MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne
13.4.
20.4.
27.4.
4.5.
11.5.
18.5.
25.5.
1.6.
8.6.
15.6.
22.6.
29.6.
6.7.
13.7.
Einführung, Beschleuniger
Schwerionenreaktionen, Synthese superschwerer Kerne (SHE)
Kernspaltung und Produktion neutronenreicher Kerne
Fragmentation zur Erzeugung exotischer Kerne
Halo-Kerne, gebundener Betazerfall, 2-Protonenzerfall
Wechselwirkung mit Materie, Detektoren
Schalenmodell
Restwechselwirkung, Seniority
Tutorium-1
Tutorium-2
Vibrator, Rotator, Symmetrien
Schalenstruktur fernab der Stabilität
Tutorium-3
Klausur
MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2012
Themes and challenges of Modern Science
 Complexity out of simplicity – Microscopic
How the world, with all its apparent complexity and diversity can be constructed
out of a few elementary building blocks and their interactions
individual excitations
of nucleons
 Simplicity out of complexity – Macroscopic
How the world of complex systems can display such remarkable regularity and
simplicity
vibration
rotation
MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2012
fission
Fermi-Gas Modell
 Kernmodell auf der Basis von 2 unabhängigen Systemen von Nukleonen (Protonen und Neutronen), die sich im
Kernvolumen unter Beachtung des Pauli-Prinzips (für Fermionen mit s=1/2) wechselwirkungsfrei bewegen.
 Jedes Nukleon „fühlt“ ein mittleres Kernpotenzial
(Neutron: Kastenpotenzial, Proton: Kastenpotenzial + Coulombpotenzial).
 Grundzustand des Kerns: Alle Zustände vom Potenzialboden V0 bis zum höchsten Niveau, der Fermienergie EF sind
aufgefüllt. Nach dem Pauliprinzip kann jeder Protonen- bzw. Neutronen-Zustand mit 2 Teilchen (Spin up / Spin down)
besetzt werden.
MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2012
Fermi-Gas Modell
 Die abstoßende Coulombkraft verringert
die Potenzialtiefe für Protonen.
 Die Fermi-Niveaus von Neutronen und
Protonen in schweren Kernen sind
identisch, sonst könnten z.B. Neutronen
in „freie“ Protonenniveaus zerfallen.
 Alle Nukleonen bewegen sich im Kern
mit einem nicht vernachlässigbaren
Fermi-Impuls pF
Ekin
2

N Z
 X  AY 
A
FermiGas Modell


 
 
ell
Tropfchen
mod


2

Z  Z  1
N Z
2/3
BZ , N   aV  A  as  A  aC 
 aA 
0
A1/ 3
A

MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2012
Bestimmung der Fermi-Energie
 Nukleonen haben im Phasenraum durch die Unschärferelation
3
ein minimales Phasenraum-Volumen Vmin  2      h3
dx  dpx   / 2
Phasenraum: 6 dim. Orts-Impuls-Raum: dx  dy  dz  dpx  dpy  dpz
 Zahl der Teilchenzustände dn im Impulsintervall [p, p+dp]:
V  4   p2
dn 
dp
2   3
 Gesamtzahl n der Zustände bis zur Fermi-Energie bzw. zum
1/ 2
Fermi-Impuls pF  EF  2M N 
ist mit einem NukleonSpinfaktor 2 gegeben durch
2 V
n  2  dn 
2  2  3
0
pF
pF
 p dp
2
0
 Anzahl der Protonen Z und Neutronen N
Z  2n 
V  pF3 , p
3  2  3
N  2n 
V  pF3 ,n
3  2  3
MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2012
Phasenraumzustände
Bestimmung der Fermi-Energie
 Kernvolumen:
4    R 3 4    r03
V

