SS 2015
M. Hohenadler / M. Winkler
Übungen zur Vorlesung “Mathematische Rechenmethoden 2”
Ausgabe: 16.06.2015
Besprechung: Do, 25.06. / Fr, 26.06. / Mo, 29.06.2015
Übung 7
Aufgabe 21 (3 Punkte)
Gegeben sei das Vektorfeld
F~ (x, y, z) = xy~ex + 3y 2~ey + 2xz~ez .
Gesucht wird der Gesamtfluss durch die Oberflächen A des Einheitswürfels im ersten Oktanten. Eine
Ecke des Würfels liege im Koordinatenursprung, die Kanten der Länge eins verlaufen parallel zu den
Achsen und es gelte für jeden Eckpunkt (a, b, c)T dass a, b, c ≥ 0.
a) Berechnen Sie den Fluss mittels Oberflächenintegration.
(2 Punkte)
b) Verwenden Sie den Satz von Gauß, um das Ergebnis zu verifizieren.
(1 Punkt)
Aufgabe 22 (4 Punkte)
Gegeben sei das elektrostatische Potential einer Punktladung in kartesischen Koordinaten ~r = (x, y, z)T :
Φ (~r) =
1 1
4π0 |~r|
a) Berechnen Sie das resultierende elektrische Feld
~ (~r) = −∇x,y,z Φ
E
in kartesischen Koordinaten.
(1 Punkt)
b) Bei genauerem Hinsehen erkennt man die Kugelsymmetrie des Problems. Transformieren Sie das
Potential in Kugelkoordinaten.
(0.5 Punkte)
c) Um das elektrische Feld in Kugelkoordinaten ausrechnen zu können, braucht man den Gradienten
in Kugelkoordinaten. Konstruieren Sie hierfür zunächst die Einheitsvektoren der sphärischen Koordinaten in kartesischen Koordinaten.
Hinweis: Einen Einheitsvektor ~eθ erhält man z.B. durch Variation von θ, bei gleichzeitiger Forderung
r = const. und ϕ = const., d.h.
∂x
∂y
∂z
~eθ ∝
~ex +
~ey +
~ez
∂θ
∂θ
∂θ
mit anschließender Normierung! Begründen Sie mit dem Ergebnis, woher die Vorfaktoren des Gradi
T
∂ 1 ∂
1
∂
enten in Kugelkoordinaten, gradr,θ,ϕ = ∂r
, r ∂θ , r sinθ
, kommen.
∂ϕ
(2 Punkte)
e) Berechnen Sie nun erneut das elektrische Feld, diesmal jedoch, unter Verwendung des in c angegebenen Gradienten, in Kugelkoordinaten.
(0.5 Punkte)
Aufgabe 23 (3 Punkte)
Berechnen Sie für die folgenden Vektorfelder F~ explizit das Wegintegral entlang eines Kreises in der
xy-Ebene mit dem Radius R und dem Mittelpunkt (0, 0, 0). Der Kreis soll im Uhrzeigersinn durchlaufen
R 2π werden, wenn man in Richtung ~ez schaut. Am einfachsten geht das in Zylinderkoordinaten, also
~ eϕ r dϕ. Überprüfen Sie anschließend das Ergebnis mit Hilfe des Satzes von Stokes!
0 F ·~
a) F~ (~r) = ~r
(1 Punkt)
b) F~ (x, y, z) = (x, yz 2 , y 2 z)T
(2 Punkte)
Aufgabe 24 (3 Punkte)
Betrachten Sie das folgende Vektorfeld:

ax2 yz
F~ =  2yz 2 + x3 z 
2y 2 z + bx3 y

a) Berechnen Sie die Rotation von F~ !
(1 Punkt)
b) Wie sind die Parameter a und b zu wählen, dass die Rotation von F~ an jedem Ort verschwindet?
(1 Punkt)
c) Für den rotationsfreien Fall lässt sich F~ als Gradient eines skalaren Potentials Φ ausdrücken.
Bestimmen Sie Φ!
(1 Punkt)

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