Grundmodelle für Peak Oil
a.o.Univ.-Prof. Stephen Keeling
Institut für Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen
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Modelle für:
• Ölentdeckung
• Entropie/Komplexität & Energie
• Ölproduktion
• Spiele für Kooperation
• Kopplung mit Nachfrage, Angebot, Kapital
Ölentdeckung
Wir suchen Öl in einem Gitter (der Welt):
X
X=Ressource
X
X
□=Leer
X
X
X
N=Anzahl der
Ölzellen
M=Anzahl der
Leerzellen
X
X
Zu Beginn: Wahrscheinlichkeit einer zufälligen Entdeckung = N/(N+M).
Ölentdeckung
Was sind die Wahrscheinlichkeiten der ersten paar Erfolge?
P(0t  1t  dt ) 
N
dt
N M
P(1t  2t  dt ) 
N 1
dt
N  1  M  m( ?)
Gleiche Erfolgs- und Ausfallsverhältnisse bedeutet:
n m

N M

m
M
n
N
Also ist die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs:
P(nt  n  1t  dt ) 

N n
dt 
N  n  M  m(n)
N
dt

N M
N n
dt
N  n  M  Mn / N
P(0t  1t  dt )!
Ölentdeckung
Beispiel:
P(5 Kinder heute)
Ähnlicherweise:
P(n in t+dt)
oder:
=
+
P(5->5) * P(5 Kinder gestern)
P(4->5) * P(4 Kinder gestern)
=
+
P(n->n) * P(n in t)
P(n-1->n) * P(n-1 in t)
pn (t  dt) 
P(nt  nt  dt ) * pn (t )
 P(n  1t  nt  dt ) * pn1 (t )
wobei:
pn(t) = Wahrscheinlichkeit in Zeit t, dass n Ölzellen schon gefunden.
Ölentdeckung
Alles zusammen:
pn (t  dt) 
P(nt  nt  dt ) pn (t )
 P(n  1t  nt  dt ) pn1 (t )
 [1  P(nt  n  1t  dt )] pn (t )

P(n  1t  nt  dt ) pn1 (t )
N
 [1  dt
] pn (t )
N M
N
 dt
pn 1 (t )
N M
oder:
pn (t ) 
pn (t  dt )  pn (t )
N
N

pn (t ) 
pn 1 (t )
dt
N M
N M
Ölentdeckung
Anfangswertproblem:
N
N
pn (t )  
pn (t ) 
pn 1 (t ),
N M
N M
p0 (0)  1,
pn  0 (0)  0
Ergebnis:
Mittelwert erfüllt:
N
x(t )   npn (t )
n 0

x(t ) 
N
N M

x(t ) 
N
t
N M
Ölentdeckung
Realistischere Wahrscheinlichkeiten der Erfolge?
P(0t  1t  dt ) 
N
dt
N M
Statt:
n N

m M

m
M
n
N
Nimm:
m( n ) 
n
[ N  n  M  1]
n 1
P(1t  2t  dt ) 
N 1
dt
N  1  M  m( ?)
Ölentdeckung
Also ist die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs (…logistisch aussehend!):
P(nt  n  1t  dt ) 
N n
dt 
N  n  M  m(n)
(n  1)(N  n)
dt
N M
Alles zusammen:
pn (t  dt) 
P(nt  nt  dt ) pn (t )
 P(n  1t  nt  dt ) pn1 (t )
(n  1)(N  n)
 [1  dt
] pn (t )
N M
n ( N  n  1)

dt
pn 1 (t )
N M
oder:
pn (t ) 
pn (t  dt )  pn (t )
(n  1)( N  n)
n( N  n  1)

pn (t ) 
pn 1 (t )
dt
N M
N M
Ölentdeckung
Anfangswertproblem:
(n  1)( N  n)
n( N  n  1)
pn (t )  
pn (t ) 
pn 1 (t ),
N M
N M
Ergebnis:
Mittelwert ist ungefähr logistisch: beweisbar.
p0 (0)  1,
pn  0 (0)  0
Ölentdeckung
Das resultierende Modell der Entdeckung:
E(t) = (Erwartungswert der) Entdeckung in Zeit t
Logistisches Modell:
E(t )  E(  E),
E(0)    0
Ölproduktion
Das einfachste Modell der Produktion: Ein Brunnen
Bernoulli-Poiseuille:
ps  gL  W ( L) F  pa  gH
ps  pa
Ölproduktion
Bernoulli-Poiseuille:
ps  gL  W ( L) F  pa  gH
Fluss:
ps  pa  gL
pa  ps  g ( H  L)
gH
F

