Archimedes
Geschichte der Mathematik
Archimedes von Syrakus
(287 ? – 212 v.Chr.)
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Gliederung
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Geschichtlicher Hintergrund
Biographie (I-IV)
Legende
Werke und Schriften
Die Quadratur der Parabel
Der Kodex des Archimedes
Aktuelle Bedeutung
Literatur
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Mathematik in griechisch-helenischer Zeit und
Spätantike (ca. 1100 v. Chr. – 1450 n. Chr.)
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Antike
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Biographie I
• Archimedes von Syrakus (griechische
Kolonie auf Sizilien)
• Sohn des Astronomen Pheidias
• Gehört zur Oberschicht von Syrakus
• 2. Punische Krieg (218-202 v. Chr.)
• Rom triumphierte und nahm sämtliche
Länder im Mittelmeerraum ein
• Eroberung Syrakus im Jahre 212 v. Chr.
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„Hohlspiegel“ (Legende?)
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Biographie II
• Entwarf für die Armee von Syrakus
technische Waffen/ Kriegsmaschinen
(Hohlspiegel, Wurfmaschinen)
• Erst nach 2 Jahren ist Syrakus durch die
Römer eingenommen worden
• LEGENDE über Archimedes Tod:
• “Man störe meine Kreise nicht“
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Biographie III
• LEGENDE:
• Nach J. Tzetes (griechischer Autor, lebte
n.Chr.)
• war Archimedes bei seinem Tod 75 Jahre
alt.
• 287 ? – 212 v. Chr.
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Biographie IV
• Sein Grabmal ist die
Abbildung eines Zylinders
mit einbeschriebener
Kugel, mit einer Inschrift
über die größte
Entdeckung von
Archimedes, nämlich,
dass sich deren Volumen
wie 3 zu 2 verhält.
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Eine weitere „Legende“
• „ Der goldene Weihkranz“
– König Hieron II wollte dessen Goldgehalt von
Archimedes bestimmen lassen.
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„Ich habe es gefunden“
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Eine weitere „Legende“
• „ Der goldene Weihkranz“
– König Hieron II wollte dessen Goldgehalt von
Archimedes bestimmen lassen.
• Ergebnis: die Krone bestand zu einem
Großteil aus unedlem Metall, der
Goldschmied wurde von König Hieron II
zum Tode verurteilt.
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Werke und Schriften
• Parabelquadratur
• Über Kugel und Zylinder I und II
• Kreismessung
• Über Spiralen
• Über Konoide und Sphäroide bzw. über Paraboloide, Hyperboloide
und Ellipsoide
• Über einander berührende Kreise
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• Die Sandzahl (Zahlensystem zur Basis 108 und astronomische
Inhalte)
• Die Benennung der Zahlen (optische Phänomene, „Katoptrik“)
Physikalisch:
• Die Elemente der Mechanik (Über den Schwerpunkt, über Stützen
bzw. über Säulen, über Waagen (Wasserschrauben, Flaschenzug))
• Über das Gleichgewicht bzw. den Schwerpunkt von Körpern und
über das Gleichgewicht bzw. den Schwerpunkt ebener Flächen I
und II
• Über schwimmende Körper I und II
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Hebewerk und Wasserspirale
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Die Archimedischen Körper
• fastreguläre Körper, die durch reguläre nEcke begrenzt sind)
• Rhombenikosidodekarder / Ikosidokaeder
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Die Quadratur der Parabel
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Die Quadratur der Parabel
• Annäherung an die
Fläche unterhalb der
Parabel durch
Einbeschreiben von
Dreiecken
• Approximationsmethode
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Die Quadratur der Parabel
GeoGebra Datei „Grundabbildung“
Parabel mit Konstruktion des ersten
einbeschriebenen Dreiecks
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Die Quadratur der Parabel
GeoGebra Datei „Grundabbildung1“ + „Konstruktionsschritte“
Parabel mit Konstruktion der annähernden
Dreiecke
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Die Quadratur der Parabel
GeoGebra Datei „Fläche Archimedes“
Verhältnis der einbeschriebenen
Dreiecksflächen unter der Parabel zu
einander
Geometrische Reihe
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Die Quadratur der Parabel
Archimedes:
„Der Inhalt eines
Parabelsegments ist 4/3 des
Inhalts des Dreiecks, das mit
ihm gleiche Grundfläche und
Höhe hat."
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Exhaustionsmethode
• eine Fläche wird durch eingeschriebene
Flächen "ausgeschöpft“
• Beruht auf einem Satz eines griechischen
Mathematikers (Eudoxos von Knidos):
"Zieht man von irgendeiner Größe einen Teil ab, der
nicht kleiner als die Hälfte dieser Größe ist, vom Rest
einen Teil, der nicht kleiner als die Hälfte ist, und so
weiter, so bleibt schließlich eine Größe übrig, die kleiner
als jede der vorgegebenen Größe derselben Art ist."
