Grundlagen der Beugungstheorie
Optisches Gitter
1
Grundlagen der Beugungstheorie
Interferenz zwei Wellen
=
Summe der Amplituden
Summe
Welle 2
Welle 1
2
Interferenz zwei Wellen
… betrachtet an einem bestimmten Ort
Welle 1
Welle 2
A1  sint  1 
A2  sint  2 
A1  A2  sin t  1   sin t  2 
3
Grundlagen der Beugungstheorie
Beugung am Doppelspalt
4
Grundlagen der Beugungstheorie
Streuung an zwei Atomen
5
Das atomare Gitter
Phasenverschiebung:
qi
0  0
qo
1  d
d
2

 2  2d
d
sin qi  sin q o 
2

sin qi  sin q o 

Interferenzmaxima:
   m1   m  d
m  m d
2
2

sin qi  sin q o 
sin qi  sin qo   2n

d sin qi  sin q o   n
qi  q o  q  2d sin q  n
… Braggsche Gleichung
6
Nobelpreisträger

1914: Max von Laue – Entdeckung der
Beugung der X-Strahlen (Röntgenstrahlung)
auf Kristallen (Nobelpreis für Physik)

1915: W.H. Bragg und W.L. Bragg –
theoretische Grundlagen der Analyse der
Kristallstruktur mittels Röntgenbeugung
(Nobelpreis für Physik)
7
Netzebenen
b
a
8
Röntgenbeugung an Netzebenen
qq
d
q
q
Konstruktive Interferenz der
Strahlung bei:
2d sin q  n
d … Netzebenenabstand
q … Bragg Winkel
 … Wellenlänge der Strahlung
Braggsche Gleichung
9
Bezeichnung der Netzebenen
1c
2
Achse
Abschnitt
Reziprok
Index
a
½
2
4
b
⅔
3/2
3
c
½
2
4
Achse
Abschnitt
Reziprok
Index
a
1/2
2
4
b
2/3
3/2
3
c

0
0
2b
3
1a
2

2b
3
1a
2
Miller Indexe
10
Miller Indexe in 2D
11
Kristallflächen und Kristallfacetten
12
Kristallflächen und Kristallfacetten
Würfel
Oktaeder
Pyritoeder
Trapezoeder
Trisoktaeder
Pyrit – FeS2
Flächen (100)
und (210)
Dodekaeder
Kristallklasse m-3
13
Darstellung der Netzebenen
Sphärische Projektion der Netzebenen
Oktaeder (111)
14
Sphärische Projektion eines kubischen
Kristalls
15
Winkel zwischen den Netzebenen
(hkl)2
In kubischen Systemen
  
u  v  u v cos
(hkl)1
cos 
h1h2  k1k2  1 2
h12  k12  12  h22  k22   22
In orthogonalen Systemen
cos 
h1h2 k1k2 1 2
 2  2
2
a
b
c
h12 k12 12
h22 k22  22
 2 2 2 2 2
2
a
b
c
a
b
c
In hexagonalen Systemen
cos 
h1h2  k1k2  12 h1k2  k1h2  12  122

h12
 k12

1 12
 h1k1 2  2 
a
c

h22
a
 k22
c

1  22
 h2 k2 2  2
a
c
16
Projektionen einer Kugel
17
Projektionen einer Kugel
18
Kristallprojektionen
Stereographische
Projektion
Gnomonische
Projektion
Orthographische
Projektion
Clark‘s Minimum
Error
19
Stereographische Projektion
Stereographisches (Wulffsches)20Netz
Standardprojektion (001)
Standardprojektion
(001) eines kubischen
Kristalls.
Pole, die an einem Kreis
liegen, gehören zu der
selben Zone.
21
Anwendungen des Wulffschen Netzes
Winkel zwischen zwei
Polen:
Die Pole werden auf einen
Meridian (oder auf einen
Breitenkreis) gelegt und der
Winkel wird abgelesen
90°
Achse einer Zone:
Die Pole auf einen Meridian
legen und entlang des
Äquators eine Linie 90°
ziehen. Der neue Punkt zeigt
dann die Achse der Zone, die
durch die zwei Pole definiert
wird.
22
Beispiele
(hkl)1
(hkl)2
010
111
001
001
011
101
Winkel
90°
35°
45°
001
_
110
110
23
Anwendung der stereographischen
Projektion – die Orientierung der
Kristalle
Die Max von Laue Methode
24
Anwendung der stereographischen
Projektion – die Texturanalyse
25

Kristallographie2a(6)