26. Kurvendiskussion
y
y = mx + c
Dy
j
Dx
y ‘ = m = tanj
c
0
x
f(x)
Maximum
Wendepunkt
Sattelpunkt
Wendepunkt
x
Minimum
Ist f´(x) diffbar, so gibt es
d2f
df´
(2)
=
=
f´´
=
f
dx2
dx
f(x) = x3 f´ = 3x2, f´´ = 6x, f´´´ = 6, f(4) = 0, f(5) = 0, ...
Polynome sind beliebig oft differenzierbar.
f´(x) = 0 und f´´(x) < 0 (lokales) Maximum (Steigung nimmt ab)
f´(x) = 0 und f´´(x) > 0 (lokales) Minimum (Steigung nimmt zu)
f´´(x) = 0 und f´´´(x) ≠ 0 Wendepunkt
Wendepunkt mit f´(x) = 0 Sattelpunkt
f´(x) = 0 und f´´(x) = 0 bedingen noch
keinen Wendepunkt: f = c oder f = x4.
Beispiel:
D = , W = 
y(x) = x3 - 4x
f(x)
20
10
y(x) ist eindeutig. Es handelt sich um eine Funktion.
-4
-2
2
-10
Nullstellen: y(x) = x(x-2)(x+2)  x01 = -2, x02 = 0, x03 = 2
Grenzwerte:
-20
lim x 3  4x   , lim x 3  4x  
x (  )
1. Ableitung: y´ =
3x2
2. Ableitung: y´´= 6x
x 
-4
2
2
xM1 = 3 3 ; xM2 = - 3 3
xW1 = 0
2
16
y´´> 0 für x > 0  bei xM1 liegt ein lokales Minimum ( 3 3 , - 9 3 )
2
16
y´´< 0 für x < 0  bei xM2 liegt ein lokales Maximum (- 3 3 , 9 3 )
y´´= 0 und y´´´≠ 0 für x = 0  bei x = 0 liegt ein Wendepunkt (0, 0)
4 x
Wie muß der Grundriß eines rechteckigen Hauses aussehen,
wenn bei 100 m2 Grundfläche die Außenwände so kurz wie
möglich sein sollen? (Hinweis: Die Funktion f = Wandlänge ist
aufzustellen und das Minimum zu suchen.)
In eine Kugel ist ein Zylinder von möglichst großem Volumen zu
legen.
Aus einem Baumstamm vom Durchmesser D ist ein rechtwinkliger
Balken von größtmöglicher Tragfähigkeit t zu schneiden. t ist
proportional zur Breite und zum Quadrat der Höhe des Balkens.
Man diskutiere die Funktion y(x) = x2/ex.

M26