
e
q
e

e

2
2

Messung  Quarks kommen in N  3 Varianten vor
Innere Quantenzahl  „Farbe” (1, 2, 3 oder r, g, b)
Lokale SU(3)-Symmetrie  Quantenchromodynamik
Infinitesimale SU(N)-Transformation
M SU N infinitesimal  M  I NN  idT
infinitesimale NN Matrix
M unitär  dT hermitesch, d. h. dT   dT
T rdT   0
det M  1  dT spurlos, d. h.
hermitesche, spurlose NN-Matrizen  Vektorraum, dim  N2  1
Basismatrizen (nicht eindeutig!):

a
Standard-Normierung: T r T T
M  I NN  i d T
a
a
Generatoren der SU(N)
Ta , a  1, 2, ... , N21
b

1
2
δ
ab
(a  1, ..., N 1 summiert)
2
infinitesimale Drehwinkel
Die Exponentialkonstruktion

infinitesimal: M  I NN  i d T  I NN  i dαT
a
beachte:
lim 1 
n 
 endliche Trafo:
U(1)
iβ
iβ
e
x
 


a a
Mα   exp iαT  exp iα T
SU(N)
abelsch
e e  e e
iα

x n
n
a
iα
Lie-Algebra der SU(N):

i αT
e

nicht-abelsch


iβ T i.a. iβ T
e
e
T , T   if
a
b

a bc
T

i αT
e
c
fabc : Strukturkonstanten  reell, total antisymmetrisch
Beispiel:
N2
SU(2)
Generatoren:
Pauli-Matrizen:
Ta  12 τa
1
τ  10 10
Strukturkonstanten: f
Beispiel:
SU(3)
 
abc
ε
N2  1  3
τ
2
 
0 i
i 0
τ 
3
 
1 0
0 1
abc
N3
N2  1  8
a
T a  12 λ a
λ  Gell-Mann-Matrizen
0
0 i 0 
1 0 0
0 0 1
2
3
4



0  λ   i 0 0  λ   0 1 0  λ   0 0 0 
0
 0 0 0
 0 0 0
 1 0 0
Generatoren:
0

λ  1
0
1
0
0
0

λ  0
i
0 i
0 0
0 0
1
 λ 6   00 00 10  λ 7   00 00 0i  λ8  1  01 01 00 
3 0 0 2

 0 1 0
 0 i 0


123
 1 ; f 458  f 678  23
Strukturkonstanten: f
f 147  f 246  f 257  f 345  f 516  f 637  12
5
Konstruktion einer SU(N) Eichtheorie
Spinor mit N Ladungszuständen, genannt Düfte:
ψx  
Freies Teilchen:
ψ
2
ψ

N
ψ
1
Jede der N
Komponenten ist ein
Spinor mit 4
Komponenten!


L  ψx iγ μ  m ψx
N
 Kurzschreibweise für
μ


L   ψ k x  iγ μ  μ  m ψ k x 
k 1
Forderung: Lokale SU(N)-Invarianz bei Düfte-Drehung
Konsequenz der Symmetrie-Forderung:
U(1)-Symmetrie
 1 Photon
A μ x 
Eichtransformation:
ψe
i α  x Q
Dμ ψ  e
i α  x Q
ψ
Dμ ψ
Kovariante Ableitung:
Dμ  μ  ieQAμ
Ladungszahl-Operator
 Generator der U(1)
SU(N)-Symmetrie
 N2  1 Duftonen
A x 
Eichtransformation:


ψe
Dμ ψ  e
i α  x T


i α  x T
a
μ
ψ
Dμ ψ
Kovariante Ableitung:
Dμ  μ  igT A
a
a
μ
Einheits-Duftladung
Konsequenz der Symmetrie-Forderung:
U(1)-Symmetrie
 1 Photon
A μ x 
Eichtransformation:
ψe
i α  x Q
Dμ ψ  e
i α  x Q
ψ
Dμ ψ
Kovariante Ableitung:
Dμ  μ  ieQAμ
Feldstärketensor:
Fμν  μ Aν   ν Aμ
SU(N)-Symmetrie
 N2  1 Duftonen
A x 
Eichtransformation:


ψe
Dμ ψ  e
i α  x T


i α  x T
a
μ
ψ
Dμ ψ
Kovariante Ableitung:
Dμ  μ  igT A
a
a
μ
Feldstärketensor:
Fμνa  μ Aaν   ν Aμa  gf abcAμb Acν
Resultat: Fertige Yang-Mills-Eichtheorie
QuantenDüfteDynamik


L  ψx iγ Dμ  m ψx  F F
μ
1
4
a
μν
aμν
Dμ  μ  igT A
a
a
μ
F  μ A   ν A  gf A A
a
μν
a
ν
a
μ
abc
b
μ
c
ν
N  3, Duft  Farbe  QuantenChromoDynamik mit 8 Gluonen
 Eichtheorie der starken Wechselwirkung des Quarks 
Konsequenz: Duftkopplung des Fermions
L  ψx iγ Dμ ψx    , Dμ  μ  igT A
μ
a


iLint  ig ψx  γ T ψx  A
ψ j  ig T γ ψk
a
kj
A
μ
a
μ
μ
a
a
μ
wie in QED, aber:
• Das Dufton ändert den Duft von
 von j nach k.
• Das Dufton kann Duft abgeben
und aufnehmen. Es hat also
selbst Duftladung
a
μ
Konsequenz des Zusatzterms
F   μ A   ν A  gf A A
a
μν
1
4
a
μν
F F

aμν
a
a

a
ν
a
μ
abc
b
μ
c
ν
~ "A A "




 g f abc " A a A b A c "  g 2 f abef cde " A a A b A c A d "
Selbstkopplungen  das Duftfeld trägt Ladung
 g f
A
abc
A
c
λ
A
a
μ
b
ν
A  g " f " c
Aλ
d
ε
A
a
μ
2
2
A
b
ν
Themen
I. Teilchen und Kräfte
II. Lagrangedichten und Feynmandiagramme
III. Eichsymmetrien
IV. Das SU2U1-Modell
V. Die Natur der Masse
Glashow
Vereinfachung und Abkürzung
Quark-Flavour-Eigenzustände der QCD:
 u   c  t 
 d   s   b
     
 Massen-Eigenzustände
Schwache WW mischt Flavours (Flavour-Dynamik)!
Neue Flavour-Basis der schwachen WW 
 Vud Vus Vub   d   d 
 V V V    s    s 
cs
cb 
 cd
 b   b 

 Vtd Vts Vtb     
Cabibbo-Kobayashi-MaskawaMatrix (unitär)
 Flavours „entmischt”
CKM-Phänomenologie:
ein anderes Mal!
Vorbemerkung: Spin-½ Teilchen mit Händigkeit
Definition: Chiralitätsoperator
 
Eigenschaften: γ
5 
γ ,
5
γ  5  iγ γ γ γ
5
γ 
5 2
Definition: Händigkeitsprojektoren
0 1 2
 I 44 ,
3
γ , γ   0
5

μ
PR,L  1 γ
1
2
5

Eigenschaften: PR  PL  I 44 , PR2,L  PR ,L , PR PL  0
Definition:  sei ein Dirac-Spinor. Dann:
ψ R  PR ψ rechtshändiges Teilchen
ψ L  PL ψ linkshändiges Teilchen
ψ  ψR  ψL
Händige Teilchen mit m  0 (oder E ≫ m) anschaulich:

S

p
ν

S
ν

p
Linkshändige Teilchen haben
negative Helizität, d. h. der Spin
zeigt antiparallel zum Impuls
Rechtshändige Teilchen haben
positive Helizität, d. h. der Spin
zeigt parallel zum Impuls
Beobachtung: Radioaktiver -Zerfall (schwache WW)
-Zerfall
-Zerfall


n  p e νe
d
e
p  n e νe
W
u
W

e
u


μ  νμ e ν e

d

e
W
e

μ  νμ e νe


e

e
e
W

e
Beobachtung: Paritätsverletzung der schwachen WW
• Wu: Im -Zerfall entstehen nur linkshändige e
• Goldhaber: Neutrinos sind stets linkshändig
W-Bosonen koppeln nur an
linkshändige Fermionen und
rechtshändige Antifermionen
ν
ν
 Wirkung der schwachen Feldquanten W:
W
I3   12
e
u
W
d
Quarks