W ( L)
W ( L)
( ps  pa )
Volumenänderung:
 AH   V   F 
gH A V
 ,
W ( L) A 
V (0)  L  A
Produktion nicht logistisch:
P(t )  V (0)  V (t )  L  A(1  et / )
Ölproduktion
Salzwasseransatz. Bernoulli-Poiseuille:
ps  gL  W ( L) F  pa  gL,
Fluss:
H L
pa  p s
F
W (L)
Volumenänderung:
V   F 
pa  ps 1
 ,
W ( L) 
V (0)  L  A
Produktion ohne Mischung linear!
P(t )  V (0)  V (t )  L  A(1  t /  )
Ölproduktion
Salzwasseransatz. Bernoulli-Poiseuille:
ps  gL  W ( L) F  pa  gL,
H L
pa  p s
F
W (L)
Fluss:
Mit Mischung - Konzentrationsänderung:
VS    FS  
pa  ps
VS
S 
,
W ( L)

S (0)  
Produktion mit Mischung nicht logistisch!
P(t ) 
V

[ S (0)  S (t )]  L  A(1  e t / )
Ölproduktion
Kopplung zwischen Entdeckung und Produktion:
E(t )  E (   E )
P(t )   ( E  P)
Wenn gekoppelt sehen beide logistisch aus, Produktion zögert nach
Entdeckung:
Kopplung mit Vorrat & Kapital
Zusammenarbeit mit Herrn Stephan Kupsa:
Produktion  P 
f ( K )  P  ( M  P)
Vorrat
 V 
P  Nachfrage
Kapital
 K   Einkommen  Kosten
Diskret: Ndt = Adt bestimmt Preis p
Angebotdt  Adt  V  [1  ( p0 / p ) dt ]
Adt
max
V,
Adt  0, dt  0, p  p0
Nachfragedt  N dt   log(1  V )  dt / p
N dt
min
 0,
N dt  0,
dt  0
Kopplung mit Vorrat & Kapital
Zusammenarbeit mit Herrn Stephan Kupsa:
Produktion  P 
f ( K )  P  ( M  P)
Vorrat
 V 
P  Nachfrage
Kapital
 K   Einkommen  Kosten
Stetig: N´ = A´ bestimmt Preis p
dt
p 
1   0 
 p
p
Adt

A  lim
 lim V
 V log 
dt 0 dt
dt 0
dt
 p0 
N dt
log(1  V )
N   lim

dt 0 dt
p
Kopplung mit Vorrat & Kapital
Population steigt mit V, Nachfrage fällt mit Überschuss in V, also N´
steigt schwach mit V, Angebot steigt stärker mit V:
log(1  V )
N  
p
 p
A  V log 
 p0 
Bedingung N´ = A´ bestimmt Preis p:
P 
f ( K )  P  ( M  P)
   [(K  0) K 2 ]  P  ( M  P)
V 
P  Nachfrage

P  N 
K   Einkommen  Kosten 
  p  N     A
Produktion hört auf wegen Verschuldung, wird beschleunigt mit mehr K
f ( K )    [(K  0) K 2 ]
Kopplung mit Vorrat & Kapital
Sogar mit diesem einfachen Modell sieht man folgende Schwingungen:
Am Peak steigen A´ & N´, bis V konsumiert, Verschuldung stoppt P, p
steigt bis K>0 und Öl völlig produziert, A´ & N´ (Population) niedrig.
Entropie/Komplexität & Energie
Was ist Entropie? TdS=dE+pdV-μdN…von der Thermodynamik…
Beispiel: Unterschiedliche Kugeln verteilt in eine Box:
Mögliche
Einige
Realisierungen Ω
Konfigurationen
➀
➀➁➂➃
1
➀
➁➂➃
4
➀➁
➂➃
6
➀
➁
➂➃
12
➁
➂
➃
24
System strebt zu Smax:
S  Entropie(Konfiguration)  kB log()
Entropie/Komplexität & Energie
Präziser:

pr 1/ 
S  k B  pr log( pr )  k B log()
r 1
für Systeme in Gleichgewicht. !Nun gezeigt auch für Systeme nicht in
Gleichgewicht [Jaynes, 1957-1998], [Dewar, 2003]:

S  k B  p log(p )
 1
wird maximiert, wobei Γ ein möglicher Pfad ist.
System strebt zu max Entropieproduktion: wahrscheinlichster Zustand,
wahrscheinlichster Weg. (vgl. Prigogine!)
Entropie/Komplexität & Energie
Entropie fällt wegen Einschränkungen:
Eingeschränkte
Konfiguration
Mögliche
Realisierungen Ω
➀
➁
||➂
➃
4
➀
➁
➂
➃
24
Freie
Konfiguration
S1  kB log(4)  kB log(24)  S2
Z.B. S(Eis)<S(Wasser). Eis ist komplexer. Ein Maß der Komplexität:

K   S  k B  pr log( pr )
r 1
Z.B. K(Eis)>K(Wasser).
Entropie/Komplexität & Energie
Zwei Gefäße, ein ideales Gas, gleicher P, gleiche N, aber T1 ≠ T2.
Getrennt ➾ eingeschränkt ➾ komplexer.




















Wenn Gefäße verbunden werden, steigt Entropie beim Gleichgewicht:
 T1  T2 2 
S
5
 log

N kB 2
4
T
T
1 2


Rückkehr verlangt Energie! E  Q1 [T2 / T1 1]  , T2   oderT1  0
Entropie/Komplexität & Energie
Wenn diese Energie investiert wird, Wärme Q1 stellt T1, T2 wieder her,
E  Q1 [T2 / T1  1]
und T1 und T2 sind für Arbeit verfügbar:
W  Q2 [1  T1 / T2 ]
wenn Q2 abgegeben wird. Verfügbare Arbeit pro Wärmeeinheit:
  W / Q2  [1  T1 / T2 ]
Neue Komplexität und verfügbare Arbeit:
 T1  T2 2  5
 (2   ) 2 
K
5
 log
  log

N kB 2
4
T
T
2
4
(
1


)


