Mathematik Jahrgangsstufe 11
Mathematik Jahrgangsstufe 11
Funktionen II – Ganzrationale Funktionen
6. Plenum
6.11.2009
Ganzrationale Funktionen
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Funktionen II – Ganzrationale Funktionen
Was sind noch mal Potenzfunktionen?
Funktionen der Form
x  a x
n
mit n  N und a  R nennt
man
Potenzfunktionen mit
natürlichen Exponenten.
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Funktionen II – Ganzrationale Funktionen
. . . in der Übersicht
Graphen von einfachen Potenzfunktionen (a=1)
mit geraden Exponenten
y
x2
mit ungeraden Exponenten
3
y
x
x3
x4
2
2
x5
x6
3
1
x7
1
-3
-2
-1
1
-1
-3
-2
-1
1
-1
2
3
x
-2
-3
2
3
x
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Funktionen II – Ganzrationale Funktionen
Lernangebot
1. Ein neuer Funktionstyp:
Ganzrationale Funktionen
2. Verhalten für x —› ± ∞ mit Übungen
3. Symmetrie: 

allgemein
bei ganzrationalen
Funktionen
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Funktionen II – Ganzrationale Funktionen
Anwendungsbeispiel
Volumen einer Schachtel
Term zur Volumenberechnung : (30-2x)(21-2x)x
Funktion zur Volumenberechnung in Abhängigkeit von x
V(x) = 4x3 - 102x2 + 630x
Definitionsmenge D = {x| x є R, 0< x < 10,5}
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Funktionen II – Ganzrationale Funktionen
Definitionen
Neue Funktionsterme
4x3 - 102x2 + 630x
-7x5
+
2x3 –
4,2
3x6 –x5 + 6x4 – 9x3 – 88x2 + 10x -7
Terme der Form
anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
mit n є N und an≠ 0
nennt man Polynome
Der höchste Exponent n heißt Grad des Polynoms.
Die reellen Zahlen an bis a0 heißen Koeffizienten.
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Definitionen
Ganzrationale Funktionen
Eine Funktion f mit einem Polynom als Funktionsterm
nennt man eine ganzrationale Funktion.
f(x)  7x4 - 5x  1
Grad 4
a4  7,
a3  a2  0,
a1  - 5,
a0  1
g(x)  x(x - 4) - x2
g(x)  -4x
x2
h(x) 
x 1
Grad 1,
a1  -4,
a0  0
Der Funktionsterm ist kein
Polynom → h ist keine
ganzrationale Funktion
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Funktionen II – Ganzrationale Funktionen
3. Grades unter der Lupe
Ganzrationale Funktionen unter der Lupe
f(x)= x3 - x
y
y
1000
800
3
600
2
400
1
200
-10
-8
-6
-4
-2
4
2
-200
4
6
8
10
x
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
-1
-400
2.5
x
-2
-600
-3
-800
-4
-1000
f(x)= x3 + x2 - 2x -2
yy
y
400
3
300
2
200
1
100
-2.5
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-100
-200
-300
4
1
2
3
4
5
6
7
x
x
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
-1
-2
-3
-4
1.0
1.5
2.0
x
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Funktionen II – Ganzrationale Funktionen
4. Grades unter der Lupe
Ganzrationale Funktionen unter der Lupe
f(x)= x4 - 2x3 - x2 + 2x
y
y
3
300
2
200
1
100
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4
x
x
-100
-1
-200
-2
f(x)= x4 - 3x3 - x2 + 3x
y
y 10
600
8
500
6
400
4
300
2
200
-1.5
100
-4
-3
-2
-1
-100
-200
-200
-1.0
-0.5
0.5
-2
1
2
3
4
5
6
x
-4
-6
-8
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
x
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5. Grades unter der Lupe
Ganzrationale Funktionen unter der Lupe
f(x)= x5 - x3
yy 3000
3000
-5
-5
-4
-4
-3
-3
-2
-2
y
0.3
2000
2000
0.2
1000
1000
0.1
-1
-1
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
xx
-1.2
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
-1000
-1000
-0.1
-2000
-2000
-0.2
-3000
-3000
-0.3
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
x
f(x)= -x5 + 1,27x3 – 0,15x2 + 0,2376x
y
y 3000
0.2
2000
0.1
1000
-1.2
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
-0.1
-1000
-2000
-3000
-0.2
-0.3
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
x
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Funktionen II – Ganzrationale Funktionen
Direkter Vergleich
Potenzfunktionen - ganzrationale Funktionen
aus der Nähe
f(x)= x3
g(x)=
x3
y
aus der Ferne
y
1.0
0.8
-x
20
0.6
0.4
g
-1.0
10
0.2
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
-3
-2
-1
1
2
3
x
-10
-0.4
-0.6
f
-20
-0.8
-1.0
f(x)= x4
g(x)=
x4
y
y 12000
1.0
0.8
-
2x3
–
x2
+2x
10000
0.6
0.4
8000
0.2
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
-0.2
6000
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
4000
-0.4
2000
-0.6
-0.8
-1.0
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
x
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Funktionen II – Ganzrationale Funktionen
Kurvenverlauf
f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion f vom Grad n
wird für x  ∞ bzw. x  - ∞ vom Summanden anxn bestimmt.
Ist an > 0 und n gerade so folgt für f(x):
für x  - ∞ gilt: f(x)  + ∞.
für x  + ∞ gilt: f(x)  +
∞.
Ist an < 0 und n gerade so folgt für f(x):
für x  - ∞ gilt: f(x)  - ∞.
für x  + ∞ gilt: f(x)  - ∞.
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Funktionen II – Ganzrationale Funktionen
Kurvenverlauf
f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
Ist an > 0 und n ungerade so folgt für f(x):
für x  - ∞ gilt: f(x)  - ∞.
für x  + ∞ gilt: f(x)  +
∞.
Ist an < 0 und n ungerade so folgt für f(x):
für x  - ∞ gilt: f(x)  + ∞.
für x  + ∞ gilt: f(x)  - ∞.
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Casting - Beispiel
Casting:
Deutschland sucht den Kurvenstar
f(x) = -x4 +3x3 +x2 -3x
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Funktionen II – Ganzrationale Funktionen
Casting 1A
Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
f(x) = 2x5 +3x4 –7x
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Funktionen II – Ganzrationale Funktionen
Casting 1B
Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
f(x) = 2x5 +3x4 –7x
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Funktionen II – Ganzrationale Funktionen
Casting 2A
Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
f(x) = 7x4 –7x5 +x2
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Funktionen II – Ganzrationale Funktionen
Casting 2B
Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
f(x) = 7x4 –7x5 +x2
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Funktionen II – Ganzrationale Funktionen
Casting 3A
Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
f(x) = 10 -x +x2 -x3 +4x4 -10x5 +x6 -x7 +x8
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Funktionen II – Ganzrationale Funktionen
Casting 3B
Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
f(x) = 10 -x +x2 -x3 +4x4 -10x5 +x6 -x7 +x8
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Funktionen II – Ganzrationale Funktionen
Casting 4A
Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
f(x) = 5x6 –50x5 +75x4 +1280x3 +580x2 -6480x +14240
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Funktionen II – Ganzrationale Funktionen
Casting 4B
Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
f(x) = 5x6 –50x5 +75x4 +1280x3 +580x2 -6480x +14240
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Symmetrie
y
Achsensymmetrie zur y-Achse:
5
4
zu –x und zu x gehört
derselbe y-Wert
3
2
1
-2
-1
1
2
-1
x
f(-x) = f(x)
-2
y
Punktsymmetrie zum Ursprung:
5
4
3
2
1
-2
-1
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
x
die zu –x und zu x gehörige
y-Werte unterscheiden sich nur
durch das Vorzeichen
f(-x) = -f(x)
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Funktionen II – Ganzrationale Funktionen
Symmetrie – einfach zu erkennen
Bei ganzrationalen Funktionen erkennt man
eine vorhandene Symmetrie sehr schnell.
f(x)= -3x6 + 5x2
g(x)= x400 - 3x78 – 77
Enthält der Funktionsterm einer ganzrationalen
Funktion nur Potenzen mit geraden Hochzahlen, so
ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse.
Solche ganzrationalen Funktionen heißen gerade.
h(x)= 4x7 - 5x3 + 9x
k(x)= -22x431 - 3x91
Enthält der Funktionsterm einer ganzrationalen
Funktion nur Potenzen mit ungeraden Hochzahlen,
so ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.
Solche ganzrationalen Funktionen heißen ungerade.
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Die drei Fragen
1. Erkläre die Begriffe: „ Polynom“ und „ganzrationale
Funktion“.
2. Welchen Verlauf haben die Graphen der
ganzrationalen Funktionen im Vergleich zu den
Potenzfunktionen?
3. Wie erkenne ich, welche dieser Funktionen
Symmetrieeigenschaften besitzen?
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Aufgaben
Stunde
1
2
BASIC´s
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Seite 91: A 4
Seite 91: A 5
LS11 Seite 93: A 2c,f,i
A3
TOP´s
LS11 Seite 99: A 4
LS11 Seite 93: A 4
A5
LS11 Seite 99: A 8
LS11 Seite 93: A 7
Viel Erfolg!

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