L
W
eR uR dR: I3  0
W

e
L
Leptonen
I3   12
Operator: I
3
 12 τ3
• schwache Ladung  Position (oben/unten) im Dublett
• Analogie zum Spin: Position  schwacher Isospin I3
• Symmetrie-Generatoren zu
 SU(2)? 1 τ1Wμ1  τ 2 Wμ2 
2


μ
W 

τ 
W :
1
2
W
1
μ

2
μ
 iW

1
2
1
2
τ W

τ

μ
1
 iτ
2
 τ  Wμ
Und
Wμ3??


Beobachtung: Ungeladene schwache Feldquanten
kein auslaufendes 
νμ
ZW
e.m.-Kaskade des
getroffenen Elektrons
νμ
e
Z
νμ
e
Blasenkammerbild,
Gargamelle, CERN
Streuung durch Austausch
eines neutralen schwachen
Feldquants „Z”  Z  W3 ?
Schwere Komplikation: Kopplung des Z-Bosons
Messe z.B.Wirkungsquerschnitte in Neutrinostreuung:
νμ
W
d
νμ
μ

W
u
d
Z
u,d
u
μ
νμ

νμ
u,d
νμ
u,d
Z
νμ
u,d
• W koppelt nur an linksh. Fermionen  max. P-Verletzung
• Z koppelt unterschiedlich an linksh. und rechtsh. Fermionen
 P ist verletzt, aber nicht maximal.
Folgerung:
Zμ  W
3
μ
und was nun?
Idee (Glashow):
• W3 koppelt nur an linkshändige Fermionen
• Photon A koppelt an linksh. / rechtsh. Fermionen gleich
• Z koppelt an linksh. / rechtsh. Fermionen unterschiedlich
Sind Z und A Mischungen aus einem U(1)-Feld B und Boson W3 ?
A μ  Bμ cosθ W  W sin θ W
3
μ
Zμ  Bμ sin θ W  W cosθ W
3
μ
elektroschwache
Vereinheitlichung
W  schwacher Mischungswinkel
Generator der U(1)-Symmetrie: schwache Hyperladung Y
mit Y  f (I3,Q)
Lokale Eichsymmetrie:
SU 2L  U1Y
Definition von Y:
W
W
d
YQuarks
Folge:
Def.:
I3   12
W
W
ΔQ  ΔI 3  1
1
e
I



3
2
e
u

L
Y  Q  I3
SU(2) L
U(1) Y
YLeptonen
L
eR uR dR: I3  0
Def.: Gell-Mann-Nishijima Formel
Q  I3  Y2
g
Ladung: 12 g
Ladung:

τ
Y
Generatoren: 1
2
Generator:
Schwere Komplikation: Die Fermionmasse
ν


ψL  L   
 e L
ψR  R  eR
wechselwirkt mit W
wechselwirkt nicht mit W
 
Lokale SU(2)L-Trafo: L  exp iαx  τ  L , R  R

1
2

Lfrei  ex iγ μ  m ex   νL xiγ μ νL x
μ
μ
 L iγ μ L  R iγ μ R  meR eL  eL eR 
a
a
1
Dμ   μ  2 ig τ Wμ
nicht invariant
μ
μ
invariant
Setze vorerst alle
Massen auf Null 
Wo hat sich die QED versteckt?
Lokale SU(2)LU(1)Y-Transformation:
L e

1 iα
2

x τ i φx Y
e
i φx Y
L , R e
R
nach Eichtheorie-Kochbuch (Seite 1) 
iLint  iL γ
Einsetzen:

μ g
2

Bμ Y  W τ L  iR γ
g
2
a a
μ
μ g
2
Bμ  A μ cosθ W  Zμ sin θ W
W  A μ sin θ W  Zμ cosθ W
3
μ
 Aufsammeln der A-Terme
Bμ Y R
Resultat: Die QED entpuppt sich
iL
QED
int
ν
iL
QED
int
e


