Kapitel 13
Zeitreihen und
Zeitreihen-Modelle
Privater Konsum
120
Privater Konsum, Ö,
Mrd.EUR, in Preisen
von 1995
110
100
90
80
70
60
50
76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
Privater Konsum
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
2
Privater Konsum,
Änderung des Privaten
Konsums, Mrd.EUR, in
Preisen von 1995
Forts.
4
3
2
1
0
-1
76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
Änderung des Privaten Konsums
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
3
Persönlich verfügbares
Einkommen
260000
Persönlich
verfügbares
Einkommen, Ö,
Quartalsdaten
240000
220000
200000
180000
160000
140000
76
78
80
82
84
86
88
90
92
94
YDR
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
4
Zeitreihe
Ist eine zeitlich geordnete Folge von Beobachtungen einer
Zufallsvariablen
Beispiele:




Jährliche Werte des Privaten Konsums
Änderungen der Ausgaben für Privaten Konsum
Quartalswerte des persönlich verfügbaren Einkommens
Monatliche Werte der Importe
Notation: Zufallsvariable Y
Folge von Beobachtungen: Y1, Y2, ... , Yn
Zeitreihe wird auch als Realisation eines stochastischen Prozesses
aufgefasst
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
5
Komponenten einer Zeitreihe
Komponeten oder Charakteristika einer Zeitreihe sind

Trend

Saisonalität

Irreguläre Fluktuationen
Modell einer Zeitreihe soll die Charakteristika möglichst gut
repräsentieren

Darstellung der Zeitreihe

Prognose (Extrapolation)
Beispiel: Yt = βt + ΣiγiDit + ut
mit Dit = 1 wenn t das i-te Quartal
zum Beschreiben der Entwicklung des persönlichen Einkommens
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
6
Stochastischer Prozess
Ist eine Folge von Zufallsvariablen Yt:
{Yt, t = 1, ..., n}
{Yt, t = -∞, ..., ∞}
Gemeinsame Verteilung der Y1, ... , Yn:
p(y1, …., yn)
Für viele Fragestellungen: wesentliches Charakteristikum von p(.) ist der
Verlauf des Erwartungswertes mt = E{Yt}
Beispiel: Extrapolieren einer Zeitreihe zum Zweck der Prognose
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
7
Stationarität
Stationarität eines stochastischen Prozesses: Eigenschaft der
gemeinsamen Verteilung, insbesondere


der Varianzen Var{Yt} und
der Kovarianzen Cov{Yt, Yt+k}
Kovarianz-Funktion:
gt,k = Cov{Yt, Yt+k}, k = 0, ±1,…
Eigenschaften:
gt,k = gt,-k
gt,0 = 1
Schwach stationärer Prozess:
E{Yt} = m für alle t
Cov{Yt, Yt+k} = gk, k = 0, ±1, … für alle t und alle k
auch kovarianz-stationärer Prozess
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
8
AC- und PAC-Funktion
Autokorrelations-Funktion (AC-Funktion) ist von Skalierung von
Y unabhängig; für stationären Prozess:
rk = gk/g0, k = 0, ±1,…
Eigenschaften:
|rk| ≤ 1
rk = r-k
r0 = 1
Korrelogramm: graphische Darstellung der AC-Funktion
Partielle Autokorrelations-Funktion (PAC-Funktion):
fkk = Corr(Yt, Yt-k|Yt-1,...,Yt-k+1), k = 0, ±1, …
fkk ergibt sich aus Yt = fk0 + fk1Yt-1 + ... + fkkYt-k
Partielles Korrelogramm: graphische Darstellung der PAC-Funktion
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
9
AC- und PAC-Funktion,
Forts.
Beispiel: Weißes Rauschen
rk = fkk = 1, wenn k = 0,
rk = fkk = 0, wenn k ≠ 0,
Schätzen der AC- und PAC-Funktion:
Schätzer für rk:
rk
( y  y )( y  y )


 ( y  y)
t
t k
t
2
t
t
Schätzer für fkk ergibt sich als Koeffizient von Yt-k aus Regression von Yt
auf Yt-1, …, Yt-k
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
10
AR(1)-Prozess
Yt = jYt-1 + et
mit et: Weißes Rauschen
Alternative Darstellung:
Yt = Sijiet-i
Mit |j| < 1 ergibt sich
jk
2
CovYt , Yt k  

