„Richtiges Runden von Messwerten“
Der Qualitätstipp 03/2015 von Michael Klosky, NOVIA Chromatographie- und Messverfahren GmbH
Das richtige Runden von Messwerten bzw. –ergebnissen gehört zum täglichen Doing
eines Laboranten. Dennoch schleichen sich in der Praxis gerade hier häufig Fehler ein;
Messwerte werden falsch gerundet oder die Angabe der signifikanten Stellen stellt sich
nicht so trivial dar wie ursprünglich gedacht. Natürlich regelt eine SOP die richtige Vorgehensweise, doch auch diese sind nicht immer fehler- oder widerspruchsfrei. Übrigens:
Im Allgemeinen wird entsprechend der DIN 1333 „kaufmännisch gerundet“. Auch im Labor werden diese Regeln angewendet.
Die einfachste Rundungsregel, die wir bereits in der Schulzeit gelernt haben, besagt,
dass ab „5“ aufgerundet wird. Präziser gesagt: Ist die letzte zu betrachtende Stelle einer
Zahl größer oder gleich „5“, so wird eben diese gestrichen und die direkt vorangestellte
Zahl um eins hochgezählt. Zur Verdeutlichung stellen wir uns vor, dass ein Gewicht dokumentiert werden soll. Die Waage zeigt einen Wert von 120,25 mg an. Die Spezifikation
gibt vor, dass der Messwert mit einer Dezimalstelle angegeben werden soll. Da die letzte
Ziffer gleich „5“ ist, wird in diesem Fall aufgerundet auf 120,3 mg.
Wäre die letzte Ziffer kleiner „5“, so würde nach den mathematischen Regeln entsprechend abgerundet werden, also bei einem Messwert von 120,24 mg auf gerundete 120,2
mg.
Abgesehen von diesem mathematisch korrekten Runden, besteht auch die Möglichkeit,
dass eine Zahlenfolge abgeschnitten wird. Hierbei würde man jede Zahl, die nach der
letzten zu berichtenden folgt, einfach abschneiden ohne eine Rundung vorzunehmen.
Das „Schneiden“ stellt allerdings einen Sonderfall dar. In der SOP bzw. in der jeweiligen
Prüfvorschrift sollte ein expliziter Hinweis stehen, wenn dieses Verfahren angewendet
werden soll.
Für viele Laboranten stellt die Rundung auf signifikante Stellen die größte Herausforderung dar. Oft wird die Anzahl signifikanter Stellen fälschlicherweise mit der Anzahl Dezimalstellen gleichgesetzt.
Insbesondere bei Messergebnissen mit unterschiedlicher Anzahl an Dezimalstellen,
macht das Runden auf die jeweilige signifikante Stelle Sinn.
Was sind nun signifikante Stellen und woran erkennt man ihre Anzahl?
Die signifikanten Stellen „sind diejenigen Dezimalstellen, die mit Sicherheit bekannt sind,
plus der ersten unsicheren, weil geschätzten Stelle“1.
Dies erklärt auch, warum die Anzahl signifikanter Stellen nichts mit der Anzahl der Dezimalstellen zu tun hat, denn bedenken Sie folgendes:
0,25 g mit zwei Dezimalstellen ist ungenauer als die Angabe 253 mg mit keiner Dezimalstelle.
Stellen wir uns vor, bei einer titrimetrischen Analyse wird das Volumen der Maßlösung
bei einer 50 mL-Bürette mit einer 0,1 mL-Einteilung mit 25,55 mL abgelesen. Die erste
Dezimalstelle ist aufgrund der Einteilung der Messskala genau. Die zweite Dezimalstelle
ist aufgrund der Schätzung ungenau. In Summe liegen vier signifikante Stellen vor.
Als Regel gilt, dass sich die Anzahl an signifikanten Stellen aus der Anzahl der Ziffern
ergeben, die vorangestellt nicht Null sind.
Messwert
Anzahl Dezimalstellen
Anzahl signifikante Stellen
0,073 g
3
2
1,730 g
3
4
Table 1: Beispiel zur Anzahl Dezimalstellen vs. Anzahl signifikante Stellen
Wie werden Ergebnisse bei verschiedenen Messwerten unterschiedlicher Anzahl signifikanter Stellen final angegeben?
Jeder Messwert ist mit einem gewissen Fehler, einer gewissen Ungenauigkeit behaftet.
Durch mathematische Operationen pflanzt sich dieser Fehler/diese Ungenauigkeit fort,
z.B. bei der Mittelwertbildung. Es gilt also, dass das Endergebnis nur mit so vielen signifikanten Stellen angegeben wird, wie der Messwert mit der kleinsten Anzahl signifikanter
Stellen besitzt.
1
Aus: Technische Mathematik für Chemieberufe, Brink et al, Verlag Europa-Lehrmittel, 1. Aufl., 1996,
S. 73
Gehen wir einmal davon aus, dass drei verschiedene Volumina einer Lösung, die mit
unterschiedlichen Volumenmessgeräten abgemessen wurden, zusammengegeben werden:
50,4 mL, 1700 mL und 124,5 mL
Addiert man die Volumina, ergibt sich ein Volumen von 1874,9 mL. Da der Messwert mit
der kleinsten Anzahl an signifikanten Stellen nur drei besitzt (50,4 mL), darf auch das
Endergebnis nur drei signifikante Stellen aufweisen. In diesem besonderen Fall würde
man am einfachsten die nächst größere Messeinheit verwenden: 1,87 L.
Abschließend möchte ich Ihnen noch einen wichtigen Hinweis zum Runden mit auf den
Weg geben: Es darf prinzipiell nur ein Mal gerundet werden! Das bedeutet in der Konsequenz, dass Zwischenergebnisse nie gerundet werden dürfen, sondern immer in Gänze
zur Berechnung herangezogen werden müssen. Für ein mathematisch richtiges Runden
sollten Sie mindestens zwei Stellen mehr zur Berechnung nutzen als für das Endergebnis notwendig sind.
Lassen Sie mich diesen Tipp mit einem Zitat des deutschen Schriftstellers Victor Blüthgen (*04.01.1844 – †02.04.1920) beenden:
„Keine Wahrheit ist rund und ganz, hat ein „Wenn“ zum Kopf und ein „Aber“ zum
Schwanz.“
Ihr Kontakt:
Michael Klosky, B.Sc.
Qualitätsmanagement in der Analytik
NOVIA
Chromatographie- und Messverfahren GmbH
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