[ CHAOS und FRAKTALE ]
Steffi Cordier - Paulina Paszkiewicz - Uli Quitsch
Stefan Quint - Johannes Horlemann - Achim Boltz
I. Chaos?!
[ Chaos und Fraktale ]
Begriff „Chaos“ 1973 von James A. Yorke geprägt
Beschreibung komplexer, dynamischer Systeme,
die chaotisch wirken, aber durch Formeln beschreibbar sind
Laplace bzw.
Klare Gesetzmäßigkeiten
Determinismus:
Linearität
strenge Vorhersagbarkeit
Kausalitätsprinzip
I. Chaos?!
[ Chaos und Fraktale ]
Reduktionismus entspricht nicht der Realität
hochkomplexe Systeme mit Rückkopplung
nie gleiche Bedingungen in der Praxis
Sensititve Abhängigkeit (bei chaotischen Systemen)
„kleine und kleinste Veränderungen der Anfangsbedingungen
können größte Effekte verursachen“
Beispiele: Wettervorhersage, Billardspiel
„Schmetterlingseffekt“
Deterministisches Chaos
Ein System folgt streng einer Rechenvorschrift,
ist aber nicht vorhersagbar.
II. Logistische Abbildung
[ Chaos und Fraktale ]
Xn = c * Xa (1 – Xa)
Beispiel für Populationsentwicklung
Logistische Abbildung
Xn Populationsdichte
Xa Vorjahrespopulation
c Anzahl der Nachkommen
Diskrete Funktionswerte
Iteration ( output als input )
Kleinste Abweichung von c wird verstärkt
sensitive Abhängigkeit
II. Logistische Abbildung
[ Chaos und Fraktale ]
Xn = c * Xa (1 – Xa)
1<c<3
stabiler Wert zw. 1 und 0
c>3
zwei-peak-oszillierend
c = 3,45
vier-peak-oszillierend
c > 3,57
Periode chaotisch, unendlich
II. Logistische Abbildung
[ Chaos und Fraktale ]
Xn = c * Xa (1 – Xa)
Feigenbaumdiagramm
1
2
1
2
3
3
4
4
Anzahl der Nachkommen
II. Logistische Abbildung
[ Chaos und Fraktale ]
Xn = c * Xa (1 – Xa)
Periodenverdopplung
an den
Bifurkations-
Stellen
„Bifurkationsweg
ins Chaos“
universell
Anzahl der Nachkommen
III. Attraktoren
Attraktor
[ Chaos und Fraktale ]
Systemzustand, auf den ein System sich einschwingt
Für best. c läuft Algorithmus auf festen Wert zu
Fixpunkt
vorhersehbar
Grenzzyklus
„Seltsamen“ Attraktor
in chaotischen Systemen
unendlich viele Werte
unendlich stark gefaltet
fraktal
III. Attraktoren
„Seltsamen“ Attraktor
[ Chaos und Fraktale ]
in chaotischen Systemen
unendlich viele Werte
unendlich stark gefaltet
fraktal
Beispiel: Lorenz-Attraktor
IV. Fraktale
[ Chaos und Fraktale ]
IV. Fraktale
[ Chaos und Fraktale ]
„Ein Fraktal ist eine Figur, deren Dimension nicht ganzzahlig ist.“
 fraktal = „gebrochen“
Die Dimension eines Fraktals nennt man fraktale Dimension.
Gehirn: d = 2,79
IV. Fraktale
[ Chaos und Fraktale ]
Schneeflockenkurve:
• Initiator: Linie der Länge 1
• Linie wird gedrittelt und auf das mittlere Drittel wird eine dreieckige
Insel der Kantenlänge 1/3 gelegt:
1/3
• Jede neu entstandene Strecke hat nun die Länge 1/3.
• Man nennt dieses Gebilde auch Generator, da bei jeder neuen
Iteration mit jeder Strecke genauso verfahren wird.
IV. Fraktale
[ Chaos und Fraktale ]
Der Vorgang wird unendlich oft wiederholt, dabei entsteht die
sogenannte Schneeflockenkurve, die unendlich lang ist.
Dimension: d = 1,26
IV. Fraktale
[ Chaos und Fraktale ]
Betrachtet man als Initiator ein Dreieck der Länge 1, erhält man eine
Koch‘sche Insel bzw. Schneeflocke:
IV. Fraktale
[ Chaos und Fraktale ]
„Wie lang ist die Küste Britanniens?“
Küste ist unendlich lang, schließt aber einen endlichen Flächeninhalt
ein.
=> d(GB) = 1,26
IV. Fraktale
Das Farnblatt
[ Chaos und Fraktale ]
IV. Fraktale
[ Chaos und Fraktale ]
Juliamenge
J(c) = { z0  C: (zn) <  mit zn+1 = zn2 + c} mit c  C fest.
Wiederholung: Komplexe Zahlen
I
1i

1
R
IV. Fraktale
[ Chaos und Fraktale ]
IV. Fraktale
[ Chaos und Fraktale ]
Selbstähnlichkeit
„Wenn eine Menge Untermengen enthält, die sich durch Rotation,
Translation und Skalierung in die Obermenge transformieren
lassen, ist sie selbstähnlich.“
IV. Fraktale
[ Chaos und Fraktale ]
Mandelbrotmenge
M = { c  C: (zn) <  mit zn+1 = zn2 + c} mit z0 = 0.
IV. Fraktale
[ Chaos und Fraktale ]
V. Resumé
[ Chaos und Fraktale ]
Revolutionäre Bedeutung der
Chaostheorie
Gegensatz zum streng wissenschaftlich
kontrollierbaren Weltbild
Viele Bereiche des Lebens betreffend
[ Chaos und Fraktale ]
DANKE FÜRS ZUHÖREN!
IHR HABT SUPER DURCHGEHALTEN!

CHAOS und FRAKTALE