μ

  g sin θ W  g cos θ W  ν L γ ν L A μ  0
i
2

0



 ig sin θ W e γ e A μ  ie e γ e A μ
μ
μ
e
Beziehung zwischen e.m. und schwacher Ladung
g sin θ W  g cosθ W  e
Die elektromagnetische und die schwache Kopplung
sind von der gleichen Größenordnung
Exp. Test: Vergleich der Kräfte bei HERA am DESY
Die schwache WW ist nur bei kleinen Energien schwach...
ein reiner Masseneffekt (W und Z Bosonen sind schwer)!
ep Wirkungsquerschnitt vs.
quadrierten Impulsübertrag Q2
γ
electromagnetisch
e
schwach
W
Vereinheitlichung bei
ν
Q2  M2W
Die Z- und W-Kopplungen an Fermionen
Genau wie für A:
iLint  iL γ

μ g
2
Einsetzen:

Bμ Y  W τ L  iR γ
g
2
a a
μ
μ g
2
Bμ Y R
Bμ  A μ cosθ W  Zμ sin θ W
W  A μ sin θ W  Zμ cosθ W
3
μ
1
2
W τ  W τ   W τ
1 1
μ
2 2
μ
1
2
 
μ
 
μ
W τ
 und analog für Quark-Multipletts

 u  , u , d
 d  R R
 L
Resultat:
fu
fd
Fermionen:
V
f
P✓
Aμ
f
 iqf γμ
gfV V  gfA A
f
Zμ

νμ
μ
νe

e
VA
f d ,u
ντ

τ
u
d
c
s
t
b
↯P↯ V
W

μ
f u ,d
 i 2 g 2 γ μ 1  γ 5 
A
f
Vektorstrom
Axialvektorstrom
P↯
PV  V PA   A
f
g fV  I3f  2q f sin 2 θ W
 i 2 cosg θ W γμ g fV  g fA γ5

g fA  I3f
Messung der Kopplungen:
Beispiel:
bei


e e f f
g fV  I3f  2q f sin 2 θ W
g I
f
A
f
3
s  M Z  91GeV LEP 1 (CERN)
Resonanzkurve:
• Zahl der Familien ist 3
2
2
• WQ-Messung  g V  g A
Zusätzlich: f-Winkelverteilung
f-Polarisationen
 hochpräzise Messung g fV , g fA
Bild extrem konsistent mit
sin 2 θW  0,23122(15)
Z-Resonanzkurve
Test der nichtabelschen Struktur von SU(2)L  U(1)Y
nach Eichtheorie-Kochbuch (Seite 2) 
LFeld   W
a μν
1
4
W  B Bμν
a
μν
1
4
μν
W  μ W   ν W  gε W W
a
μν
a
ν
a
μ
abc
b
μ
c
ν
Bμν  μ Bν   ν Bμ
 charakteristische Kopplungen zwischen den Kraftfeldern
γ, Z
W
γ, Z
γ, Z
W

W

W

Z
γ
W
W


W

W

W
W


 


Beispiel: e e  W W  q1 q2 q 3 q4  4 Jets
e
e
e
e
W
γ, Z
W
W
W


Themen
I. Teilchen und Kräfte
II. Lagrangedichten und Feynmandiagramme
III. Eichsymmetrien
IV. Das SU2U1-Modell
V. Die Natur der Masse
Salam
Weinberg
Higgs
Massen
bisher:
• alle Fermionen masselos
Dirac-Massenterm:
aber mtop  171 GeV
 mf f R f L  f L f R 
nicht eichinvariant
• alle Feldquanten masselos aber mW  80 GeV
mZ  91 GeV
Klein-Gordon-Massenterm:
1
2
2
Z
μ
M Zμ Z
nicht eichinvariant
und nun?
(leider völlig ad hoc) Postulat:
• Das Universum ist von einem Hintergrundfeld, dem
Higgs-Feld erfüllt  Zähigkeit der Bewegung
• Das Higgs-Feld ist lokal SU(2)U(1)-symmetrisch
• Verschiedene Teilchen werden verschieden
behindert  spontane Symmetriebrechung
• Zähigkeit der Teilchenbewegung  effektive Masse
Aber ach: Die Zähigkeit ist für jedes Teilchen ein
neuer freier Parameter 
Klassisches Analogon
Ein Konferenz-Empfang...die
Teilnehmer bilden ein Higgs-Feld
Klassisches Analogon
Der masselose Nobelpreisträger tritt ein...
Klassisches Analogon
behindert durch die Bewunderer (Higgs-Feld)
kommt er kaum vom Fleck... er ist massiv...
Spontante Symmetriebrechung - klassisch
Knickinstabilität des elastischen, masselosen Stabes
F  Fc
F  Fc
Phasenübergang
unsymmetrisch
symmetrisch
y-Mode
x-Mode
beide Moden
tragen Energie
( Masse)
(x,y)  (0,0)
massive
Higgs-Mode
bei F  Fc
r-Mode
-Mode
(x,y)  (v,0)
masselose
Goldstone-Mode
Vel
Vel
y
y
x
x
Spontane Symmetriebrechung in der QED
Postuliere skalares Feld

L  Dμ   V
2
1
2
mit
1  i2  , Ladung e
Dμ  μ  ieAμ
 
V  μ    λ  
2 

2
λ0
ad hoc Higgs-Potential (eichinvariant)
Lokale U(1)-Transformation:   e
i α  x Q
e
i α  x 

Grundzustand („Vakuum”):
x  Vak    const .
Vakuumerwartungswert:
 0  V  min
 
V  μ    λ  
2 
μ 0
2

2 
μ 
V
 Teilchen mit Masse 
 

λ
1
μ 0
2
2
2
2
 0 0
 Selbstwechselwirkung
 Symmetrie ✓

Entartete Vakua:  
0

v2
2
Spont. Symmetriebrechung:
Entwicklung ums Vakuum:
x  
1
2
, v 
0
v  ηx  i ξx
μ2
λ
v
2
2
 
L  Dμ   μ    λ  
2 

x  
L 
1
2
1
2
1
2
1
2
    η  v λη
2
μ
 
 η
1
2
2
μ
2
2
μ
2
2
v  ηx  i ξx
 e v Aμ A  
1
2
2
2
Spin 0 Goldstone-Boson
μ
2
2
1
2
2
 v λη
2
μ
e v Aμ A
2
μ
mξ  0
Spin 0 Higgs-Boson
m η  2λ v
massives Photon
mA  ev
2
Eliminierung des Goldstones  (Higgs-Mechanismus)
x  

v  ηx   i ξx 
iξ x  v
2
1






v

η
x
e

O

,
η
ξ
2
1
2
 versuche lokale U(1)-Eichtransformation
x   e  iξ  x  v x  
v  ηx 
A μ x   A μ x   e1v  μ ξ x 
1
2
(K)ein „Wunder” geschieht:  fällt heraus!
L 
1
2
 η  v λη
2
μ
2
2
 e v Aμ A  
1
2
2
2
μ
Verallgemeinerung: Goldstone-Theorem
Symmetrie-Generatoren:
Zugehörige Eichfelder:
Higgs-Potential:
spontan gebrochen:
Dann entstehen
1
2
N
T T  T
1
2
N
Aμ Aμ  Aμ
V1 , 2 ,, n 
1
2
k
T T  T k  n 
• k masselose Goldstone-Bosonen
• nk massive skalare Higgs-Bosonen
Lokale Eichtransformation 
1
2
k Goldstones,
μ
μ
masselos
k
μ
A A A
1
μ
2
μ
massiv
k
μ
A A A
„Die Eichfelder verschlucken die Goldstonebosonen
und erhalten dadurch Masse”
Bemerkung:
Wann „bricht” das Vakuum  0 den Generator T ?
Das Vakuum hat die durch T generierte Symmetrie
genau dann wenn
i T
 0 e

0 
1 i dα T  0 

0
0
(infinitesimal)
 T  0 0

0
„bricht” T genau dann, wenn T
 0 0
Minimaler Higgs-Sektor im Standardmodell
I3 Q  I3  Y2
1
1




i


1

1
2
2
2
 1 1
1





i

2
0
3
4 
2
Y
SU(2)L-Dublett
U(1)Y-Singulett
 
  



 
2


 
 2
2 
2
L  Dμ   V  , V   μ    λ   , μ  0
Entartete Vakua:

v2
  2
0
Spontane Symmetriebrechung:
mit v  


0

1
2
 0
 v
 
μ2
λ
Gebrochene Symmetrien:

1
2 τ 
1

1
2 τ 
2

1
2 τ 
3

Y
 2 2  0
0
1
1 0
 2 2
0
i
1 1
 2 2
0
0

 1 
1
0

Aber: Q 
0
0

1 0  1  v  0
0   v  2 2  0 
 i   0   i  v   0
0   v  2 2  0 
0   0   1  0   0
 1  v  2 2  v 
0
1
2
 1 0 0   0
 0 0 v

 
 MW  0 , MZ  0 , Mγ  0


0
1
2
1
2
1
2

1
2
 0
 v
 
τ↯
1
τ↯
2
τ↯
3
Y↯
Q✓
 1 Higgs H
Quantitative Resultate
MW  vg 
1
2
1
2sin θ W
ve
GF 
g2
4
2 M 2W
 1,166105 GeV 2
 v  246GeV
2
1

M Z  v g  g  sin 2θ
ve

W
1
2
MW
MZ
2
 cos θ W
Wunderbar konsistent:
• MW und MZ direkt gemessen
• sin W aus Messung von gA und gV
Beachte: Der Wert von MW wird nicht vorhergesagt !
MH  2 λ v
freier Parameter, nicht vorhergesagt
Noch mehr Handarbeit: Fermion-Massen
Beispiel: Elektron
SU(2)-invariant
me 

0




LeH  
ν
,
e
e

h
.
c
.


e
R
L

 v  Hx 
v 


Y  1 Y  1
Y  2
i 1α i 1α i 2 α
LeH  e
e
e
LeH  LeH invariant
 LeH  me ee 
me
v
eeH
 Elektron massiv
 e-Higgs-Kopplung
Beachte: Der Wert von me wird nicht vorhergesagt !
Vorhersage: Charakteristische Higgs-Kopplungen
Beispiele:
H
W

 ig M W
H
W

Z

ig
cos θ W
H
MZ
Z
t
 mt
i
v
t
Die Kopplung des Higgs-Bosons ist proportional zur
Masse  charakteristische experimentelle Signatur
Higgs Massengrenze von LEP 2

E  104 GeV
e
Z*
Z
Zwei Leptonen
mit invarianter
Masse MZ

H
b
e
E  104 GeV
Resultat:
b
Zwei b-Quark-Jets
mit B-Zerfällen
(Sekundärvertizes)
MH  114,4 GeV (95% c.l.)
Indirekte Messung der Higgs-Masse
Higgs taucht in Schleifen-Korrekturen auf, z.B.
e
Z
e
H
H
Z
f
f
 Fit aller experimentellen Observablen
mit MH als freien Parameter
Qualität des Fits
Wichtige Kanäle beim LHC (CERN)


MH  2MZ:
H
Z
Zwei Lepton-Paare
jeweils mit invarianter
Masse MZ
Z


MH  2MZ:
H
s  14 TeV

t
t
t

Zwei sehr
energiereiche,
isolierte Photonen
Ein kleines Problem
Energiefreisetzung bei der
spontanen Symmetriebrechung:
ρ Universum


MH  100 GeV
Kritische Dichte:

0

1
2

 V 
0
0
 0  

 v  174GeV 
  

Universum  1055 GeV  m3
ρC 
3 H 02
8πG N
 6 GeV m
Diskrepanz von 54 Größenordnungen!

3
Ausblick:
Rückblick
Big Bang
Die Vereiniung
der Kräfte
Einige der vielen offenen Fragen
• Warum 3 Familien, symmetrisch in Leptonen/Quarks
• Massenspektrum und Mischungsparameter?
• Hirarchieproblem: Warum Fschwach  1032 FGravitation ?
• Wo ist die Antimaterie?
• Vereinheitlichte Kraft?
• Was ist Dunkle Materie? Supersymmetrie?
• Einbeziehung der Gravitation? Extra Dimensionen?
•

ppt - Astroteilchenschule