Harmonische Schwingungen
Von Kortine, Christopher und Lennart
Herleitung der Differenzialgleichung
Federpendel:
- Auslenkung~Rückstellkraft:
 s(t)~F  F(t)= -D*s(t)
Grundgesetze der Mechanik:
F=m*a(t)=m*s´´(t)  m*s´´(t)= -D*s(t)
 s´´(t)= - D/m *s(t)
D/m= k² Alle Gleichungen der Form
f ´´(t)=-k²*f(t) erfüllen die
Differenzialgleichung
Gilt nur für: f(t)=A*sin (k*t+c)
Beispiel: Räuber-Beute
Gegeben:
•
120 Katzen(Räuber), 3400 Mäuse(Beute)
•
r und b beschreiben Schwankungen der Populationen um
Ausgangswerte
•
r´(t)=0,01*b(t) und b´(t)= -0,7*r(t)
Differenzialgleichung von r und b  Harmonische Schwingung
1.
b´´(t)= -0,7*r´(t) r´(t)= b´´(t)/-0,7
2.
r´´(t)= 0,01*b´(t)b´(t)= r´´(t)/0,01
- eingesetzt in gegebene Gleichungen: r´´(t)= -0,007*b(t)
b´´(t)= -0,007*r(t)
- ergibt: k² = 0,007 also k = 0,007
Räuber-Beute
r(t) und b(t) bestimmen: gegeben: r(0)= 80;b(0)= -600
1. r(0)=200r(0)=A*sin c
r´(0)= 0,007 *A*cos c = 0,01*b(0)
 c= 0,539 und A=390
 r(t)=390*sin ( 0,007 *t+0,539)
2. b(0)=2800 b(0)= A*sin c
b´(0)= 0,007 *A*cos c = -0,7*r(0)
 c= -1,032 und A= -3262
 b(t)= -3262*sin( 0,007 *t-1.032)
Räuber Beute Modell.xls

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