Wann ist eine Funktion (über den natürlichen Zahlen) berechenbar?
Intuitiv: Wenn es einen Algorithmus gibt, der sie berechnet!
Was heißt, eine Elementaroperation ist maschinell ausführbar?
Was verstehen wir unter einer Rechenmaschine?
Verschiedene Ansätze zur Präzisierung des Berechenbarkeitsbegriffs:
• Turing-Berechenbarkeit
• While-Berechenbarkeit
• Goto-Berechenbarkeit
All diese Präzisierungen (und weitere) beschreiben exakt dieselbe
Klasse von Funktionen
==> Churchsche These: die so erfaßte Klasse von Funktionen ist identisch
mit der Klasse der intuitiv berechenbaren Funktionen
R. Der
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Digitale Informationsverarbeitung (Magister)
Turing-Maschinen: Ein abstrakes Maschinenmodell
Eine Turing-Maschine M = <Z, , ,, z0, E> besteht aus
Z: endliche Zustandsmenge
: Eingabealphabet
:Arbeitsalphabet, enthält 
Überführungsfunktion Z  ---> Z   {L, R, N}
z0: Startzustand
E: Menge der Endzustände in Z
Das Arbeitsalphabet enthält das sog. blank Symbol •
Das Band ist als unendlich lang zu denken.
•
•
A
B
0
C
1
1
A
B
0
•
•
Schreib-Lesekopf
endliche
Kontrolleinheit
R. Der
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Digitale Informationsverarbeitung (Magister)
Die Kontrolleinheit
x Eingelesen
Schreib -Lesekopf
y Schreiben
B Bewegung des SLK
y
x
B
Programmierbare Funktionseinheit
zur Realisierung
der Überführungsfunktion
zi,x -> zj,y,B
endliche
Kontrolleinheit
zi
zj
Speicher für inneren
Zustand zi
R. Der
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Digitale Informationsverarbeitung (Magister)
Berechnungen einer TM
Eingabe steht auf Band, pro Feld ein Symbol.
SL-Kopf auf dem am weitesten links stehenden Eingabesymbol S.
Zustand ist Anfangszustand z0.
In Abhängigkeit von Zustand und gelesenem Symbol gibt  an
• Nachfolgezustand,
• auf Band geschriebenes neues Symbol,
• Bewegungsrichtung (Links, Rechts, Nicht bewegen)
Maschine führt so lange Aktionen aus, bis Zustand aus E erreicht wird
Ausgabe steht nun auf Band.
Eine Funktion heißt Turing-berechenbar, wenn es eine TuringMaschine gibt, die sie (im genannten Sinn) berechnet. Jede
Turingmaschine ist durch die Menge ihrer inneren Zustände und
durch ihre Überführungsfunktion eindeutig festgelegt.
R. Der
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Digitale Informationsverarbeitung (Magister)
Beispiel
Eingabealphabet: {0, 1}, Arbeitsalphabet: {0, 1, •}
Z = {z0, z1, z2, z3}, E = {z3}
Überführungsfunktion [(x, y) -> (z, v, w) statt (x,y) = (z, v, w)]:
(z0, •) -> (z3, 1, N)
(z0, 0) -> (z0, •, R)
(z0, 1) -> (z1, •, R)
(z1, •) -> (z3, 1, N)
(z1, 0) -> (z2, •, R)
(z1, 1) -> (z1, •, R)
(z2, •) -> (z2, •, R)
(z2, 0) -> (z2, •, R)
(z2, 1) -> (z2, •, R)
Maschine liefert 1 gdw auf Band eine Folge 0...01...1 steht.
Anzahl jeweils beliebig (auch null)
R. Der
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While-Berechenbarkeit
Ein while-Programm besteht aus folgenden Komponenten:
Variablen: x0, x1, x2, ...
Konstanten: 0, 1, 2, ...
