Zeitlich variable Beschleunigung
1
Inhalt
• Bewegung auf einer Kreisbahn
– Komponenten des Ortsvektors: Funktionen von
Radius und Winkel
• Periodische Auslenkung
• Zusammenhang zwischen beiden
2
Beispiel für eine beschleunigte Bewegung mit
konstantem Betrag der Geschwindigkeit: Bewegung auf
einer Kreisbahn
Es variiert die Richtung der Geschwindigkeit
3
Periode und Winkelgeschwindigkeit
Bewegung des
Vektors vom
Mittelpunkt zum
Ort
Einheit
Periode, Zeit für eine
Umdrehung
Winkelgeschwindigkeit
s
1/s
T
2

T
4
Formulierung von Drehungen in einer Ebene
•
•
Drehungen in einer Ebene ändern einen
Winkel und lassen den Radius konstant
Ziel: Formulierung der Komponenten des
Ortsvektors mit Radius und Winkel
5
Komponenten des Ortsvektors
x
y
6
Komponenten des Vektors: Funktionen von Radius und Winkel
x
r

y
Einheit
x  r  cos 
y  r  sin 
r

1m
1m
Komponenten des
Vektors
1m
Betrag, „Radius“
1rad
Winkel
7
Ortsvektor: Funktion von Radius und Winkel
x
r

 cos 


r  r  
 sin  
r

y
Einheit
1m
Ortsvektor
1m
Betrag, „Radius“
1rad
Winkel
8
Komponenten des Ortsvektors bei einer Drehung
x
r

 cos 


r  r  
 sin  
r

y
Einheit
1m
Ortsvektor
1m
Betrag, „Radius“
1rad
Winkel
9
Komponente y bei Drehung mit konstanter
Winkelgeschwindigkeit
y
y
t
y(t )  r sin t
T  s
10
Komponente x bei Drehung mit konstanter
Winkelgeschwindigkeit
y
x
t
x(t )  r cost
11
Versuch
• Konstruktion einer Sinus-Kurve durch
Aufzeichnung der Projektion einer
Kreisbewegung als Funktion der Zeit
12
Kartesische Komponenten und Kreisfrequenz

e2
x

r
y
t

e1
Einheit
x(t )  r  cos(t )
1m
y(t )  r  sin(t )
1m
  2 T
1/s
Komponenten des
Vektors
Winkelgeschwindigkeit,
T Periode
13
 cos (t ) 


r  r  
 sin  (t ) 
Einheit
1m
Ortsvektor
r
1m
Betrag, „Radius“
 (t )    t
1rad
Winkel
 (t )
  2 T
1/s
t
s
Winkelgeschwindigkeit
Zeit
14
Berechnung der Geschwindigkeit und der
Beschleunigung aus der Ableitung des Ortsvektors
nach der Zeit
• Zur Ableitung eines Vektors nach der Zeit
werden die Komponenten nach der Zeit
abgeleitet
• Die Ableitung eines Vektors ist daher
wieder ein Vektor
15
Kreisbahn: Orts-, Geschwindigkeits- und
Beschleunigungsvektor
Ortsvektor
  cost 

s  r 
 sin t 
Geschwindigkeitsvektor
  sin t 


s  r 
 cost 
Beschleunigungsvektor

2   cost 

s  r 
  sin t 
16
  sin t 


s  r 
 cost 
y

s
  cost 

s  r 
 sin t 

s
r  sin t
r  cost
s  r 2   cost 
  sin t 


x
s
17
Orts-, Geschwindigkeits- und
Beschleunigungsvektor auf der Kreisbahn
x2

s

s
x1

s
Die Beschleunigung weist immer zum
Zentrum : Zentrifugalbeschleunigung
18
Beispiel Kreisbahn: Richtung der Vektoren
Vektoren für Ort-,
Geschwindigkeit und Beschleunigung
19
Betrag des Orts-, Geschwindigkeits- und
Beschleunigungsvektors auf der Kreisbahn
Wie berechnet man den Betrag
eines Vektors? Skalarprodukt!
20
Betrag des Ortsvektors auf der Kreisbahn
Ortsvektor
Skalarprodukt des
Ortsvektors mit sich
selbst
  cost 

s  r 
 sin t 
   cost   cost 
r

s  s  r
 sint   sint 
2
2
2
2
s  r (cos t  sin t )
21
Betrag des Orts-, Geschwindigkeits- und
Beschleunigungsvektors auf der Kreisbahn
Betrag des Ortsvektors

s r
Betrag des
Geschwindigkeitsvektors

s  r 
Betrag des
Beschleunigungsvektors
s  r  2
22
Variable Beschleunigung bei einer geradlinigen
Bewegung: Der Weg folge der Sinus-Funktion
0
s0
23
Variable Beschleunigung: Der Weg folge der SinusFunktion
Weg als Funktion der Zeit:
Sinusfunktion
Geschwindigkeit als Funktion
der Zeit: Kosinus-Funktion
(=verschobene SinusFunktion)
Beschleunigung als Funktion
der Zeit: verschobene SinusFunktion
s(t )  s0  sint
s(t )  s0   cost
s(t )  s0  2  sin(t )
24
1,0
Weg als Funktion der Zeit:
Sinusfunktion
sin(t)
0,5
0,0
0
2
4
6
8
10
12
14
Zeit t [s]
-0,5
-1,0
C
1,0
Geschwindigkeit als Funktion der
Zeit: Kosinus-Funktion
(=verschobene Sinus-Funktion)
cos(t)
0,5
0,0
0
2
4
6
8
10
12
14
Zeit t [s]
-0,5
-1,0
Minsin
1,0
0,5
-sin(t)
Beschleunigung als Funktion der Zeit:
verschobene Sinus-Funktion
0,0
0
2
4
6
8
10
12
14
Zeit t [s]
-0,5
-1,0
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Wichtigste Eigenschaft der SinusFunktion
Diese Funktion ist „Form-invariant“
Bei der Ableitung ändern sich nur
• die Amplitude
und
• die Phase
Analoges gilt für ihre Integration
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Beispiele und Versuche für eine
„periodische“ Bewegung
Auslenkung eines
• Feder-Pendels
• „Fadenpendels“
27
Zusammenfassung: Drehungen in einer Ebene
und Schwingungen
•
Drehungen in einer Ebene ändern einen
Winkel und lassen den Radius konstant
• Formulierung der Komponenten des
Ortsvektors mit Radius und Winkel:
Produkt aus Radius und
– Kosinus des Winkels für die x-Komponente
– Sinus des Winkels für die y-Komponente
• Schwingungen sind Bewegungen in einer
Dimension, mit Auslenkung in Form einer
Sinus-Funktion der Zeit
28
Finis
29

s - CCP14