A
3
3
 Fermi-Impuls (N=Z):
A 4    r03  A pF3

2
3
3   2  3
R  1.2  A1/ 3
  9  
 pF   

r0  8 
1/ 3
 250MeV / c
Der Fermi-Impuls aller Nukleonen ist ~ konstant.
 Fermi-Energie:
pF2
EF 
 33MeV
2  mN
Die Fermi-Energie ist die Energie des höchsten besetzten Zustands.
 Tiefe des Kernpotenzials: V0  EF  B / A  33 MeV  7 MeV  40 MeV
V0 ist unabhängig von der Massenzahl A
– kinetische Energie der Nukleonen ist in der gleichen Größenordnung wie das Kernpotenzial
Protonen: 33MeV + 7MeV, Neutronen: 43MeV + 7 MeV
MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2012
Fermi-Gas Modell und Neutronenstern
Neutronenstern als kaltes Neutronengas mit konstanter Dichte
- 1.5 Sonnenmassen: M = 3·1030 kg (mN = 1.67·10-27 kg), Neutronenzahl: N = 1.8·1057
Fermi-Impuls des kalten Neutronengases:
V  pF3
4    R 3  pF3
N

3   2  3 3  3   2  3
 9   N 
 pF  

 4 
1/ 3


R
R ist Radius des Neutronensterns
mittlere kinetische Energie pro Neutron:
3 pF2
3 2 1
C
 9   N 
Ekin / N  

 2  2
 
5 2  mn  4  10  mn R
R
Gravitationsenergie eines Sterns konstanter Dichte hat mittlere potentielle Energie pro Neutron:
D
3 G  N  mn2
m3
11


G  6.67 10
E pot / N   
kg  s 2
R
5
R
2/3
Minimale Gesamtenergie pro Neutron:
d
d
E/N 
Ekin / N  E pot / N  0
dR
dR
d  C D
2C D




0
dR  R 2 R 
R3 R 2

2C
R
D

 2  9 / 4
 R
G  mn3  N 1/ 3
2/3
Radius des Neutronensterns ~ 10.7 km
MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2012
Hinweise auf Schalenstruktur
Abweichungen von der Bethe-Weizsäcker Massenformel:
B/A (MeV per nucleon)
Neutron
Proton
28
28
50
50
82
besonders stabil:
4
2
He2
16
8 8
40
20
20
48
20
28
208
82
126
O
126
82
Ca
Ca
Pb
mass number A
MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2012
Hinweise auf Schalenstruktur
•
Abweichungen von der Bethe-Weizsäcker Massenformel: hohe Bindungsenergie
208Pb
132Sn
MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2012
Hinweise auf Schalenstruktur
 hohe Energie der ersten angeregten 2+ Zustände
 verschwindende Quadrupolmomente
MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2012
Shell structure
Experimental evidence for magic numbers close to stability
E2 
1
Nuclei with magic numbers
of neutrons/protons
high energy of 21+ state
low B(E2; 21+→0+) values
transition probability measured in
single particle units (spu)
B( E 2; 21  0 )
Maria Goeppert-Mayer
J. Hans D. Jensen
If we move away from stability?
MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2012
Kernpotenziale
A
A
pˆ i2
ˆ
H 
 Vˆ ri , rj 
i 1 2mi
i j
A
A

 pˆ i2
 A ˆ
ˆ
ˆ
H  
 V ri   V ri , rj   Vˆ ri 
i 1  2mi
i 1
  i j

 2 2

  V r      r   0

 2m

 r  
u r 
 Y m  ,    X ms
r
 Aufstellung eines mittleren Kernpotenzials V(r):
a) harmonischer Oszillator
b) Kastenpotenzial
c) Woods-Saxon Potenzial
in dem sich die einzelnen Nukleonen (wechselwirkungsfrei) bewegen
MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2012
V r  
 V0
1  e r  R0 / a
Das Schalenmodell
A
 pˆ i2

ˆ
H  
 Vˆ ri 
i 1  2 mi

harmonischer
Oszillator
6 
V
5 
0
r
4 
3 
2 
V0
1 
0 
KastenPotenzial
realistisches Potenzial
+ Spin-Bahn Kopplung
168
168
112
4s
3d
2g
70
3p
1i
2f
126
40
1h/3s
2d
1g
82
20
2p
1d
8
2s
1d
50
28
20
1p
8
1s
2
2
4s1/2
3d3/2
2g7/2
3d5/2
1i11/2
2g9/2
2f5/2
3p1/2
1i13/2
2p3/2
2f7/2
1h9/2
3s1/2
1h11/2
2d1/2
2d5/2
1g7/2
1g9/2
2p1/2
3p3/2
1f5/2
1f7/2
2g1/2
1d3/2
1d5/2
1p1/2
1p3/2
1s1/2
MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2012
Woods-Saxon Potenzial
 Woods-Saxon liefert nicht die korrekten magischen Zahlen
(2, 8, 20, 28, 50, 82, 126)
 Meyer und Jensen (1949): starke Spin-Bahn Wechselwirkung
  
 2 2
  V r   Vs r     s    r   0

2

m


1 dV
Vs r  ~    
r dr
mit
 0
dV r 
dr

J

s
V r 


Spin-Bahn Term hat seinen Ursprung in der relativistischen Beschreibung der Einteilchenbewegung im Kern
MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2012
r
Woods-Saxon Potenzial


  
1




s

 j 2  2  s2  2
j  s
2
1
   j   j  1      1  s  s  1  2
2
Für das Potenzial folgt:

V r    Vs
2
V r  
 1
 Vs
2
für
j   1/ 2
für
j   1/ 2
Spin-Bahn Wechselwirkung führt zu großer Aufspaltung für große ℓ.
j   1 / 2
j   1 / 2
j   1 / 2
MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2012
   1 / 2  Vs
 / 2  Vs
Woods-Saxon Potenzial
Auswirkungen der Spin-Bahn Kopplung
 Absenkung der j = ℓ+1/2 Orbitale aus der
höheren Oszillatorschale (Intruder Zustände)
 Reproduktion der magischen Zahlen
 1 2
Es 
 1 2
2   1 2
   Vs
2
große Energieabstände → besonders stabile Kerne
Wichtige Konsequenz:
 Abgesenkte Orbitale aus höherer N+1 Schale
haben andere Parität als Orbitale der N Schale
 Starke Wechselwirkung erhält die Parität. Die abgesenkten
Orbitale mit anderer Parität sind sehr reine Zustände und
mischen nicht innerhalb der Schale
MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2012
Schalenmodell – Massenabhängigkeit der Energien
 Massenabhängigkeit der NeutronenEnergien: E ~ R 2
Zahl der Neutronen in jedem Niveau:
2  2    1
MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2012
Erfolge des Einteilchen Schalenmodells
 Kernspin und Parität des Grundzustands:
Jedes Orbital hat 2j+1 magnetische
Unterzustände, voll besetzte Orbitale haben
Kernspin J=0, tragen nicht zum Kernspin bei.
Spin von Kernen mit einem Nukleon
außerhalb der besetzten Orbitale ist durch den
Spin dieses Nukleons bestimmt.
nℓj→J
(-)ℓ = π
MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2012
Erfolge des Einteilchen Schalenmodells
 Magnetische Momente:
Für den g-Faktor gj gilt:
mit



 j  g    g s  s  g j  j


 2   2 2
  
  j  s   j  2 j  s  s 2

j 
 


 j j
  j   g    g s  s   
j  j




 2 
  

s 2  j    j 2  2  j    2
g    j  j  1    1  3 / 4 g s   j  j  1    1  3 / 4 
j
2  j  j  1
1
1     1  s  s  1
g j   g   g s   
 g   g s 
2
2
j   j  1
Einfache Beziehung für den g-Faktor
von Einteilchenzuständen
g  g  

 g Kern  g   s
K
2   1
für

j    1/ 2
MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2012
Erfolge des Einteilchen Schalenmodells
 Magnetische Momente:
 

1 1
  g   j     g s   K
2 2


z   
 j   g   j  3   1  g   
s
K
 j  1   
2 2


j   1/ 2


für j    1 / 2

für
 g-Faktor der Nukleonen:
Proton:
gℓ = 1; gs = +5.585
Neutron: gℓ = 0; gs = -3.82
Proton:
für
 j  2.293   K

j
z  

j  2.293 
  K für

j

1

Neutron:
für
 1.91  K

j
z  
 1.91
  K für

j 1

j    1 / 2

j   1/ 2


j    1 / 2

j   1/ 2


MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2012
Magnetische Momente: Schmidt Linien
MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2012
Experimental single-particle energies
γ-spectrum
single-particle energies
1 i13/2
1609 keV
2 f7/2
896 keV
1 h9/2
0 keV
209
83
Bi126
MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2012
208Pb
→ 209Bi
Elab = 5 MeV/u
Experimental single-particle energies
γ-spectrum
208Pb
single-hole energies
3 p3/2
898 keV
2 f5/2
570 keV
3 p1/2
0 keV
207
82
Pb125
MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2012
→ 207Pb
Elab = 5 MeV/u
Experimental single-particle energies
particle states
209Bi
2 f7/2
1609 keV
896 keV
1 h9/2
0 keV
1 i13/2
208
82
209Pb
energy of shell closure:
Pb126
BE(209Bi)  BE(208Pb)  E(1h9 / 2 )
BE(207Tl )  BE(208Pb)  E(3 s1/ 2 )
E 1h9 / 2   E (3 s1/ 2 )  BE( 209Bi)  BE( 207Tl )  2  BE( 208Pb)
  4.211MeV
207Tl
207Pb
BE(209Pb)  BE(208Pb)  E(2 g9 / 2 )
BE(207Pb)  BE(208Pb)  E(3 p1/ 2 )
hole states
protons
neutrons
E 2 g9 / 2   E (3 p1/ 2 )  BE( 209Pb)  BE( 207Pb)  2  BE( 208Pb)
MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2012
 3.432
Level scheme of 210Pb
2846 keV
2202 keV
1558 keV
1423 keV
exp. single particle energies
779 keV
0.0 keV
-1304 keV (pairing energy)
residual interaction !
M. Rejmund Z.Phys. A359 (1997), 243
MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2012
Die drei Strukturen des Schalenmodells
MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2012
Evolution of nuclear structure
as a function of nucleon number
MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2012
Systematics of the Te isotopes (Z=52)
Neutron number
68
70
72
74
76
78
80
82
Val. Neutr. number 14
12
10
8
6
4
2
0
MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2012
Experimental observables in even-even nuclei
4+
1000
E (41 )
R4 / 2 
E (21 )
B ( E2; 41  21 )
2+
400
B ( E2; 21  01 )
0
E ( keV)
0+
Jπ
1
BE 2; J i  J f  
 f M E 2 i
2  Ji 1
MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2012
2
Schalenmodell
Gegeben sind die Energieniveaus, wie sie vom Schalenmodell vorhergesagt werden. Entnehmen
Sie diesem Schema die Werte für den Spin und die Parität JP der folgenden Kerne und geben Sie
diese Werte an: 3He, 5He, 7Li, 8Be, 13C, 17F, 31P, 114Sn, 209Pb.
b) Berechnen Sie den Abstand zwischen den Neutronenschalen 1p1/2 und 1d5/2 für Kerne mit
A~16 aus der gesamten Bindungsenergie von 15O (111.9556MeV), 16O (127.6193MeV, und 17O
(131.7627MeV).
c) Wie interpretieren Sie den Unterschied der Bindungsenergie von 17O und 17F (128.2196MeV)?
Schätzen Sie den Radius dieser Kerne ab: Vergleichen Sie dazu die Ergebnisse aus der Annahme
homogen geladener Kugeln mit denen aus der Beziehung r =1.21 fm A1/3.
Kern
A
N
Z
Konfiguration
L
JP
3He
3
1
2
n: 1s1/2
0
1/2+
5He
5
3
2
n: 1p3/2
1
3/2-
7Li
7
4
3
p: 1p3/2
1
3/2-
8Be
8
4
4
gg-Kern
13C
13
7
6
n: 1p1/2
1
1/2-
17F
17
8
9
p: 1d5/2
2
5/2+
31P
31
16
15
p: 2s1/2
0
1/2+
114Sn
114
64
50
gg-Kern
209Pb
209
127
82
n: 2g9/2
E1d5 / 2   BE(17O)  BE(16O)  4.1434 MeV
0+
0+
4
9/2+
E1 p1/ 2   BE(16O)  BE(15O)  15.6637 MeV
E 1 d5 / 2   E (1 p1/ 2 )  BE (17O)  BE (15O)  2  BE (16O)  11.5203 MeV
3 Z Z  1  e 2
3 e2
 ECoul 
 9  8  8  7 
5
R
5 R
zusätzliches Proton hat eine hohe Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei großen Radien
ECoul 
R
3 e2
 9  8  8  7   3.9 fm
5 ECoul
R  1.21 A1/ 3  3.1 fm
MP-41 Teil 2: Physik exotischer Kerne, SS-2012

Schalenmodell