Sonderzeichen: ;, {, }, (, )
Operationszeichen: +, -, =, !=
Schlüsselwörter: while
Syntax von While-Programmen, induktive Definition:
1. Eine Wertzuweisung der Form xi = xj + c; oder xi = xj - c; (c Konstante)
ist ein while-Programm
2. Falls P1 und P2 while-Programme sind, so auch P1 P2
3. Falls P while-Programm ist, so ist auch
while (xi !=0) {P}
ein while-Programm
4. Nur die durch 1-3 beschiebenen Konstrukte sind while-Programme
Semantik:
Wertzuweisung: xi erhält Wert von xj ± c
Sequenz: erst wird P1 ausgeführt, dann P2
Schleife: P wird so lange ausgeführt, bis xi = 0 gilt. Test vor P-Ausführung
Eingabewerte sind Werte der Variablen x1, ..., xn, alle anderen zunächst 0
R. Der
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Digitale Informationsverarbeitung (Magister)
Beispiel
Multiplikation: Eingabe: x1, x2, Ausgabe: x0 (Vorbelegung x0 = 0)
while (x1 !=0)
{ x3 = x2;
while (x3 != 0)
{
x0 = x0 + 1;
x3 = x3 – 1;
}
x1 = x1 – 1;
}
andere Konstrukte können als Abkürzung eingeführt werden, etwa:
if (x !=0) P1 else P2
statt
x1 = 1; x2 = x;
while (x2 !=0) {P1; x2 = 0; x1 = 0; }
while (x1 != 0) {P2; x1 = 0 ;}
Funktion ist while-berechenbar: es gibt while-Programm, das sie berechnet.
R. Der
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Goto-Berechenbarkeit
Ein Goto-Programm ist eine Sequenz von Anweisungen Ai mit Marken Mi:
M1: A1; M2: A2; ...; Mk: Ak;
(Marken, zu denen nie gesprungen wird, dürfen entfallen.)
Anweisungen sind
• Wertzuweisungen:
• unbedingter Sprung:
• bedingter Sprung:
• Stopanweisung:
xi = xj ± c;
goto Mi; (Ai wird als nächstes ausgeführt)
if (xi == c) goto Mi;
STOP.
While-Schleifen lassen sich mit Goto's simulieren: Aus
while (xi !=0) P
wird
M1: if (xi == 0) goto M2;
P
goto M1;
M2: ...
Funktion Goto-berechenbar: Es gibt entsprechendes Goto-Programm
R. Der
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Ein Goto-Programm für die Multiplikation
Annahmen:
Eingabewerte x1 und x2, Ausgabe x0, x0 mit 0 vorbelegt
M1: if (x1 == 0) goto M4;
x3 = x2;
M2: if (x3 == 0) goto M3;
x0 = x0 + 1;
x3 = x3 - 1;
goto M2;
M3: x1 = x1 - 1;
goto M1;
M4: return x0;
Programme mit GOTO schwer verstehbar und kaum verifizierbar.
Konstrukt sollte deshalb beim Programmieren nicht verwendet werden.
R. Der
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Äquivalenz der Präzisierungen von Berechenbarkeit
Theorem:
Die Begriffe
Turing-berechenbar, While-berechenbar und Goto-berechenbar
sind äquivalent.
Deshalb geht man davon aus, daß der intuitive Berechenbarkeitsbegriff
in diesen Präzisierungen adäquat erfaßt wurde.
Frage: Gibt es Funktionen (über den natürlichen Zahlen), die
• mathematisch präzise beschrieben werden können, aber
• nicht berechenbar sind?
R. Der
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Nicht berechenbare Funktionen: Das Halteproblem
Jede Turing-Maschine und jede Eingabe läßt sich eindeutig als natürliche
Zahl codieren.
Unter dem speziellen Halteproblem versteht man folgendes Problem:
• gegeben: natürliche Zahl m
• gefragt: terminiert Turing-Maschine mit Code m bei Eingabe m?
Problem repräsentierbar als Funktion f: Nat --> {0, 1},
f(m) = 1 gdw TM mit Code m hält bei Eingabe m, f(m) = 0 sonst.
Funktion f ist nicht berechenbar!!
Beweisskizze:
Angenommen es gäbe TM M, die f berechnet. Konstruiere daraus TM M' wie
folgt: M' führt erst M aus, danach wird getestet, ob das Band den Wert 0 hat.
Falls ja terminiert M', falls nein geht M' in Endlosschleife. Sei n der Code von
M'.
<=> M bei Eingabe n liefert 0
Falls gilt: M' hält bei Eingabe n
<=> TM mit Code n hält nicht bei Eingabe n
<=> M' hält nicht bei Eingabe n
Widerspruch!!
R. Der
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berbarkeit