1j 2
|j| < 1 nennt man die Stationaritäts-Bedingung
AC-Funktion: rk = jk, k = 0, ±1,…
PAC-Funktion: f11 = j, fkk = 0 für k > 1
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
11
AR(p)-Prozess
Yt = a + j1Yt-1 + … + jpYt-p + et
mit et: Weißes Rauschen
Lag-Operator L: verschiebt den Laufindex um eine Periode
LYt = Yt-1
Es gilt: LsYt = Yt-s; L0Yt = Yt
AR(p)-Prozess:
Yt - j1Yt-1 - … - jpYt-p = (I - j1L - … - jpLp)Yt = a + et
oder F(L)Yt = a + et mit dem Lag-Polynom F(L)
Stationaritäts-Bedingung: Für die p Wurzeln zi des
Charakteristischen Polynoms F(z) = 1 - j1z - … - jpzp muss
gelten: |zi| > 1, i = 1, …, p
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
12
AR(p)-Prozess,
Forts.
Yt = a + j1Yt-1 + … + jpYt-p + et
mit et: Weißes Rauschen
Sei Stationaritäts-Bedingung erfüllt (die p Wurzeln des
Charakteristischen Polynoms F(z) erfüllen |zi| > 1)
AC-Funktion: gedämpft, unendlich
PAC-Funktion: fkk = 0 für k > p
Kenntnis der Form der AC- und PAC-Funktionen hilft beim Identifizieren
der Ordnung des Prozesses
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
13
MA(1)-Prozess
Yt = a + ut - qut-1 = a + Q(L)ut
mit ut: Weißes Rauschen
AR(∞)-Darstellung:
Yt = a/(1q) + ut + Si q iYt-i
setzt voraus, dass |q| < 1 (Invertierbarkeits-Bedingung)
Eigenschaften des MA(1)-Prozesses:

Der Prozess ist für alle a und q stationär



E{Yt} = a, Var{Yt} = 2(1+q2), g1 = 2q
AC-Funktion: r1   q/(1q2), rk = 0 für k > 1
PAC-Funktion: exponentiell abnehmend, wenn q > 0, sonst
alternierend, exponentiell abnehmend
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
14
MA(q)-Prozess
Yt = a + ut - q1ut-1 - … - qqut-q = a + Q(L)ut
mit ut: Weißes Rauschen
Eigenschaften des MA(q)-Prozesses:

MA(q)-Prozess ist stets stationär

AC-Funktion: rk = 0 für k > q

PAC-Funktion:


exponentiell abnehmend bei reellen Wurzeln des Charakteristischen
Polynoms Q(z) = 0
in Cosinus- oder Sinus-Schwingungen abnehmend bei komplexen
Wurzeln des Charakteristischen Polynoms Q(z) = 0
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
15
ARMA(p,q)-Prozess
Yt = a + j1Yt-1 + … + jpuYt-p + et
et = ut - q1ut-1 - … - qqut-q = Q(L)ut
mit ut: Weißes Rauschen; oder
F(L)Yt = a + Q(L)ut
MA(∞)-Darstellung: Yt = y0 + Siyiut-i; die Koeffizienten yi sind
Funktionen der ji und qi
AR(∞)-Darstellung analog
Stationärität des ARMA(p,q)-Prozesses: wenn für alle p Wurzeln
zi des Charakteristischen Polynoms F(z) = 1 - j1z - … - jpzp
gilt: |zi| > 1 (Stationäritäts-Bedingung)
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
16
ARMA(p,q)-Prozess: Übersicht
MA(q)
Yt = Q(L)ut
Bedingung für
AR(p)
F(L)Yt=ut
Stationarität
Wurzeln zi von
stets stationär
F(z)=0: |zi| > 1
Invertibilität
stets invertierbar
Wurzeln zi von
Wurzeln zi von
Q(z)=0: |zi| > 1 Q(z)=0: |zi| > 1
AC-Funktion
gedämpft,
unendlich
rk = 0 für k>q
gedämpft,
unendlich
PACFunktion
fkk = 0 für k>p
gedämpft,
unendlich
gedämpft,
unendlich
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
ARMA(p,q)
F(L)Yt=Q(L)ut
Wurzeln zi von
F(z)=0: |zi| > 1
17
Identifizieren
von ARMA-Modellen
Vergleich der empirischen AC- und PAC-Funktion mit den
theoretischen Gegenstücken
Abbruch der

PAC-Funktion: Hinweis auf Ordnung des AR-Prozesses

AC-Funktion: Hinweis auf Ordnung des MA-Prozesses
Empirisches Korrelogramm: rk
Standardfehler aus Var{rk} ≈ (1+2Sri2)/n für k>q, wenn ri
= 0 für alle i > q
Analog empirische Partielles Korrelogramm
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
18

CWS13