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Herangehensweisen zur
Beweisführung
• 24 Paragraphen
(zur Quadratur der Parabel, in: Archimedes
Werke, 1922)
auch: Mechanische Methode „Wagebalken“
• Doppelter Widerspruchsbeweis:
„Das Parabelsegment ist (nicht) größer oder
kleiner als 4/3 des Inhaltes des ersten
einbeschriebenen Dreieckes“
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• GeoGebra Datei „Beweis“
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Der Kodex des Archimedes
• “Der Kodex des
Archimedes. Das
berühmteste
Palimpsest wird
entschlüsselt.”
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Kodex/ Palimpsest
• Kodex vom lat. Codex = Schreibtafel
„Mit einem Faden zusammengeheftetes
Pergament“
Handschriftenkodex= einzigartiger Kodex
• Palimpsest griechisch palin (wieder) und
psan (reiben)
„Ein Pergament wurde mehr als einmal
beschrieben“
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Palimpsest
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Geschichte des Kodex I
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Geschichte des Kodex II
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Geschichte des Kodex III
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• 1998 in New York vom Auktionshaus Christie’s
als ein mittelalterliches Gebetbuch versteigert.
• Erlös von über zwei Millionen Dollar.
• Ersteigert wurde der Kodex des Archimedes von
einem Antiquar im Auftrag eines Privatmanns.
• Dieser versucht den Kodex mit Hilfe von
Fachleuten und Wissenschaftlern und unter
Einsatz modernster Techniken lesbar zu machen
(erfolgreich).
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Der Kodex des Archimedes
• GeoGebra Datei „Der Kodex des Archimedes“
Konstruktionsfehler im Fachbuch
Achtung: Dreiecksflächenverhältnis!!!
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Sie knüpften an Archimedes Überlegungen
an und führten diese fort …
– Galilei
– Leibnitz
– Fermat
– Descartes
– Newton
–…
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Bedeutung für heutige
Fachwissenschaften
• Archimedische Prinzip der Hydrostatik
• Basis für heutige Methoden: z.B.
Integralrechnung
• Brennspiegel (heute Parabolspiegel)
• Paradoxa in der Reihenlehre (konnten durch zu
Hilfenahme griechischer Beweisstrenge) gelöst
werden
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Archimedes für die Schule
(Mathematikunterricht)
• Wenig Präsens in Schulbüchern
(vgl. Lederle 1999:10)
• Unterstufe: z.T. in Verbindung mit
der Einführung der Zahl Pi
• Oberstufe: z.T. Einführung von
Integralrechnung
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Weitere Bereiche im
Schulunterricht…
• Inhaltsformeln von Kugel, Kreis und
Pyramiden
• …
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Ausgewählte Literatur
•
Archimedes; Czwalina, Arthur. (1983): Werke. Sonderausg., 4. unveränd. reprograf.
Nachdr. Darmstadt.
•
Archimedes; Czwalina-Allenstein, Arthur. (2003): Über Spiralen. 2. Aufl., Reprint der
Ausg. Leipzig, Thun.
•
Gut, Jutta (2005): 12. Flächen- und Volumsberechnungen bei Archimedes. In:
http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kegelschnitte12.htm (22.11.2008)
•
Konforowitsch, Andrij Grigorowitsch; Dick, Galina. (1996): Guten Tag, Herr
Archimedes. 227 unterhaltsame Mathematikaufgaben vom Altertum bis zur
Gegenwart. 2., unveränd. Aufl. Thun.
•
Lederle, Cornelia (1999): Archimedes für die Schule?! Diplomarbeit zur Erlangung
des akademischen Grades einer Magistra der Naturwissenschaften an der LeopoldFranzens-Universität Innsbruck. Innsbruck. In: http://geometrie.eduhi.at/data/AKKegelschnitte/archimed.pdf (20.11.2008)
43
•
Netz, Reviel; Noel, William;Filk, Thomas (2007): Der Kodex des Archimedes. Das berühmteste
Palimpsest der Welt wird entschlüsselt. München.
•
o.A. Universität Siegen (o.J.): Mathematiker im Spiegel der Zeiten – Ein Zusammentreffen
berühmter Mathematiker. Oder „Mathematiker alter Zeiten begegnen sich“. In:
http://www.math.uni-siegen.de/geschmath/MathematikerTreffen.pdf (22.11.2008).
•
Ortoli, Sven; Witkowski, Nicolas. (1997): Die Badewanne des Archimedes. Berühmte Legenden
aus der Wissenschaft ; mit 25 Abbildungen. 4. Aufl. München.
•
Rinkens, Hans-Dieter (2006): Flächeninhalt des Parabel-Segments. Exhaustionsmethode nach
Archimedes (287? – 212 v.Chr.). Wintersemester 2006/7 Elemente der Analysis. In:
http://www.rinkenshd.de/_data/veran_ana_parabel.pdf?PHPSESSID=bb7ac1fdd942fc5490cd5fe440e681f3
(22.11.2008).
•
Vollrath, Hans-Joachim (1986): 44. Zur Beziehung zwischen Begriff und Problem in der
Mathematik. In: Journal für Mathematikdidaktik 7 (1986), 243-268. In:
http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/history/vollrath/papers/044.pdf (05.12.2008).
•
Wußing, Hans (2008): 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise - 1. Von den
Anfängen bis Leibniz und Newton. Berlin, Heidelberg.
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