1
2


Ein Taintersches Komplexitätsdiagramm.
Einführung in Spieltheorie
Beispiel: Land X und Land Y entscheiden, ob sie Verschmutzung
reduzieren oder nicht.
• Kosten für Reduzieren: 7 Einheiten
• Gewinn von Reduzieren: 5 Einheiten für beide genießbar
Darstellung des Spiels: Auszahlungen (x,y)
X:
Y:
verschmutzen:
reduzieren:
verschmutzen:
(0,0)
(5,-2)
reduzieren:
(-2,5)
(3,3)
Selbe Struktur wie Gefangenendilemma: Gleichgewicht in (0,0).
Strafe für Nichteinhaltung? Wer macht die Durchsetzung?
Einführung in Spieltheorie
Beispiel: Neue Bedingung,
• Kosten für Reduzieren: 7 Einheiten
• Gewinn von Reduzieren: 5 Einheiten für beide
• Kosten wenn beide nichts tun: 4 Einheiten
Darstellung des Spiels: Auszahlungen (x,y)
X:
Y:
verschmutzen:
reduzieren:
verschmutzen:
(-4,-4)
(5,-2)
reduzieren:
(-2,5)
(3,3)
Selbe Struktur wie Angsthasenspiel: Gleichgewichte in (-2,5) & (5,-2).
Wer bedroht, kann das Gleichgewicht entscheiden.
Wer den ersten Zug hat, kann das Gleichgewicht entscheiden.
Einführung in Spieltheorie
Beispiel: Land X und Land Y entscheiden, ob sie zu einem
Allgemeinwohl beitragen.
• Kosten eines Beitrags: 8 Einheiten
• Gewinn: 12 Einheiten für beide, nur wenn beide beitragen.
Darstellung des Spiels: Auszahlungen (x,y)
X:
Y:
nicht beitragen:
beitragen:
nicht beitragen:
(0,0)
(0,-8)
beitragen:
(-8,0)
(4,4)
Selbe Struktur wie Sicherungsspiel: Gleichgewichte in (0,0) & (4,4).
Kooperative Lösung selbstdurchsetzend, ohne Anreiz nicht zu halten.
In Wiederholung des Spiels gibt es Anreiz zur kooperativen Lösung.
Einführung in Spieltheorie
Beispiel: Kontinuum von Strategien, z.B. wie viel will man beitragen?
N Länder spielen. Land i trägt zi bei. Gesamtbeitrag is Z=Σi=1N zi.
Land i hat Gewinn Bi(Z) und Kosten Ci(zi).
Zu maximieren ist: Bi(Z)-Ci(zi).
Einführung in Spieltheorie
Beispiel: Kein reines Gleichgewicht, also
Y:
X:
q
1-q
Strategie a Strategie b X-Gewinn:
p
Strategie c
(2,-2)
(-3,3)
5q-3
1-p
Strategie d
(0,0)
(3,-3)
3-3q
Y-Gewinn:
-2p
6p-3
X und Y spielen gemischte Strategien:
P(a)=q, P(b)=1-q, P(c)=p, P(d)=1-p
q*=3/4➾X-Gewinne gleich in 3/4. p*=3/8➾X-Gewinne gleich in -3/4.
Einführung in Spieltheorie
Beispiel: Spiel gegen Natur, Entscheidungstheorie.
k=Kosten zur Zweigbibliothek, θk=Kosten zur Zentralbibliothek
Natur:
X:
q
Möglichkeit a
1-q
Möglichkeit b
X-Kosten:
Strategie c
k
(1+θ)k
qk+(1-q)(1+ θ)k
Strategie d
θk
θk
qθk+(1-q)θk
K(c)<K(d) wenn 1/θ <q gilt, also geh erst zur Zweigbibliothek.
Einführung in Spieltheorie
Beispiel: Evolutionär stabile Strategien.
Spezies:
q
1-q
Eindringlinge-
Falke
Taube
Gewinne:
Falke
(-25,-25)
(50,0)
-25q+50(1-q)
Taube
(0,50)
(15,15)
0q+15(1-q)
Eindringlinge:
q*=7/12 ➾ Eindringlinge-Gewinne gleich in 25/4.
Spezies stabil gegen Eindringlinge.
Einführung in Spieltheorie
Beispiel: Wiederholtes Gefangenendilemma, T>R>U>S, R>(S+T)/2.
X:
Y:
kooperieren
überlaufen
kooperieren:
(R,R)
(S,T)
überlaufen:
(S,T)
(U,U)
P(1.Spiel)=1, P(2.Spiel)=p, P(3.Spiel)=p2, usw.
Gewinn durch Kooperieren = R+pR+p2R+…=R/(1-p)
Gewinn durch Überlaufen beim mten Zug =
R+pR+p2R+…+pm-1R + pmT + pm+1U+pm+2U+…
=[R(1-pm)+(1-p)pmT+pm+1U]/(1-p)
Kleiner als R/(1-p) wenn p>(T-R)/(T-U), also kooperieren.
Modell der Ressourcenteilung
[Pallage]: Zwei Länder, wählen in [t,t+1] eigene
• Konsum ct
• Kapital kt+1
• Ressourcennachschub xt
• Transfer τt
Produktion einer Ware yt=f(kt) beschädigt die Umwelt durch g(yt)
Ressource at entwickelt sich so: at+1 = at + [xt1-g(yt1)] + [xt2-g(yt2)]
Unter natürlichen Einschränkungen soll eigene Utilität maximiert
werden: Σt=0∞βt U(ct,at+1)
Länder kooperieren wenn Anfangsressource oder Anfangskapital
genügend knapp sind oder wenn β groß genug ist.

IP: „Peak Oil“ - Institut für Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen